Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Поскольку результат каждого измерения зависит от множества случай

ных факторов, имеем				систему случайных		величин \Л)15\| .		Требуется
установить		тесноту		связи между X	и	У	Ранее*было	показано,
что	теснота	связи	характеризуется		ковариацией, которая			выражает
ся	формулой;		.	чв0

С вв'(Х ^)- jj (г-Е х ) ( у и Ш х ^

х - М (* . б л )

- с о

С другой стороны, если взять функцию случайных аргументов

{(х^Их^мн,,)

( 4 . 5.p )

и найти её математическое ожидание,' то по

формуле

(2 .1 3 ,6 )

полу

чим; _

+оо

( „ . е л )

Сопоставляя формулы (4 .6 .1 ) и (4 .6 .3 ) ,

видим, что

них одинако

вые правые части. Следовательно, левые части тоже одинаковы. Это

значитв

что

ковариация есть математическое

ожидание

функции ( 4. 6, 2)

И З Д = Е [ 1 Х - е * Н М ^

’

V -

Отсюда,•чтобы найти ковариацию по результатам измерений, надо;

Хе

Найти

оценку

математического

ожидания

(её

здесь принято

-обозначить

X )

_ __

х _

2 в

Найти

оценку

математического

ожидания

(обозначаемую-

)

- ч

Зо

Найти

среднее

. т .в .

всех

значений

^Xi " ь Н

Ч о )

С ой -(Х ,У )

(4.‘6.-4)

й ^ я н а - ч а а я е ?

'ая&8«ряча« т@уу0 ка$с бинв

для

диепв^ейя,

д«ка«£®а95еяв чяв.аря

т ш ^лт ш п «дойки ковариации

делись

над©

к в 'в а а

уь-1

0 Для удобства

в качестве

характеристи

ки теснота

оъ&ш надо

взять безразмерную

величину0

Так@й в@«шйчйе©8 явдяевдя кдоффвдяев? квррвдоадш, ив&дра? &©^®р©«

г®, ©яределявадя р&ввядозем:

	....	t .	m .	4 )
	' '	» ш	Ж Ч )		*б05)
					*б05)
Вмест® дмсиерск^. %[%■)		Ш ^ 1 ^ )		над© ВЭЯДЬдЯЯ @$$©Ы1Ш$
.	Ш ) - ^ 2 1 Х ь - Х ) Ь ,			С%~
	L-'i			С%~
При	этом Формула (4 .6 .5 )	принимает		вид:

(4 .6 .6 )

Выполним следующие преобразования-.

Li*b		Счл.					\
г :*							\
г :*	С'-w
;€'-Л	С'-w		v.'.
С - .»	C - I	w	t * . ,	•	.	U
Су»	-kxJ^
■ 2	^			" M j i 2 * ^ * ' i i
Cv\	i -л			v	С я	Vi
					и* и
Поскольку	т ? *	-	*	•	- f c	l v - - »	, получим:
	bV\	л. ..			v<i	О

Аналогично этому получаем:

2 ч * й - £ ) r ^ _ x c1 - i % ^ x 0 t - h , x 1 - ^ ) c c - . к > х 1

С'Л . ,	i*.\	V. » I	C ' <
i •.Uy	C ■-	v;

i '. t

i » i

152

Используя полученные равенства, формулу (4 ,6 .6 ). приводим к окон-

нательному виду;

		■г* z \ Л_					(4 .6 .7 )
f' 2 x ‘	и х 1	" ч
f' 2 x ‘		^	'Ф "
LV1
Через точку		проводим		две	прямые;
	z Ц г - % ) + ^			,
Первая из них называется линией					регрессии.	по t	* вторая -
линией регрессии		^	по	\|	, Угловые коэффициенты		этих пря
мых вычисляются по Тюрмуяам:
(.'‘tv

	L-.i
Легко	видеть,	что	Cufe-Vt1*
Пусть	между X	и	*j существует самая тесная связь, когда все

точки корреляционного поля ложатся на одну прямую. При этом оче

видно,	обе	линии регрессии сливаются				в одну	и	поскольку
	»	4 -		р 9 получим*.	Л	- ■£—	р откуда
Если ^	и	^		вероятностно независимы, ! о ,			как известно,
			й из формулы (4 .6 .5 ) следует				л	- О ,
							К
Таким образом,				величина \|К\| ” меняется		в пределах 0ч\|К1Ч1
Чем больше		К	,	тем выше' теснота связи между \				и ^
Пример,	Найти		коэффициент корреляции			и линии регрессии по следую-
щим результатам‘ измерений:					г			,

153

Кврредоцяеввое 0osefi настроенное н@ этш р©8р&ьтйтамряредоташ&ев@ ва рке<, $e6.Ie Используя врвввдевнве вше формулаs подучшг

.% *	3»8 бв Ч		* 2 057'	чнсл® точек	к©ррздяцв©ш®г© и@яя	УЬ © 14р
^	-	&	- ‘	,ч	Нрк этом Kfc - 0,92,	\|Щ в 0,65 .
__ * t .		2 7 8 ,2 .^ = 1 0		9 1 6 1 .

