Рассмотрим далее случай, когда атмосфера граничит с континентом. В этом случае, как было отмечено выше, на поверхности континента
должно выполняться |
граничное условие фо = 0 и решение задачи |
имеет смысл только |
для положительных индексов: ф і , 2, ф з / г , . . ., |
Фn+'U-
Поскольку решение по условию всюду непрерывно и обращается в ноль при z = 0, то его можно продолжить по закону нечетности на половину последнего шага ниже поверхности континента, т. е.
|
= —Ф«/.- |
(З-16) |
Составим теперь соотношение для /о. |
С учетом (3.16) и (3.10) |
будем иметь |
|
|
|
г |
Ф‘/,-Ф -‘/, |
|
|
*Ч. |
|
|
f |
dz |
|
или |
|
т |
|
|
|
(3.17) |
Л |
а Ф‘/2» |
где |
1 |
|
|
а ■ |
|
(3.18) |
2‘/з |
|
Гdz
JV
Сучетом соотношения (3.17) приходим к следующей системе разностных уравнений для системы атмосфера — континент:
Рп!-’ /2 |
dcp,П4-Ѵ. — — 7Г7~(У")-1h —Ч>П-'!г) + |
/zPn+'/г hq>ni-'/2, |
|
dt |
Az« |
|
|
|
|
dtfk |
|
|
|
Pfti-'/. |
---J f 2- — |
(фЛ+*/* — фА+vJ' |
|
----(ф*+‘ /2— Фft-1/з) + Az^-1/зМ'й+'/2ДфйД /s • |
|
|
(к = п — 1, |
п —2, . . ., 1), |
|
_ |
C?(Pj / |
|
|
— |
Pl/*Azil , - j r |
= д^-(ф*/2-ФѴ 2)-а Ф'/2+ Аг./.іі./.Дф./,, (3.19) |
Если предположить, что вся поверхность Земли является континен
том, то приходим к |
уравнению |
баланса количества движения |
2 Azft-rv.j j |
P k + 4 , ~ Qk t U |
dxdy - ~ § §acp4 ,dxdy. |
(3.20) |
k |
|
|
|
Правая часть соотношения (3.20) учитывает потерю количества движения за счет трения.
Если теперь учесть, что часть поверхности Земли S покрыта открытым океаном, а часть С — континентом и льдами, то общее уравнение баланса количества движения будет иметь вид
|
|
*Pfc+V. |
d xdy-т |
А: |
|
dt |
|
|
|
|
- г 2 Azft4.Vl |
j |
- dxdy = — J |
I aq>,u dxdy — P. (3.21) |
A-0 |
С |
|
C |
Здесь P — малая по сравнению с первым членом правой части величина, связанная с трением океана о берег. Этот член возникает при интегрировании оператора горизонтальной вязкости при усло вии «прилипания».
7.4. РАЗНОСТНЫ Й А НАЛОГ У РА ВН ЕН И Й ДИНАМ ИЧЕСКОГО СОГЛАСОВАНИЯ П О Л ЕЙ В АТМ ОСФЕРЕ
Приступаем к построению разностных уравнений адаптации атмосферных процессов. С этой целью рассмотрим систему уравнений:
2 i . - l v + R T ^ - = О, |
dt |
|
|
|
дх |
’ |
£ |
+ |
+ |
|
- о . |
|
|
дф ___ § |
гр |
|
|
|
dz |
д у г |
’ |
|
du |
. dv , |
1 |
dpw |
__ , |
дх |
' |
д у ' |
р |
dz |
|
со следующими граничными условиями по координате z:
5 |
II о |
при |
II о |
о |
при |
z == Н т, |
|
II |
|
|
и начальными данными |
|
|
|
и —и0, ѵ ~ ѵ°, Т = Т° при t = 0.
При построении разностной схемы прежде всего необходимо позаботиться, чтобы сетки, введенные выше при рассмотрении нестационарных уравнений диффузии для Г, с одной стороны, и и, V — с другой, были бы одними и теми же для решения задачи
(4.1)—(4.3).
