книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

20

вероятность ( обозначим его

сп ) . Должно быть:

О*"

J г-

J к

п 1m -17,1

л.

«f .

fb

»

V . p ^ ^ ^

р

Интервал,

в

котором

лежит

гп ,

имеет единичную длину, ибо

(К р +р) - ^ г р -

-

р * ^

-

i

.

Следовательно,

если к у - у

- число

дробное, то

и п у ч р

-

число

дробное

и между

ними может

быть

единственное

целое

число

гп .

Если

^ р - у

и и у -t р

числа

целые, то искомое

число

\у\

имеет два значения:

9 " ^

. -9

*“* W

J Vv

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I

Капосредетвенное

вычисление вероятностей

(

к §

1 )

I .

В ящик помещены жетоны с

номерами от 1 до 100. Найти

роятность того , что номер наудачу извлеченного жетона не содержит

цифры 5.

Р е ш е н и е .

Всего возможных случаев W > 1 0 0 . Событие

-

номер извлеченного жетона не содержит

цифры 5. Ему благоприятству­

ют т ® 61

случай

(число номеров без

цифры 5 ).

Отсюда

i VJ 1

a,- - О Л \

2c Набирая номер телефона, абонент забыл однуцифру. Най­

ти

вероятность

того , что

набрана нужная

цифра.

Р е ш е н и е .

Всего

10

цифр и число

возможных случаев

■Уь » 10. Событие J

-

набрана нужная цифра. Она единственная

и

Уг) Я I .

Получим:

p U 'l) - ”

1

IG

3,

Найти

вероятность того, что при бросании игральной кос­

ти

выпадает

четное

число

очков.

Р е ш е н и е .

Число

всех граней есть число возможных слу­

чаев Уъ ~ 6.

Событие

Si

-

выпало четное

число очков. Ему благо­

приятствуют

m

= 3

случая

(число граней

с

четным числом очков).

Получим:

*

(а

х.

4.

Определить

вероятность того, что

серия наудачу выбран-

#•

ной облигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии

может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.

Р е ш е н и е .

Число

всех возможных

случаев 1гto -1 -

чис­

ло

всех

пятизначных

номерод, кроме одного:

00000. Событие Л -

в

номере

нет одинаковых

цифр.

.Число случаев, благоприятствующих событию J\ , равно чис­

лу

размещений из 10

по

5

,

w - J 1C

Искомая

вероятность

равна

UV)

-

->'■С

\С

монета

была - 20 коп.

Р е ш е н и е .

Первой

монетой ыогла

быть одна из девяти,

среди которых 2 по 20 коп.

и 7 по 3 коп.

Всего возможных^случаев

ru s 9,

Событие *4 -

первой

была монета в

20 коп. Ему бла^оприят-

ствуют

шп « 2 случая. Следовательно,

• /*

вероятность то го ,

что

их произведение оканчивается единицей.

Р е ш е н и е .

3

конце произведения целых чисел стоит такая,

оно произойдет, если на концах

чисел стоят:

I и I ,

3

и 7 -или

7

и Зр 9 и 9 .

Следовательно,

событию

благоприятствуют пп

«

4

случая.

В конце каждого из выбранных чисел может стоять любая из

десяти цифр.

Поэтому число всех

возможных

случаев

а

*

10.МО

Искомая

вероятность:

.л

'

1

г с.& ч .

\

В-

■

k

(*-

7. Имеются

пять

отрезков,

длины которых

равны

соответствен -

•s

но I ,3 ,5 ,7

и 9

единицам.

Найти

вероятность того , что с

помощью

трех из них, взятых

наудачу, можно построить

треугольник.

Р е ш е н и е ,

Число

всех

возможных

случаев равно

числу

с о -

четалий из

пяти

элементов

по три: г .-u .

-iO .

Событие j*

- отрезви

и

взяты так,

что из них мо&но построить

треугольник,

В треугольнике

суш а

двух

сторон

больше третьей„ Это выпол­

няется, если

взяты отрезки длиной 3 ,5 ,7 единиц

или Зр7,9

единиц

или 5 ,7 ,9

единицо

Следовательно,

событию

^

благоприятствуют

m -Ъ -

случая,

Искомая

вероятность

.