Трааяетш.лвдий рвгресввн: ^-0,э1'?С*1|1;4 , 0й - 1,%Оч+0,51,.

X ^ y y O . S l

fr=0|Utt *1,34

ts» X

i. 3

н ' Г . 4

PiMS.H.M.

ЗАДАЧЕ К Ш В 8 IV,

Довер взея&81!& интервал и д©в©рвэдл&вая в@р©ятв©сть (в § $)

1с Ор©[?з»еде?ш 20 намеренна некоторой велиояви.0 Результата ssp©a-

от&зденн_таблицей? Эо

mi ..г.

^ 4

"Ьб ьъ \ но

ъ н 1 г .

Здесь		ftii - числе явмереввй				о результатом ХЬ		0 Требуетсш sa ta js
а )	подходящее		значение измеряемой				аеянчйш 3 б )	ззерфя*т©0т&	т@г©9
что	генеральное среднее етяшч&етея						ш средне г® измеренного		девь»
ше0	чем не G ,5 0 д )			интервал8		в котором находятся гаперазьное срод
нее	с	вероятность®		0„95 в	■	’ .
		Р о с е	в н е .	а )	Подходящее		значение измеряемой эеяячкш
есть		среднее	аря^^пгвгекве			результатов измерений*

-			154
- x n. 4 -	%о 4	,	'
б) Используем формулу		(4 .4 .1 ) . Согласно условию задачи, £		= 0 ,5 ,
УЪ ~ 20.	Получим: /	. j	HcUo-О	~Л_
PCI5fe-£ЦО,5) - « £ \сД>ф о -Stf				ЧЮ-К)ЧД\|-

- и^а,ь>5^о,б<).

С вероятностью 0 ,бб генеральное среднее находится в интервале

( 35,5 ; 36,5		) .
в)	'Лспользуем	формулу (4 .4 .1 ) . Согласно условию задачи имеем:
._ г \|,' Л\’г		10 ; lc -t’)_________________ \~ л		4	) '	и1зэ
1	^V<" \	ььУ Ч А м -к^-ч ■*(но-54)‘		13
По таблицам		= 0,95, если	£ = 1,39. Следовательно,			-
^	Ио4	Отсюда t = 1 ,0 3 .	В интервале .(36-1,03 ;		36+1,03)

генеральное среднее находится с вероятностью 0 ,95 .

2. Имеем таблицу результатов измерений:

Зш измере	I	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
ний
результаты	9,9	ТО	R:10,3	9,2	. 6,0	10,9	10,3	11,8	i t	, в 9,8	14,0
измерений

Определить вероятность того, что абсолютное значение ошибки в опре!

делении истинного значения измеряемой величины меньше 2%.

Р е ш е н и е . Находим оценки математического ожидания и дис

персии измеряемой величины: Еэс ~7Г

^ ~ *0>^ *

Требуется найти вероятность того, что	I	^	*
где Е х - истинное значение измеряемой	величины.	Используя	формулу
доверительной вероятности, получим:		е -Ц (о ,в г -1 о (1-
p (j		е -Ц (о ,в г -1 о (1-

•lГГo“*oР»

3. Произведено 40 измерений

базы постоянной

длины.

Получены

та

кие

результаты :

среднее

измеренное

значение

равно

10400 м,

оцен-

ка

дисперсии результатов

Найти

вероят

измерений равна 85Ы~

ность

т о г о ,

что

истинная

длина базы

отличается

от

среднего

изме

ренного

значения

меньше,

чем

на0,1%.

н е

н и

е . Случайная

величина X -

результат

измерения

длины

базы,

лепользуем формулу

доверительной

вероятности :

Здесь 1;х - истинная		длина базы, £	= 0,001 * £ ^ =		10,4* Vb= 40.
Искомая вероятн ость		равна:
Р (\| к ч о о -Е * М ч )-
4. Ка основании	100	опытов было определено, что в среднем для
производства детали		требуется 5 ,5	с е к ., а	среднее	квадратическое
отклонение разно	1 ,7	сек. Определить	границы,	в которых лежит

истиннее среднее время* производства детали с надежностью 85$.

