книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

P(,a/u \-

• • ■>00—

- Q о

г И / Ч ) "

юоо « э - •• ijOl

~ U|3,

Айаяогнчн©

находим

p . j i / u у - m - m -о э й . • ■ т _ , . 0 <1

..

I

1^п/'

И ~

j0oC}. ^

.

ho\

,p U /H j) :e ,b « »

, Р 1 ^ О - 0 ,! Г 5

П® уоловн »

задачи

требуется

найти

вереятнееть

п@р®®1 гипотезы

я®®ле ®пнт<\

(посл е

т@г®е как

вделана

проверка

©та л а ш е ч в к ), Её

й&квднм т формул© Вейееа?

'

h(u

i

й ) - --------------- P(Ht)-pi,^/H v)—

--------------- -

J—

(

v ^ / v W -

щ н . у р м / н ,) *

••“vptH by pЩl o ъ)

W .

Зо

Вер@яти@етж

попадания

з

мвдвень

при

найдем

выстреле для тре

отреж @ в

Ц

р

^

Л

0

При

одноврем енн а

равны ®©©твет©тв@нн@?—

~q-

,

- у

ш етрел е

все х

трех

стрелков

имелось

два попадания, Определить

вер

нееть

т@г®р чт@

премахиулзя

третий

етрел@к0

N

1

§

I

й е.,

Гипотезы?

Н>

•

третий

©трелек

й©пал в мишень»

.Н^» третий стрелмГпромахнулся»

Вер®ятн@етн гипотез

|р(НЛс.4 - f

p W x ) - ^ .

Свбатие

<л

-

при

зы егреяаг' арвкзэтл е

два

ввпакааяя.

Еара

несть

К ^ /Н ,)

находим

как

вероятность

©уши

двух

событий?

,ftv -

первый

ы®палр а

втсрой

промахнулся»

Р>^

-

первойщтшщж-

<зяр а

второй

попали

Р [ т ) - - № л ъ л - \ ч ъ > ) М ^ - Л - ч + f Т - -fe

Вероятность

p (^ /H jJ }

находим как

вероятность

произведения дв

событий?

первый

попал

и второй лекал

в

модяень

Р ^ | И ^ - 4 - - ^ г - 4 ~

Т1а условию задачи

требуется

найти вероятность

второй

гипотеза

псед®

вы стрел ® !.

Её

находимт формуле

Бейвса

lHHoVPlJ«/Ha)_______.

ik

- Л

\ 'Т а

| Ч Ч /Л )-

го

Р1Н.УрИН,) + р 1Н0

piJV/ИО

Х Х Т Т З "

\Ь

" t T e + T

f o

пулей.

Вероятности

попадания для

охотников

соответственно

равны:

г

ОД

0 ,4

и 0 ,8» Найти вероятность

того ,

что

попал первый

охотник*

Р е ш е н и е ,

Гипотезы:

Н,

- первый охотник попал в медведя,

первый

охотник

промахнулся.

Вероятности гипотез

рСНД » 0 Д ,

Ж

У

0 ,9 .

Событие

-

медведь

убит

одной

пулей.

Вероятность

нахо­

дим как вероятность

произведения

двух событий: второй промахнулся

и третий

промахнулся

р{ A jti,)

= 0 ,6 • 0,2 «

0 ,1 2 . Вероятность

Р\'Л/Мь) находим как вероятность

суммы двух

событий.

1Ьх - второй

попал в медведя, а третий

промахнулся,

|}^

- второй промахнулся,

а третий

попал.

о д + о ^ л г - о , ^ .

Вероятность гипотезы

Hi

после выстрелов находим по

формуле

Вейеса:

m u

|ДУ-__ _______

-----------------------------------------------------------------

Г 0,02-Ъ

того,

что

первый выстрел сделал первый стрелок.

?

е

ш е

н и е . Гипотезы:

И, - первый вы спел

сделал первый

стрелок.

-

пепвый выстрел

сделал 2-ой стрелок,

обе гипотезы

равновероятны,

следовательно:

р | И ,)гр (К г)

*

Событие

А

-

первое попадание

зафиксировано

ка пятом выстреле.