Рассмотрим следующую аппроксимацию по z системы уравне ний (4.1):
|
ди |
- l v h+i,2+ R |
T ^ ^ |
= 0, |
|
|
|
k+'h |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дѵ.к+ Чг |
|
|
|
|
Tr |
d(?k± |
|
|
|
|
|
dt |
■luk-і-i/, -f-RT |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4k+'!2~4h-4 |
_ |
8 |
rp |
|
|
|
|
|
Azfe |
|
|
дуг |
|
*’ |
|
|
|
|
, диЬ + Ч г |
, |
dvh+'/, \ I Pk+iWk+i— pkWk |
n |
|
|
Pft+v.l—Tx---- 1— |
dy |
H -------------------- = U> |
|
|
|
|
|
|
Az |
fe-f1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ |
+ (Y a -V )^ = 0 |
|
|
|
|
|
|
(k = n — 1, . . |
0). |
|
|
|
|
(4.4) |
К системе |
уравнений (4.4) |
|
необходимо |
присоединить |
граничные |
условия |
|
щ0 = |
0, |
wn = 0. |
|
|
|
|
(4.5) |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, система разностных уравнений определена. |
Решение |
задачи (4.4), (4.5) |
будем |
искать |
методом |
Фурье по |
индексу к. |
С этой целью |
определим |
следующие |
разложения: |
(4.6)
где
|
Величина |
удовлетворяет системе алгебраических |
уравнений: |
|
|
, <р > |
, <р> |
|
|
|
Ф-‘/, = |
*•/.» |
|
|
j>+i Gift?»/, —-фй+’ u ) — pk ОДО«/ 2—'Ф* - * / ,) |
= —Ѵ д а /2 (А = 1 ,2 ,-----re —1), |
|
pk + 4 , ÄZA+V |
|
|
|
|
|
4>«+>/2= |
^«-Ѵг- |
(4.7) |
Исключая из (4.7) несуществующие величины |
|
и -фЙі/,, |
получим |
|
|
fib(?)— |
|
? .uCP) |
|
|
|
|
|
|
|
І 2 ~ УЧг ) __ |
|
|
|
|
|
|
|
— =— ---- :--------- Ѵ г1/.* |
|
|
|
|
|
|
Р«/.Д**/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р*+1 (Ч’й+І/г |
^fe+'/J ~ |
Pfe (^fe+Va- |
^ -* /.) |
- |
^ |
+ |
‘/2. |
|
|
|
Pfc+V» Azfe+72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn-1 К-Ѵз-'ФІ-З/, |
= - V I ^ - ‘/2- |
|
|
(4.8) |
|
|
Рп-'/г AZn-’/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
индекс & пробегает значения 1,2,3, |
. . . , |
и — 1. |
фэ^*, . . ., |
Введем в рассмотрение вектор ф(0) с компонентами ф(і/^, |
tfn-Чг |
и матрицу Л |
такую, |
что |
система |
уравнений |
(4.8) запи |
шется в виде |
Ля|)(р>= |
-.Ь |)(р>. |
|
|
|
|
(4.9) |
|
|
|
|
|
|
В явной форме матрица А имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
— «0 |
«0 |
|
|
0 |
|
. |
0 |
|
|
|
«1 - К + «і) |
|
“ і |
|
. |
0 |
|
|
|
0 |
а 2 |
|
— (а2 + а 2) . . |
0 |
|
|
где |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
• |
а п - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak - |
Pfe |
|
«fe |
Pfe+l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pfej-V« Azfe+V* |
|
|
Pfe+v» Azft+v |
|
|
Введем в рассмотрение скалярное произведение по формуле
(4.10)
тогда нетрудно установить в этой метрике симметричность опера тора А, поскольку имеет место тождество Лагранжа
(Ла, Ь) = (Ь, Ab).
Это значит, что задача (4.9) определяет набор ортогональных векторов, которые мы нормируем
(^<р>, ,ф<Р'>) = 1, Р* = Р
0, Р'ФР-
Тогда, подставляя разложение (4.6) в систему (4.4), приходим к за
|
даче для коэффициентов |
Фурье: |
|
|
|
|
д и(Р* |
- I v W + R T |
дх |
А |
|
|
dt |
|
‘ |
|
|
&)<Р> |
+ Iu(p>+ RT |
дф(р) _ o |
|
|
dt |
|
dy |
u ' |
|
|
, öffi'P) . d u W |
, âv<p> |
Л |
(4.11) |
|
ГЯР Т - + — + — |
= a |
|
|
где
После того, как коэффициенты Фурье и(р>, ѵ(р) и фс'?)найдены, вос
станавливаем величины Uh+ч,, Vk+Чг11 Фй+'/«• Далее с помощью уравне ний статики и притока тепла находим wk и Тк.
Переходим к рассмотрению более общего случая, когда в уравне ниях адаптации атмосферных процессов приближенно учитывается орография. С этой целью предположим, что для эволюции крупно масштабных процессов в рамках долгосрочного прогноза погоды наибольшее значение имеет вертикальный компонент вектора ско рости.