Р е ш е н и е . Здесь

случайная

величина

время

произвол

ства

детали.

Необходимо

найти

доверительный

интервал,

котором

лежит её истинное математическое ожидание с

доверительной вероят

ностью

0 ,8 5 .

Используем

формулу

доверительной

вероятности , в ко

торой

и звестн о:

|э(| У )5-Е *4<

O^tTуъ-,iQO,

Si -

Требуется

найти ,.£

. Имеем:

0Т,|(t*\j

)

• Я°

таблице

интегралов

вероятн остей

находим,

что

0 ,8 5 , iесли- 1 ,0 2 .

Следовательно, t - \ |

- 1, 01

Отсюда

0 ,2 5 .

Истинное

среднее время производства детали

лежит с

вероятностью 0 ,8 5

в ин

тервале

от

5 ,5

0 ,2 5

до

5 ,5

0 ,2 5

се к .

5. По пятнадцати измерениям были рассчитаны подходящие значения математического ожидания и диодерсии максимальной скорости само лета 42-4,7 м /с е к , 8 ,7 - м ^ /се к .

Определить: а ) Доверительные границы максимальной скорости при на

дежностн 0 ,9 .

156

б ) Вероятность, с которой можно утверждать, что абсолютное зна чение ошибки в определении максимальной скорости не превосходит

2 м /сек .

Р е ш е н и е . Имеем формулу доверительной вероятности:

а )

Известно:

|э(|41*1,3- £*\<Л)

: o , “s,

Трзбуется

найти

i .

По таблице интегралов

вероятностей находим,

что

С .9. е с -

ли

3 ,7

м /сек.

1 ,17 ,

Следовательно, Ь\f'fc ffi

Отсюда f

Искомые

доверительные

границы

максимальной

скорости:

• f \ t t

~ ^21

м/сек. и

**4. .

'42Р,^

м /сек.

•

Е *+ Е

б )

Известно:

t **.2 м /сек . Требуется

найти

вероятность

K h w ^ - E s - U i )

• И:'‘ееа :

Р(\Ч1Ч,1-Г: *|U ) :

I •

Для

определения

места судна

в море

надо

знать расстояние

до

маяка. Оно измеряется много раз и берется среднее измеренное.

Время для всех измерений задано. Могут быть использованы два измерительных прибора. Первый требует для одного измерения втрое

больше временис чем второй,			зато дисперсия результатов				измерений
у первого	прибора в	4 раза	меньше чем у		второго. Какой		прибор		ра -
		1			«
ционально	использовать?.
Р е ш е н и е .		Случайная		величина	X.	- результат	измерения
расстояния	от судна	до маяка.		Езс,- истинное		растояние	до	маяка,
/•ч.			*	значение,		- допустимое		значение
его	среднее измеренное				Ь
разности		и		- количества		ч			и
						измерений первым
вторым приборами, Э,		и	дисперсии результатов измерений пер-
бым и вторым приборами. Сравним вероятности						Щ		для
первого и второго приборов.			Рационально		взять тот прибор,			цяя

Имеем: ■3i(i\|Eoc"Exl<> t)-4 l^ (t\ j^ ')								- для первого прибора,
pi(\|Efc'E d < t)jfcT 4 (E \\|l§\|)							- ”-т второго прибора.
По-условию			-s* ■*-.'4,		Так	как первый		прибор на		одно,	измерение тре-
бует втрое больше времени,							а время	всех	измерений		задано, имеем
Jii, -		i -							‘
П4~		Ъ
Сравним ве			оятности		р,	и	, нзйдя их отношение. Для этого
найдем		отношение		аргументов			функции		*• (		^ '
											5»
Так	как функция					возрастающая, то			и'	■-7 \|Ротсюда p i7 ip is
т .е . рационально				взять первый прибор.						Pi
											§

7,	Глубина		моря	измеряется			прибором, при котором дисперсия резуль-
татоз		измерений		получается				о	. Сколько		надо произвести
							равной P7Q м

измерений, чтобы определить глубину с ошибкой менее 15 м при на

дежности

9С1?

У з

ш е н и е .

Случайная,

величина

результат

измерения

глубины

моря,

истинная

глубина,

средняя

измеренная

глубина.

Согласно

условию

задачи, должно

быть

1 ^ з о ~ 6 т с Л ^ v

вероятностью С ,9.