_____Р1НЛ Р1<А/ИЛ

,5.

р 1н ,у и Л 1н,)+рСИО-К<А-|нО

и

6.

Имеются две партии деталей. В первой все хорошие, во втор

Р е ш е н и е . Гипотезы:

Ht

-первая

деталь взята из первой пар

тии,

-

из второй

партии.

Обе

гипотезы

равновероятны,

поэтому

р 1 н ,)=

р Ю

=

.

Событие

(Л

первая

деталь

оказалась хорошей,

i .

рЦ И и-З

=

.

Вторая

деталь может

быть бракованной,

если

извлечение

происходит

из .второй

партии.

По формуле

Бейеса:

т ш т л

X , А

_ъ

"

X

__ X

ъ

1 I

, I

~ 1

К и .у р 1Л-|и1) + р 1н а) р И н О

%’ *+ % н

*

7.

Получена партия из восьми изделий одного

образца. По данным

проверки Четырех

изделий^ три

из

них

оказались исправными, а одно

бракованным. Найти вероятность того, что при проверке трех после­

дующих изделий одно из них окажется исправным, а два

других

- бра­

кованными. Любое количество бракованных изделий в данной партии

равновозмокно.

Р е ш е н и е .

Гипотезы

Нс

,

Н, , Ht , . . .

Hj

-

число бра­

кованных изделий в партии соответственно равно: О, I ,

2, . . . 8. Ги­

потезы равновероятны, поэтому р(Нс) «

р(,И,)

. . .

= т-

. Событие

JI-

- при

проверке

четырех изделий

3

из

них

окаэа

з

исправными,

а

одно -

бракованным.

лись

Условные

вероятности

p(JtyHft)

Г

где

К

»

0 ,1 ,2 ...8 .

9

Отсюда:

С

ри/и.)-о,

pt^/ИЛ'-х

, PWWlO-f

.

как при проверке первых четырех

изделий 3 оказались

исправными, а

I - бракованным, а при проверке последующих трех I оказалось неправ­

дам, а 2 - бракованными, то это

возможно, если число

бракованных

изделий в партии равно 3 или 4.

Следовательно,

событие

&

может наступить лишь совместно с

гипотезами JULJbrt*, или

• Искомая вероятность есть

полная вероятность

события

&

:

S

p i f t i - p l M ) p № / j u ) + p U ) p l& M ) ' 1

Pi b / д ) - р

и

ь

п - ч

'«I»

ч

Вероятности

гипотез {М. и

*л/

есть

вероятности гийотез И и

Нц после того, как произошло

событие

» и находятся, следова­

тельно,

по формуле Бейеса:

p U ) - P ( H 4j ^ ) i O , a T .

риЬ ) -

о д ъ 8-^

-

8.

Для

сигнализации

о том,

что

режим работы автоматической

жащий

с вероятностями 0 ,2 ,

0 ,3 ,

0 ,5

к одному

из трех типов. Вероят­

ности

срабатывания

для

этих

типов соответственно равны

1 ,0 , 0,75 и

О>4. От индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее всего

относится

индикатор?

Р е ш е н и е .

Гипотезы

Н(

- индикатор

относится

к первому

типу,

- ко

второму

типу,

H>j

— к

третьему

типу. Согласно уело-

вис задачи р(Н .) =

о . 2,

р (Н ^

= 0 ,3 ,

- 0 ,5 .

Событие Jr

-

индикатор

сработал. Согласно условию задачи

« 1 , 0 ,

P lifl/H j) «

0 ,7 5 ,

pivityl-Ц) «

0 ,4 . По формуле Бейе­

са

мовем

найти

p f4H ,/j1)

.

p (H t /vA)

и

р (И ,,/Д )

• Но в

задаче это не требуется. Надо лишь найти, какая из указанных ве­

личин будет наибольшей. Для

всех

трех случаев

знаменатели

в пра­

вой

части

формулы Бейеса

одинаковы.