Тогда приходим к параметрическому описанию орографии в сле дующем виде. Пусть
*= £(*. У)
—уравнение земной поверхности на континентах. Тогда после дифференцирования полным образом по t получаем
w — u |
ді |
-f,- ѵ dl |
ш |
|
дх |
' ду |
|
Это условие выполняется при z |
= |
£ (х, у). Однако мы предположим, |
что оно может быть приближенно поставлено при z = 0. В результате приходим вместо (4.2) к более содержательным (но приближенным!)
граничным условиям |
dl |
|
А |
dl , |
ПРИ 2 |
W = UHZ + V~t\j- |
= 0> |
w = 0 |
при |
z — HT. |
(4-12) |
С помощью метода конечных разностей по z приходим к системе (4.4) с граничными условиями
|
Wq— UiI 91 4 |
»® |
0<4 |
|
ду * |
|
|
|
|
wn = 0, |
|
(4.13) |
где верхний индекс нуль при и и у означает, что соответствующие величины берутся с предыдущего временного шага. Далее, в соот ветствии с алгоритмом требуется исключить величины wo и хѵп из
системы уравнений (4.4). Тогда получим неоднородную задачу при к = : 0:
|
|
|
5 к ,, |
|
|
_ 5ф, . |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
U |
.lm/t + RT 4 ^ = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
дѵі , |
|
|
s |
*P«/, |
|
0. |
|
|
|
|
—Qt 2 -*г Іич2 |
RT |
5j/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(öUl/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5g |
|
dg |
|
|
|
|
|
|
Pii^j |
— U'!t dx |
|
Vll* ây |
|
|
P1/ \ dx |
|
|
ây |
j ' |
Az,^ |
|
Po |
|
|
Az, |
|
|
|
Фі/„—Ф_і/г |
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Azn |
|
|
5__ rp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R T 2 |
|
0 > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5Го |
+ (T a -7 )^ o = °; |
|
|
|
|
|
|
|
|
gt |
|
|
|
при к |
= |
1,2, . . |
n — 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5u |
|
|
|
|
-f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5г |
|
|
|
|
5z |
|
|
|
|
|
öy,*4»/. |
|
|
|
|
m 0Ф*+І/, |
= 0, |
|
|
|
dt |
|
■luh+'U ~T |
ду |
|
|
|
|
Фft+'/я |
*Pft—*/» |
|
-ET1k> |
|
|
|
|
|
|
|
А2* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R T |
2 |
|
|
|
|
|
|
duh h'/2 |
^vh V112\ |
I |
Pfe+l^fe+l |
|
|
Pfeife _а |
|
|
Pft+v* |
dx |
|
|
|
% У"1' |
|
Azft+1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÖTfe |
(7a — Т)ы>* = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
и при |
к |
= n — 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
öu„ 1, |
|
|
|
|
—ö®„ |
,, |
|
|
|
|
|
— ^ 2- - |
|
+ ДГ - |
dx |
h = 0, |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du„ j/ |
|
|
|
|
Td 0Ф«--Л |
|
■О, |
|
|
|
|
|
+ &«-•/,+ ЯГ |
»У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5u„ |
,, |
I |
öy„ ,, |
Pn-lU'n-l |
|
|
PЯ-’/і |
n-ll2 |
П-1/2 |
|
|
dx |
' |
ду |
|
|
|
1/2 |
=0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф я -Ѵ ,~ Ф я -» /, |
|
|
|
n-V |
|
|
|
|
|
|
|
Az/i-x |
|
|
R T 2 |
|
|
|
|
|
öTn-i |
|
ІУа ~ У) wn-l —0- |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
Введем в рассмотрение вектор-функции и, ѵ и <р, компонентами которых будут Uft+«/2, ffe+</2, фь+‘/г соответственно. Тогда после исклю чения величин wk и Tk приходим к векторно-матричным уравнениям:
^ - |
|
b + R f ^ |
= 0, |
|
дѵ |
|
lu-\- RT — |
= 0, |
|
~ді |
|
|
|
1 |
|
ду |
|
|
|
dx |
г |
I |
л І£. = / |
' |
(4.17) |
‘ |
äy |
‘ |
dt |