8,

Десять

книг на одной полке расставляются наудачу. Опреде­

лить вероятность того, что при

этом три определенные

книги окажут­

ся поставленными рядом.

Р е ш е н и е .

Имеющиеся

10 книг

можно

переставлять

между со ­

бой, отсюда

общее число

случаев равно

числу

перестановок

из

10

элементов.

„ о

Пусть

событие

Л

-

заданные три

книги

оказались поставлен­

ными рядом.

Заданные 3 книги могут занимать разные места среди остальных,

чйс£о таких истодов

равно числу перестановок из 8 элементов

J g .

Кроме^того, заданные

три

книги

можно переставлять

между собой, чис-

„••#1 .

•

у''

числу перестановок из 3

элементов.

ло &ак%х. исходов равно

v

•-Чу/

.

'

Отсюда,

число

случаев,

благоприятствующих

событию

.

Следователь но* р(>А) - * I

ОD

’■4

?10

9,

Четверо мужчин и четверо

женщин наудачу

занимают места

за круглым столом.

Найти вероятность

т о го ,

что лица

одного

пола

не займут места рядом.

Р е

ш е

н к е»

Событие

vA - мужчины и женщины чередуются.

Пусть места занумерованыр женщины заняли четные, мужчины -

не­

четные.

Если женщины будут меняться местами

друг

с другом,

то

женщин равно

числу перестановок из 4-х

элементов. Столько

же

возможно расположений мужчин.

Отсюда.

есть число расположений всех .лиц, когда

мужчины и женщины чередуются.

Чередование сохранится, если женщины займут нечетные, а муж­

чина четные

места.

Итак, число благоприятствующих случаев

Общее число случаев

к,

равно

числу перестановок

из восьми

элементов.

Искомая

вероятность

равна

р (^ ) ^

-

10.

Из имеющихся 20 деталей 16 изготовлены заводом I X, а

тыре

- заводом Л 2. Наудачу последовательно

берут 2 детали. Како­

ва вероятность, что хотя бы одна из них окажется изготовленной

заводом Л I

?

Р е ш*е

н и е . Пусть событие

п

ч

А

- среди взятых 2 деталей

хотя бы одна (безразлично одна или две) изготовлена заводом Л I .

Общее число случаев равно числу размещений из 20 элементов

по 2

г». -

- 5-0 ^

л

Найдем число случаев, благоприятствующих событию А .

Пусть первая взятая деталь изготовлена

заводом Л I , ею мо­

жет быть любая из шестнадцати, за

ней

может

следовать любая из

заводом

Л 2,

вторая -

заводом Л I . Если обе детали изготовлены

заводом

Л X,

то число таких исходов равно числу размещений из

16 по 2 элемента

t

типов.

Р е ш е н и е *

Число

всевозможных

случаев равно числу разме­

щений из

(.&•*{>)

элементов

по

2 %

К -

^Дсх*4 -

Событие ей

-

повреждены

изделия

разных типов* Оно произой­

д ет ,'

если

вначале

повреждено любое из

изделий, а

затем любое

из

4

изделий или наоборот.

Следовательно, число случаев, благоприятствующих

событию Л *

m -

l o t .

них

окажутся

5 мальчиков

и 2 девочки Ч

Р е ш е

н и е .

Общее

число

случаев равно числу

сочетаний из

27

элементов

по 7

Пусть событие

Л -

среди

выбранных 7 человек:

5 мальчиков

и 2 девочки.

.

Пять мальчиков могут

быть выбраш из 20 столькншз способа­

ми, сколько можно составить сочетаний из 20 цементов

по ^

т .е „

■L*0

* Две девочки из

7 могу?

быть выбраны столькими

способами„

сколько ножио составить сочетаний из 7 по 2 элемента;?.е. C-J*

Чтобы получить

группу

в

7

человек

из

5 мальчиков

ш 2 дево­

чек в

надо взять

первую пятерку

мальчиков с

каждой парой девочек„

таких случаев

л г

;

затем вторую пятерку

мальчиков

с

каждой ка­

Ц

рой девочек, таких случаев

L \

; .

-

• .

Наконец,

последнюю пятерку

мальчиков

с

каждой

парой

девочек, таких

случаев тоже

/. 1

^ .

г.