Поэтому

необходимо сравнить^

между собой только числители. Имеем;

Р1Й»)‘р(*Л7Н() -

0,2,0 }

Р ( Ч У р ( Л / н о - о » и * ,

о д о -

’I

Видим, что

наибольшее

значение

имеет

вероятность

Р (Н ^ /^ )

т .е .

наиболее вероятно,

что

индикатор относится ко второму

типу.

Р е ш е н и е ,

а)

Имеются

10 цифр, из них 4 берутся для номе­

ра машины. Взятие цифры-опыт, число опытов fu * 4, в результате

одного

опыта возможны

события:

Л - взятой оказалась

цифра 5,

.

-

не

цифра

5,

их

вероятности

■ p U ) a V>

)

Требуется найти вероятность того, что событие

Л

в этих

четы­

рех

опытах

наступит

G раз

,

т - 0 ;

=o,ts6 .

б ) Аналогично: взятие цифры-опыт, Yb • 4 ,в результате одного

опыта рассмотрим события: В

-

взята цифра 3 9 Ъ -

не

цифра 3,

р ( М - р - Т о • P f e ) - ^ - »

•

Найти вероятность того, что в четырех опытах событие В

насту­

пит

число раз

0 ^

:

2. При каждом опыте

вероятность появления

события

Л

равна

0 ,3 .

Найти вероятность

того , что при пяти

опытах событие

произой­

дет четное число раз.

Р е ш е н и е . Введем в рассмотрение

несовместные

события S)

1\ и

JLL . Они состоят

в

том,

что событие

Л

в пяти

опытах про­

изошло соответственно

0

раз,

2 раза * Ь раза. Их вероятности:

)=С,

•-P)s

°1Ъ^ - ьо6

P U ) - q

\>Н- О - р У - • в , Ъ 4,-(1-в.‘Ь>*=-0,0X8 .

Событие

&

-

в

пяти

опытах

произошло четное

число раз .

£)-$+К -»-Л 1

.

Следовательно, jD (iP )^p(& + K + iM .)-

= - р№ ) + р 1К ) ^ р ( ^ ) - 0,У0Ч

3 .

Событие

Б

наступает

в том случае, если

событие f t

бытия

&

, если

вероятность

события

чЛ

при каждом опыте равна

0 ,3

и произведено

5

опытов.

Р е ш е н и е .

Искомая

вероятность

равна:

' к ь ) = y i s w i 4 i ? ; + ? . . 4^ i p / - C y о л Ч ‘ '^ ^ ) 1+ С - о ,5 М » 'вл У +

ttf о.ьЧ1'0»*)6-

4.

В

студии телевидения имеются

3 телевизионных

камеры. Д

каждой камеры вероятность того , что она

включена, равна 0, 6 .

Най­

ти

вероятность

того ,

что в данный момент

включена хотя бы одна

камера.

Р е ш е н и е .

Опыт - проверка включения камеры. Число опы­

тов

rv

»

3 . В результате одного

опыта

возможны

события:

f t

- ка

мера включена, * JF

- камера

не

включена

О, Ь уMvA) -ty-0,4

Требуется

найти

у

ъ

( вероятность

то го , что в

3-х

опытах

событие

f t

наступит

число раз

)<

5. Чему равна вероятность того, что при бросании грех играль­

ных костей,

6 очков

появится хотя бы на одной из

них?

Р е ш е н и е .

Опыт -

бросание

кости,

число

опытов п, « 3 .

В

результате одного опыта возможны события: Д

-

выпало

6

очков,

<Л

- выпало

не б

очков,

^

<v~ JL ,

Искомая

вероятность

о с , г о / 1_\° (_£ЛЬ- Л

6. Вероятность хотя бы одного появления

события

Д

при

че­

тырех опытах равна 0,59 . Найти вероятность появления события

А

при одно?л опыте.

Р е ш е н и е ,

$> * * ^ - ь ? • - . 1 4 : р° о - Рг °-- w o - р Г .

Известно, что

- 0 ^ 3

.

Требуется

найти

р .

Имеем уравнение:

( - ( i - p ) 1

« 0 , 5 9 .

Решая уравнение,

находим

р

*

0,2

7.

