книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

Оно

отвечает

на

поставленный

выше

воп р ос.

События,

состоящ ие

в

том ,

что

и

что

. являются

противоположными,

следовательно.|р(к1 У -Е ^ ^ ):| -

Р(\Ч',Е ^ \ Я ^ в

Заменив

в

правой

части

второе

слагаем ое

на

-|j

из

н ер а в ен ств а (3 01*

получим

неравенство

Чебышева

в

следующей

форме:

| p U V - E ^ K t ) ^ l - | t

( з л - э )

§

2 .

Устойчивость

средних

(теорем а

Чебышева)

П роизводится

серия

измерений

какой -то

величины9 X

» м атем ати чес-

„

кое ожидание и дисперсия которой

Г:х

и

3)х

*

Число

измеренийYv

неограниченно велико. Результаты

измерений:

X*\ г,

во.

Х * , .

Среднее

измеренное

(обозначи м

е г о

) р а в н о :

vX*

Р езультат Vе

измерения

зависи т

о т

множества

причин,

т . е£„I е ст ь

вариант

случайной

величины

X«L

о

Все

измерения

производятся в

од и -

*

условиях

и

резул ьта т

каждого

из

них

не

зависи т

от

предш ес

наковых

вующих р езу л ь та тов .

Поэтому

все

случайные

величины^kvХ$

вС0Х *,

независимы,

имеют

одно

и

то

же

математическое

ожидание

,

одну

и ту

же

дисперсию

*

которые

являются

математическим

ожидани­

ем

и дисперсией

измеряемой

случайной

величины

X

о

Среднее

измеренное

^

также

является вариантом случайной

величины

j

,

'равной V*

К/

J *

Её

математическое

ожидание

и

дисперсию

находим,

использ

теоремы

о

математическом

ожидании

и дисперсии ;

получим

Следовательнор число

появлений

события

<Я

в

ооыте

аоть

оду-

чайная

величина

„ которая

при любом

L

задана одним и тем

же рядом

распределения

X

о

1 1

имеет

одно

ш то же математичес­

р (.-*.)

V

1 р

t

кое ожидание

* Ip

- р-

. одну и ту же дисперсию Э^,

• «

Сумма Xj*’” *’ +У к. принимает

значение ло

,

ибо

число слагавшая* рав­

ных единице* есть число появлений события

Л

во всех

опытах*

Остальные слагаемые равны

нулю*

Следовательно,

И,

• “

К

Г

Частота

события

Л

выступает

здесь как среднее случайных величин

1Ci-.-X .умеющих одно

и то

же математическое

ожидание*

равное

р .

Поэтому

можем использовать равенство (3 .2 Л )* которое

принимает

вид:

W j p ( ! p r p l( < /c ) - j

»v >

Наперед

заданное

число

£

может

быть как

угодно малым.

торое

ранее было сформулировано баз

доказательства*

§ 4. Центральная предельная теорема,

Имеем

ft,

случайных величин Х 4•.«Х&у, .

Вез ошш независимы,

распре

делены одинаково (как именно -

не известно) 9 имеют одно и т о д е

математическое

ожидание Е& *

одну

и ту

же дисперсию

•

*

_

Требуется

найти

закон распределения

их

суммы

р воля

И,—*о о ,

решение этой задачи представляет содержание центральной

предельной

теоремы*

г

Непрерывная

случайная величина А. называется

распределенной нор

мально, если

её плотность распределения

имеет вид;

Выразим

параметры

Уп

,

Сь

и

4

через

математическое

ожидание

И х

и

Дисперсию

Еля этого используем известные "орму-

4?<20

’®0

-V1Oft

^

лы:

i

^ ^-С ^О ^

—к х,

» j

^ ^

” F->w) Ч\Л)t lx ^ х ,

Подставляя

в эти

формулы ф/нкцию Ч(Л) из равенства

(3 .4 Л )

и рас

сматривая Е«*.и й *. как

известные

величины,

получаем

систему

трех

уравнений с

тремя

неизвестными

yv>

,

Оы

и

ф

. Решая

систему и

подставляя

найденные

гп

,

(х,

и

4

в Формулу

(3 .4 .1 )«

получим:

Из равенства

(3 »4 в2)непосредственно

вытекает:

I )

при

э с —

^ 1X) —^0 ,

{

2}

при

*((Х ) 1^'^ззГ *

;

»

3)

если

разность

меняет знак,

но сохраняет

абсолютное зна­

чение,

то

4 l^ ) не

меняется.