Отсюда число случаев,

благоприятствующих

событию Л

ч- (L г -

f

*

с;

-СЬ

-f

-

^

0,0

'-v

\ _____________—

С

искомая вероятность

Следовательно,

-

Р

*

L

V^CJV)

^*0

Г

L*

гг

13. Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю» 3 биле­

та стоимостью по три рубля :: 2 билета стоимостью по 5 рублей»

Наугад берутся 3 билета» Определитьs

а ) вероятность

тогр 5 что

три

взятые билета стоят в

сумме 7

рублей,

б ) вероятность того» что хотя бы 2 билета нз этих трех имеют оди­

наковую

стоимость о

Р е s e i s e , а ) Общее число случаев равно числу сочетаний

из 10 по

3

элемента

И ,-

С .

* V

Пусть

событие

Л

-

взятые

три

билета

стоят в сумме 7 рублей..

Go6h t :q

А

произойдет,

если

из

трех

выбранных билетов 2 ока­

жутся по

одному рублю и I

по пять рублей»

таких случаев С**С*

*

*

5L

случаев

CL»

Э

у)

0пгсюда

число

случаев, благоприятствующих событию.^-

|з{^)-

О

б ) «1.1 с,о

'■'to

Пусть событие «-А -

среди выбранных 3-х билетов хотя бы 2 имеют

одинаковую стоимость.

Найдем вероятность

противоположного

события J - среди

выбран­

ных нет билетов одинаковой стоимости, то есть выбран I билет по

одному рублю, I - по три рубля, I - по пять рублей»

Число случаев, благоприятствующих событию

•

Отсюда

«

-

л , . ,

л

pw-

Р 1^) ^ I"

(

к §§ 2 , Э, 4

)

1в Для двух аппаратов вероятности безотказной работы в тече­

ние

часа

соответственно

paBHJ

0,75 и 0 ,8 0 .

Найти вероятность то­

г о ,

что

оба

аппарата

будут бесперебойно

работать в течение часа.

Р е ш е н и е .

Событие

v/т

-

первый аппарат работал

беспере­

бойно, событие

&

-

второй

аппарат работал

бесперебойно0 По усло­

вию

*

0 ,7 5 , р(1Ь) *

0 ,8 0 . Искомая

вероятность есть вероят­

ность того , что независимые

события

i

и

&

происходят

совместно»

Она равна:

р (

л

'p i t y 1

*2. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того , что

оба аппарата

будут бесперебойно работать

в

течение трех

часов.

Р е ш е н и е .

События

,

^з_

,

-

первый аппарат

бесперебойно работал в течение первого,

второго и третьего часа.

По условию р

(

Д

Л

-

=•0,1-5*. При этом

- вероятность бесперебойной

работы

первого

аппарата в течение

трех

часов.

События

Ф,

,

-

второй аппарат

бесперебойно

работал

в течение первого, второго и третьего

часа.

По условию

Гч 6О - М

0

• Лри ЭТ(Ж

‘?(&»

- 0^ 0^

~ вероятность бесперебой­

ной работы

второго

аппарата в течение трех часов.

Искомая вероятность есть вероятность того , что произведения

событий

И

происходят

совместно.

Она равна: р ^ ^ г > 4

-0,15*

О^СГ

(события

незави-

оимые

).

3 .

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние циф­

ры, но знал, что они разные. Найти вероятность того, что номер

будет набран

правильно.

Р е ш е н и е .

События

и

й

- набраны правильно

соот

ветственно предпоследняя и последняя цифры. Имеем:

р(Л )х 75"

»

Pi&iJl)

-

»

ибо последней цифрой может быть люба^ кроые

предпоследней. Искомая вероятность есть вероятность того, что

события

Л

и

Ь

произойдут

совместно.

Она равна:

р - pw ».& )--ipij»)

р 1б / Л ) - * 5о

4.

У сборщика имеются 3 конусных и 7 эллиптических валиков.

Найти вероятность того , что первый, взятый т валик, конусный,

второй -

эллиптический.

Р е ш е н и е .

Событие

Л

- взят

конусный валик, р (Л )-* ^ -.

Событие

В

-

взят

эллиптический

валик,

р(б( Л) -

•

Искомая

вероятность есть

вероятность того, что

события

d\ и