Из ящика, в

котором

20

белых

и 2 черных

шара у к,

раз

извле­

кают шары по одному с возвращением назад. Определить наименьшее

число извлечений, при котором вероятность достать хотя бы один раз

черный шар не менее

.

Р е ш е н и е .

Извлечение

шара - опыт.

Сделано

Уъ

извлечений

УЪопытов.

В результате

одного

опыта возможны

события.

Д -

и з-

влечен черный шар

Л

-

~

» Д

-

извлечен

белый шар ;

р ~ т г

ML

И

Вероятность того , что при

Уъ

извлечениях черный

шар будет

из-

влечен хотя

бы один раз,

равна:

У ^

»

По условию

3 ^

У/

?

.

о

t-

л

.

*

Получаем уравнение \ -Сн р

Jt

£ *

Из

этого уравнения

находим

п^7/1 . “

искомое

число

извлечений,

ной детали будет не

менее 0, 8,

если вероятность

того,

что любая

деталь

бракованная, равна 0,01?

Р е ш е н и е .

Изготовление

детали

- опыт.

Число

опытов гь

равно числу деталей. В результате одного опыта возможны события:

•<Л

-

деталь

бракованная

Ь - 0,01,

* •

Л

-

деталь

не бракованная

C^-0j9S.

Вероятность того, что из

Иу

деталей хотя

бы' одна бракованная^

равна:

.<1-0

По условию

7 / 0»«

.

Отсюда имеем: |-(,i-0,ot)

0,33^0,0.

Решая уравнение.находиц Уъ:

■ v t y > , s 3 ^ o , i

Таково необходимое количество деталей. Поскольку за один цикл

изготовляется

10 деталей, то

необходимо

не менее 16 циклов.

9 .

Партия

содержит

I

% брака.

{Саков должен

быть объем случ

изделие была не

менее

0,95

?

• Р е ш е н и е .

На. проверку берут

v\j

изделий ( производят iru

опытов).

В результате

каждого опыта возможны события: vA

- изделие

браковаинол , Л

-

изделие

доброкачественное.

f U O = p - o , o i

,

су =.0, 9 3 .

Если

Vn -

чисдо

бракованных ив,делий

в выборке, то

данная в уел

вии вероятность

есть

у ^*,

- |---ji .

с . . ® . Л .

• ilu eeu tl-t^ oi-O ,^ 7f°|S5.

Получили

уравнение,

в котором неизвестной

является искомая величи-

.

-W A 05

7/ Ъ9 (о.

П/^ 1

10,

Два стрелка

производят

по 4 выстрела, причем каждый стре­

ляет по своей мишени *

Вероятности попадания при

каждом

выстреле

для

обоих

стрелков

одинаковы

и равны

0, 5 .

Найти

Bjpоятность

то го ,

что

у них будет по одйнаковому

числу

попаданий.

Р е ш е н и е .

События

и Jf, -

попадание

и промах

перво­

го

стрелка, события

J^

и

- попадание и промах второго стрел­

ка.

По условию |э, «

«0,5,

C^t =

о ,5. Вероятность

того,ч то

при

четырех выстрелах

будет

Yf)

попаданий, одинакова для

обоих

стрелков

и равна:

„4 -т

0,6

Вероятность того, что оба

стрелка будут

иметь

по

m

попада­

ний, определяется согласно правилу умножения вероятностей, незави­

симых событий,

как

!

р

^

*

. По условию задачи безраз­

лично, сколько произойдет попаданий. Необходимо лишь равенство

числа попаданий для обоих стрелков.

Поэтому

число

возможно лю­

бое

от 0 до 4 и искомая вероятность

найдетоя

как вероятность сум­

мы

несовместных

ообытий:

I I .

Оптовая база снабжает

10 магазинов, от каждого из которых

может поступить заявка на очередной

день с вероятностью 0, 4 .

Найти

наивероятнейшее число заявок в день

и вероятность поступления

это­

го числа заявок.

Р е ш е н и е .

Опыт - проверка

наличия заявки от магазина.

Число опытов

Уь *

10. В результате

одного опыта возможны события: