книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

Левая часть первого неравенства и правая часть второго - целые

числа. Следовательно, искомое число

имеет

2 значения:

и ,

гг.* «

12.

14. Прризвсдятся опыты. Вероятность

появления

события Л

в

каждом из них равна 0 ,2 . Сколько

надо

произвести опытов,

чтобы

наивероятнейшее

число появлений

события

Л

было равно 20

?

*1

Р е ш е н и е .

ч i

р

-

С,2,

(у

= I - 0,2 * 0,8 .

Согласно

условию

Как известно, наивероятнейшое число

т

появлений

события Л

при Юу

опытах

определяется

неравенствами: р ,р - с ^ ft)^ top-tp.

По условию имеем:

гю * 20,

п - 0,-1-0,4 <.10^. ^

У

10+0.&

п

неравенства

находим

\ъ

, из второго

Из первого

ч

—

0)

%,

•

"ч

M -lA jL / и,

. Итак, искомое значение

\ъ

лежит в интервале:

15. Чему равна

вероятность

наступления

события

Л

в каждом

опыте, если наивероятнейшее число наступлений

события

Л

в 100

опытах равно

20?

♦

Р е ш е н и е .

Используем

неравенство

Уър-* р .

В данной

задаче

Н.у * 100, гй »

20. Требуется

найти

р .

Помня,

что

Cj f - j - p

,

будем

иметь: !0 0 'р -(| -р )^ 1 0 4 ,&ор ^ Р *

Из первого

неравенства

находим

р ^

.

Из второго

неравен­

ства находим

р 7/

ао

toi

Хй { р <ч—

Искомая

вероятность

лежит

в интервале

Ю1 V

«

-V

101

16.

Производится

4

опыта,

в каждом из которых событие Л

происходит

с

вероятностью

0, 3 .

ь

наступает

с вероятнос­

Событие

С/

тью ^равной

единице,

если

событие Л произошло

не менее двух раз,

с‘ вероятностью 0,6 - если один раз,и не

происходит>6ели ни одного

раза. Определить

вероятность того , что

событие tf

произойдет.

Р е ш е н и е . Введем в расмотрение события:

$

- состоит в

том,

что

событие

JЛ

в четырех

опытах произошло не менее 2-х раз,

•F

- событие

£

произошло

I

раз,

М.

-

событие

не произош­

ло.

Совместно

с одним из них происходит событие

С

, полную ве­

роятность

которого требуется найти.

Имеем:

? ч5+ Р ч4

, fH R

-

^

, р (Л л }-£ ,° .

Здесь

есТЬ

вероятность того, что

событие

Jb

в

четырех

опытах

произойдет

rm

раз.

По условию

р ( £ / £ } ) - )

,

p ( t / F ) ^ 0 , b

t

р ( С / Д ) - 0

.

Искомая вероят­

ность равна:

р ( с ./г - )+ - р И - р W M )

р

Выполнив

арифметические действия,

найдем

p (t )

*

0,595 .

17.

При исследовании больного имеется подозрение на одно

трех заболеваний: Hv ,

и

. Их вероятности в данных усло­

виях

равны соответственно у

,

у -

, .

-у

.

Для уточнения диаг­

го результата

при заболеваниях

и

соответственно

равны 0 , 1 , 0,2

и 0, 9 . Анализ был произведен

5 раз и дал Ч положи­

ния

после

анализа.

*

Р е ш е н и е .

Имеем три гипотезы

относительно

заболевания:

. К,

, Нг

и

. Их вероятности до

анализа

,

P i - 0,i

0

\

)

P b “p^)^

u

4r i; -“

•

Событие

-

при пяти

анализах,

*

3)

4 раза получен положительный ре­

зультат ( при пяти опытах событие

ifi

наступает

4 раза

) . Его ве­

роятности

пр'и различных

гипотезах

(

условные вероятности ) таковы:

P ( a / H 1^

^

4 - C

j f l4 i ' p■г\ 1), - C ^ o )\

4 ^ 5 V•

o0<,b"''

/

н 0

-

^

"

Q

-f>2{ И р Л - Q

•ОД4-о,4 -0 ,0 0 64.

р [£ Щ у )

г

f

iH.(l'p >y - C i) - 0^ 4-O,l‘ - 0, Ш .