•

Используя

формулу

доверительной

вероятности, имеем:

0,9 = ^

( 1^ '^ )

По

таблице

интегралов вероятностей находим,

что 4РЦ ^ *

0 ,9 9 если

= 1,16.

Следовательно,

1'»r,v/ —S3s—

~ !

‘ ‘

,э

i ЬПО

Отсюда

гЪ * 10,3*

т .е . надо

произвести

не

менее II измерений,

Г. Установлено, что дисперсия времени горения лампочки равна

100СС час2 . Сколько лампочек надо взять на проверку, чтобы, сред-

нее%ля	зеел	партии ла.лпочек время горения определить							с ошибкой
не.более	ЗС	часов		при	надежности 95 * ?
? е	ш е	к	и	е .	Случайная	величина	X	- время горения		лампоч
ки. Если	tix ,	-	среднее для всей			партии	время	горения,	а	- сред

158

нее

для

взятых

!<ъ

лампочек

время горения,

т о ,

согласн о

услови

задачи,

долдно

быть

30 ч а с.

вероятностью

0 ,

Используя

формулу доверительной

вероятн ости ,

имеем:

г-

• <

Lъо\;

—

)

i t

-V

2.-|{».соо

находим,

что

•^'(•2:= 0 ,9 5 ,

По таблице интегралов вероятностей

eCv'“

Ъ =

1 ,4 .

Саедоаамльно,

-1,4

Отсюда находим

потребное

число

лампочек:

ув =

44.

Метод

наименьших

квадратов

(

5 ) .

I .

Закон

внутренн его

трения

грунта

выражается формулой

где

ДГ -

напряжение

сдви га , О"

нормальное

коэ

давление,

фициект трения, Ь -

сцепление.

Для

было

определения

выполнено

пять

измерений

"чГ

при

различных

значениях

(Г .

Резул

ты

представлены

таблицей:

< Г(.-л^

•

►

По результатам

измерений

С .

найти

Р е ш е н и е . Искомые

значения

находим

из

того

услови я ,

чтобы

полученные

результаты

измерений имели при них на

большую вер оя тн ости ^ .т о

е с т ь ,

чтобы

имело м есто :

Необходимое условиi.е-I

- к ' ' * ' *

сущ ествования

минимума:

C '.J

( T i . - 4 Jr

t H - crO

- 0

1.4

< 1 Т<7

^ ■ < Г с | + д . а ~ Ъ Х ‘

( . 4

159

.i'(.l + 5.-v?>+'i*b'} +		t '3"	-		+	-	одно		из	уравнений,
4 — 4	+ У й-сг, г > < r i ci l								-	другое уравнение»
4 — 4	4 г			■~ I	4 т				-	другое уравнение»
^	V/**			■~ I
получили	систему уравнений ( 4 . 5 . 3 )						:
t зХ + \| *0 4	** ч	^	-	и b “it 4■*3					•+35, 44 -5'Ъ ,
									•+35, 44 -5'Ъ ,
в которой	Уъ •--	3,	'т	=	1,	Се.--С	,		\Cv=ф
Решая систем ;/,		находим:			С =	1 ,1 гГ1		, г =		С ,5*
						V Д	I \
2 . Зависимость между			скоростью			судна	‘JT	(в	узлах) и мощностью

Н , развиваемой его двигателем (в лошадиных силах), выразилась

при испытаниях следующими данными:

\Г	5	7	9	I I	12
\Г

н290 560 1144 18102300

Предполагая,			что	зависимость			К	от	lT приближенно		выражается
формулой		H - C o ^ t r ,				найти параметры			Сои	С\|
	Р е	ш е	н г е ,		Обозначив		иzX,	получим линейную			зависимость
- И -			и	таблицу результатов					измерений:
Пг	25	.	49		81	121			144
н	290	56С			1144	18X0	23СО
На основании			этой		таблицы составляем				систему	уравнений:

£е-э“*с^г$4Ц«И&1-И11-Ич4) = l&Q**)60-rii44+ 1510*1^0.

Ul3L^4^»l-tU»H144)-irCl^w 4H b^8i4illa'+l442') - W'Wb* 4^5ьО-У

1*%Н|ЧН + i3.MgiQ-H44‘ 2.$0O.

Решая		систем у,		находим:		С0 = -	209,	17.	Окончательно	имеем:
И *		17	1 ^ -	209
3*	Представить			в виде	многочлена		второй	степени	зависимость	между
X	и	Ч'	, наилучшим		образом согласующуюся с данными измерений:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