|
|
где матрица А имеет вид, соответствующий уравнению (4.9), а
Ро
P'UAz4,
О
f =
О
О
Решение задачи (4.17) будем искать с помощью рядов
|
|
\ |
|
„ |
/ “A |
|
|
(4.18) |
|
|
r |
2 |
|
r « |
k |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
и |
|
/ |
|
ѴфJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
2 / Л , |
|
|
(4.19) |
где |
|
|
|
« |
|
|
|
|
|
|
fq = |
(/- %)■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя ряды (4.18) |
и |
(4.19) |
в (4.17), приходим |
к системе |
уравнений для коэффициентов Фурье: |
|
|
|
duq |
|
■1,,+ r t S i . |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дѵЧ |
I |
Іц |
|
■R T ^ 1 = |
О, |
|
dt |
^ |
шч |
|
|
ду |
|
|
|
duq |
, |
dvq |
|
^ |
d(fq |
_ |
4 |
(4-2r) |
~д Г д у |
|
|
|
dt |
- J r |
15* |
|
|
|
|
|
|
|
|
227 |
Решение этой системы проведем следующим образом. Выделим ту часть решения, которая соответствует собственному числу Яо = О (баротропная составляющая океана)
ди° |
- lvn + R |
T ^ |
= О, |
dt |
|
|
дх |
|
дѵр |
luo + R T ^ - = 0, |
dt |
|
|
ду |
|
|
ди0 |
дѵп _f |
(4.21) |
|
дх |
1 ду |
•'o* |
Решение системы (4.21) представим в виде
''О!
|
Фо ~ Фо* |
(4.22) |
Предположим, что и о и ѵ0 |
выбраны таким образом, |
что |
ди0 |
дѵр |
(4.23) |
дх |
ду /о (*- У)- |
Например,
где х0 — произвольно выбранная точка, или
Тогда, подставляя (4.23) в (4.21), приходим к уравнениям для отклонений:
ди» |
M |
+ R T ^ - |
lv0, |
dt |
|
|
|
+ lu’ + R T ^ L ^ - l u 0, |
|
dug |
I dl;o _n |
(4.24) |
|
d x |
d y |
Последнее из уравнений (4.24) позволяет ввести в рассмотрение функцию тока с учетом соотношений:
ио |
сД|) |
, _ |
(4.25) |
~ w |
Ѵ о - І Г 1 |
и задача (4.24) сводится к задаче для функции тока (после исклю чения ф).
Что |
касается остальных |
уравнений |
системы (4.20), то для q = |
= 1,2, |
. . п — 1 |
можно использовать метод расщепления. Тогда |
получим: |
|
|
|
|
|
|
Я |
М +,/г |
|
|
и>+Чг — и> |
|
1 „/+*/I |
|
|
|
|
Ч |
|
|
|
|
|
|
— -тгѴ, |
|
|
= —RT |
дх |
|
|
|
ѵа+Чг — ѵо , |
I |
|
иІ+'Іг —0, |
|
|
|
|
. <рГ '/2-ФІ |
|
duT U _ |
Л |
|
(4.26) |
|
|
Ал------ :----- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,;/+! _ |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
~ |
’ |
|
|
|
¥ |
— |
|
7 |
• |
1 |
|
- |
W |
+1 |
|
|
Я |
|
I J , J + |
|
|
D T 1 |
* ¥ |
|
|
|
------ i ------+ 2 “* |
|
|
= - R T ~ d T ' |
|
|
|
ф£+1- |
|
фІ+,/* |
|
|
Ч +1/г |
/<7 |
|
(4.27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате решения задач (4.23), (4.24), (4.26) и (4.27)решение находится в виде (4.1;8).
7.5. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА Д Л Я У РА В Н ЕН И Й АДАПТАЦИИ Д В И Ж ЕН И Й В О КЕА Н Е
Переходим к формулировке разностной системы уравнений динамики океана. С этой целью рассмотрим систему основных уравне ний адаптации:
ди |
т |
I |
1 |
öp |
Л |
т г - ь + |
у |
& |
0' |
|
|
|
1 |
др |
|
% + Ы + + ^ = 0. |
dt |
|
|
|
ду |
|
|
др_ = - о Т , |
|
|
dz |
|
|
|
ди |
, |
дѵ |
I |
dw __л |
’ |
дх |
' |
ду |
‘ |
d z |
|
^ r + Tw = 0, |
(5.1) |
где er = aTg = const, T — отклонение температуры от некоторой
То = const, принятой за стандартную температуру при z = 0. Для построения разностных уравнений будем использовать ту же сетку по z, что и выше при рассмотрении аппроксимации нестационарных