Вероятность

того,

что имеет

место

гипотеза

Ml

,

если собы­

тие

5)

произошло,

находится по

формуле Бейеса:

_______________ Й К с У Р М И с ) __________ _____________.

I?{К ,).р (3)1и (у+

.р {$ [ н х) ч р(,н*)■|Ч2>| к >)

Выполняя арифметические действия, находим:

p ih ./d ^

o o i

,p (,H t | a )= e ,o i

,

р о ч / а о - о ^ а .

*

18,

В группе

20 студентов.

Из них

5 человек

знают 90 # програм

мы,

7 человек

- 7 0 / 6 ,

4

человека

- 60-# и 4

человека -

50 # . Сту­

дент ответил на два вопроса и отказался отвечать на третий. Какой

уровень

его подготовки наиболее вероятен?

Р е ш е н и е .

Имеем 4 гипотезы

-

Hi -

студент

знает 90# прог

раммы, Н.^ -

70#,

Н*,

-

60#,

- 50#. Вероятность этих гипотез

определяется процентным составом студентов с соответствующим объе­

мом

знаний, т . е .

.

, p l H , ) - i

, р 1К » ) - Г с

Предложение

вопроса -

опыт,

число

опытов

ш,

=

3,

в результа-

те

каж дого

опыта

/V

J t

-

студен т

ответил

на воп р

возможны собы тия :

Л

-

не

ответи л

на в оп р ос. Вероятности

р

и

су

этих

событий

ги п отеза х

Н,

,

*

г, Ии

соответствен н о

равны

^

С у ,'0,1

, P - J L - u

^

-

•рч -С4Ь

Событие

-

студент

ответил

на

2 вопроса

из тре.х

( прт,м г - 5

опытам, событие

,К произошло m

=

2 раза

) .

Вероятности

события 2)

при различных гипотезах ( условные вероятности ) равны:

уЧ^/Н,) -

рЛ^у, >

)\

^ i у

^ ,

(Ч ^х)--с>^ч;

В ероятности

гип отез

после

т о г о ,

как

событие

S)

произошло,

определяю тся

формулой

ЕеЛеса:

t >0 u ; s > ) - -

Ч

—

■

2 p (.h c) p W k , )

•5-I

Знаменатель дроби один и тот же при любом

С .

Следовательно,

наибольшее

значение

имеет при

наибольшем

числителе.

Опре­

деляя числители и сравнивая их, находим, что наибольшая величина

вероятности при

L

= 2 .

Наиболее

вероятна

вторая

гипотеза ( сту­

дент знает 70 % программы ) .

19. Задача о четырех лгунах.

Из четырех человек один получил информацию, которую в виде сиг­

нала "да” или

"нет"

сообщает второму, второй

-

третьему,

третий

-

- четвертому, а последний объявляет результат. Известно,

что каждый

из них передает полученную им информацию верно только в одном слу-

чае

из

трех.

Накова

вероятность,

что первый

человек

сказал правду,

если четвертый объявил информацию, полученную первым,

правильно ?

Р е

ш е

н и е .

Гипотезы:

И,

-

первый

человек

сказал правду,

•

первый

солгал.

Их вероятности

по условию р(И^ - у

•

Событие Л - четвертый объявил

информацию, полученную первым,

верно. Событие lH может наступить

лишь только совместно с одной

из указанных выше гипотез. По Формуле полной вероятности:

р^) - р( ri,). р^JV/ й.) ♦р(н?-) Р

/« \)■

Найдем условные вероятности

р(*Д/Н.)

я ptJtyH/J)

• Здесь: пе­

редача информации - опыт, число

опытов уг

- 4, в результате

одно­

го опыта возможны события:

0>

-

полученная

информация

передана

верно,

b (

t b

) -

p . 6

-

полученная информация

передана

невер-

но,

Событие

Jk

наступит

при

выполнении, гипотезы

Н

, если

из

либо все передают верно, следовательно,

есть

вероят­

ность

того , что

в трех опытах событие 0?

наступит

либо

1 раз, ли­

бо 3

раза;

PU|h,i

Цзф 1т ) 1’"гС> ( т ! 1т )

- ^

Событие

наступит при выполнении

гипотезы

,

если из

бо все передают неверно. Следовательно,p(J3-/К.^)

е с ть

вероятность

того, что в трех опытах событие 0> наступит либо

2,

либо О раз.