Согласно

этим

свойствам, график функции 4 1 ^ ) симметричен

относи­

тельно

прямой Х,~

асимптотически

приближается

к оси

абсцисс

(р и с. 3<Л01 ) 0

заменяя ^(ос) по

формуле

( З Л в2) и делая

подстановку

9С-Е

i £

получим:

ff«.«г

.^AljiSr.

СЯ'/Г

К * К Х < * ,) Ц - -

г f

А.

•оЦ

&J t

чЗГ

о

£

Существует обозначение:

& -o U -

3->--£*•

(3 .4 .3 )

И|

П. Характеристические функции-

Имеем непрерывную

случайную

величину

X

'

к ее плотность распреде-

ления

.

Обозначим

(4:)

следующий

интеграл:

м

«в*© C'fe'3t>

^

W

' l

Ь

'(t'X )-cU ,

(3 .4 .5 )

'

«во

'

где

L

-

мнимая единицав t

-

параметр*

■ *

ф и

вычислении интеграла

вместо

X

подставляются

пределы

интегри­

рования, позтому результат зависит не от % *

а от

параметра ^

,

который будет выступать как аргумент функции

^ x tt)

« Вид этой

функции определяется видом функции ^(0с)в Таким образомв каждому

закону распределения

случайной

величины

X

соответствует

своя

функ­

ция

^хЦ :)

# называемая

характеристической’ функцией* Её можно рассма­

тривать

как

математическое ожидание функций случайного аргумента

j^(X )^S/

v ,

что непосредственно

следует

из

формулы

(2Л З ,

т .е

( 3 .4 ,6 )

Свойства характеристических

функций.

1)

Чтобы найти характеристическую

функцию произведения

t X

, где

t

-

постоянное число,

надо взять

характеристическую

функцию слу­

чайной

величиныX

и

заменить t

произведением СЬ .

Действительно,.

)

°

Ecjl ? 'B формуле

(3 * 4 ,6 )

заменить

t

на хЛ , получим:

^ в двух

последних ра­

венствах одинаковые правые частя.

Приравнивая

левые части,

имеем:

ей равна

.

Подставляя

в формулу

( 3 04 .5 ) функцию ^£(х)

из равенства (3 ,4 ,2 )

и полагая Е*,-О , (T ^ j

, получим

%-*•со

J * W s & U “ * * * ' - * * * t W ' 1

ь

- & ъ

- со

- оо

129

Чг СО

О®

jf.(jjJ

-°°

.00

Равенство

( 3 . ^ .7 ) принимает вид:

Поскольку Ч

-

сумма

одинаково

распределенных

слагаемы х, т о её

характеристическая

функция

равна:

а / l\

— о

'J

ГI ^ She. а ** •.jL&dbJil

Разделив

~

~ 1‘

^

^

M

*" i

случайную величину

‘J

на

<Т^гСГ*лТъ

,

получим

новую

^ (Г%,\п»

ожидание

_

m

равны:

Ее

математическое

Е g.

и дисперсия

а,

‘ ft*

Ha

основании п ервого

свой ств а

характеристически х

функций имеем*

“ 11

^

ы<£*

и

i t

<И

Д

Логар ифмируя s

получим:

= a

k

n >

«.и,

>\(ге

Вычислим

предел :

=,

ь

-

VI.

~ щ \

К.-? «о

П, -Ч со

К *

z b cm

L _ . A

i - i i ^

.

K.-'f CCS к

( * )

i *

b [< ti

С ледовательно,

-Com

1 .

fu-^co

Такой вид

имеет

характеристическая

функция

нормально р а сп р ед ел ен -

ной

случайной

величины

с нулевым

математическим

ожиданием

и

еди ­

ничной дисперсией»

Так

как

Е г °®

и

,

т\гъо -при^ со в за ­

кон

распределения

J

стрем ится

к

нормальному»

П оскольку

В

е ст ь

линейная

функция

случайного

аргумента

£

в то

е ё

закон

расп р ед ел е­

ния

также

стремится

к

нормальному*

Теорема доказан а .

У становлено,

что

с

достаточной

для

практики точностью

центральной