Искомая вероятность есть вероятность

гипотезы

Н| . которую

находим по формуле Бейеса;

ы н / л ) -----------------

П ,Ь 1 ' {Н*.) р ^ | к ,) + р 1Н0 р (Л / « 0

Hl '

ные величины обозначаются прописными буквами, их варианты

- строч­

ными*

Пример

I* Случайная величина

X

- число очков,

выпавшее

при

бросании игральной кости, её варианты:

Xt *= I . . .

6.

Пример

2. Б интервале (х,( з)

оси

абсцисс ( рис

2 r I .I

)

науда­

чу

брошена

точка. Её абсцисса

- случайная величина X

с

бесконеч­

но

большим

числом вариантов,

которые непрерывно заполняют

весь ин­

тервал.

О *

*

» ос.

....... . ■■

IV

4

X ,

о « • * » • л *

Х> А-

к *

о

<Ш

А '«»

Случайная

величина обязательн о примет

какой -ли бо

один

вариант.

Следовательно, несовместные

события

образую т

полную группу

Отсюда:

С- Л

( ч2. i , L)

^ р

i*}

I

СЧ

Сумма

вероятностей

всех

возможных

значений

случайной величины

Пусть

X

непрерывная или дискретная случайная величина,

X -

любое

действительное

число.

Интегральной функцией распределения случайной величины в неко­

торой

точке X

называется

вер оя тн ость

того'* ч то

случайная

величина

примет

значение

меньше

этой

точки

х ,

О бозначается интегральная функция

распределения P W - j p l X s ^ ) .

(

В дальнейшем тексте

интегральная функция

распределения

сл у ­

чайной

величины иногда

назы вается

для

краткости

функцией

р а сп р ед е ­

ления

) 0

• ( ъ . / Х х )

,

где

,

а именно р { £ ( ч К <ч^ i )

----------------------------

-------------

-------------------------

—л

- ...........

- , - » .

.— ■

------------------------ ----------------- — * X

0

1Cs

- “v”—

X JL

^ ------

—^

Событие, состоящее в том, что X ^

состоит в наступлении

события,

что

Х < * . ,

или события, что х»^

Следовательно,

событие (

есть

сумма двух

остальных ;

В первом пункте

было показано, что

при

Х г7

K * i$ X < * iV -r 4 * iV T l* .V

но

К * 1^ Д < Х 0 >/О

,

следовательно:

7,0° Отсюда

f(% ,)

при х ^ х ,

. Значит

(функция распределения является неубывающей Функцией.

^ Р ^ Х Л ^ 0 0 ) М

(

вероятность

достоверного

события

\

-О

(

вероятность

невозможного

события

),

Запись

f ( * o o )

и

F (-o o )

- условная

запись

следующих двух

равенств:

I

и

Х.-1-ОО

-Q

Получили второе свойство Функции распределения - функция рас­

пределения случайной

величины

есть функция

неотрицательная, иеубы-

вающая,

изменяющаяся в пределах от

0 до

I

0 <чР(х)^1

О'

5 Рассмотрим графики функции распределения,

а) для дискретной случайной величины.

Пусть К

-

дискретная случайная величина

определена рядом рас­

пределения.

i

п

|

%>

•«»

• *

х , ..

’ч

. .1 1

|

| Pi

Ра.

. . . .

Р1 .. . рп,

На оси абсцисс откладываем возможные значения случайной величи­

ны, а на

оси

ординат -

функцию F (*} .

При

%<ч*ч (4*0

-О }

при

К ,< 0с<чХг

- р*,

при

Р ( % ) Х < О с ) - р ^ р Ху

при

oc,u< ,x ^ x 64t

Р (.% )-р (Д < х )~ p

t -

t

t p x ^

'

при

% * л х

ГЧх)

- \0[ Y.

„

Графики

функции распределения

дискретной

случайной

величины

абсцисс, можно рассматривать как

предел бесконечно малого интерва­

ла а х

»

содержащего эту

точку.

Следовательно, вероятность для

случайной

величины

принять

значение X* есть

предел вероятности по­

падания

случайной

величины

в интервал (Х*

А Ъ ).