Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

во

i ,

— ^<Я1Я*Г>|ШГИ»**HJ

"£l

I			I
t		i	i
c	X,	i	1	-&r
c	X,	Xb		Л	% »v	X

p u c . йл Xt

U J l

Ы X -x.U -tcm				X. <,-&*)
1 '	‘	йЪ -rd
Ho так как	X	- непрерывная случайная величина по условию»
то по определению -tern Р(Л,5 ^				^ Х,+аХ^-О.
	Ил-По		4
Отсюда:	р( X -*v )-Q

Вероятность зля непрерывной случайной величины принять любое опре

деленное	значение	равна	0.
Из этого	следует *	что в	случае непрерывной случайной величины на
графике функции распределения				все скачки равны 0 , и разрывная сту
пенчатая ломаная становится непрерывной кривой.
График функции распределения непрерывной случайной величины есть
непрерывная кривая (рис.			2 Л . З ) 0
Если	случайная величина			принимает значения з интервале (0 1 9 4 »
то график выгляди? так,			как показано на рис. (2*1 , 3 а ) . ’
На основании первого свойства				функции распределения	имеем
			Эта	вероятность может быть	представлена

ввиде суммы вероятностей двух несовместных событий:

р(*.,■<: Тлъг) - p(X -*.U

но , отсюда: - )? 1 к Л Х ^

Следовательно, для непрерывной случайной величины первое свойстве

может быть записано так:	X	{ ^»l) -	“*1"(Рг0 к
З а м е ч а н и е .
Если событие невозможное,	то	его вероятность равна О ( см*

начало курса). Из только что показанного следует, что обратное утверждение может быть неверным, т . е . если вероятность равна О,

то нельзя утверждать, что событие невозможно (для непрерывной случайной величины вероятность принять определенное значение равна О, однако это значение для случайной величины является возможным).

Ш» Плотность распределения случайной величины.

Пусть X. - непрерывная случайная величина, интегральная функ ция распределения которой К х ) .

Плотностью распределения называется предел, к которому стре

мится отношение вероятности попадания случайной величины в элемен

тарный	интервал к длине этого интервала, когда последняя стремится
к нулю.	Она обозначается ^ х ) и равна производной от интегральной
функции	распределенияс Действительно,

■ 4 W z i m	А Х	Г-Ч*)
L	А Х
Отсюда,	f t X ^ x l i £ ) -	у

где - бесконечно малая величина. Умножая обе части последнего равенства на А Х и пренебрегая бесконечно малой высшего порядка,

получим:

! Н х < Х < х - г & х ) - Ч ( % ) й Э t .

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в доста

точно малый интервал, примыкающий к точке % ( Х , Х * д Х ) , равна

произведению плотности распределения в этой точке на длину интерва ла ДОС . В е л и ч и н а н а з ы в а е т с я элементом вероятности или дифференциалом вероятности.

Свойства плотности распределения.

I .	Функция'Ц.Х)не отрицательная» Это следует из того, что
^(Ос.) ” F*(x) »		* производная	неубывающей функции не отрицательна.
2»	j	.	Я ей стви тел ьн о^ р ^ уА Х -К ^00) " ^ ^ ) - ^ 0
График0		плотности распределения		( или кривая	вероятностей )
представлен на рис. 2 .1 .4 .
Геометрически второе			свойство	означает,что	площадь под гра -

фиком плотности распределения есть величина постоянная, равна еди нице.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

Имеем непрерывную случайную

величину

.функция распределе

ния которой

РС^)

а плотность

распределения

Ч (Л )

. Найдем

вероятность

попадания

случайной величины в

заданный

интервал

( Х к)Ха),

т . е .

Вычислим

интеграл:

t<xi)

| ч

- J F 4 * - ) < U

- Г

' Ц = К *

л У - К * . ) - 1Ч

* Л

еледовательно: ЭДх д

- F

" F Iх

0 -

]

Ч W

Вероятность попадания непрерывной случайной* величины в заданный

интервал равна приращению функции распределения

на

этом

интервале,

.иля интегралу от плотности распределения, взятому по данному ин

тервалу о

Геометрически она равна площади под графиком плотности распре

деления

на

этом интервале

(см 0 рис. 2 Л «Л ) .

Найдем

выражение

функции распределения

PV&)

через плот

ность

Ч № )

•

Ра

основании

определения: И *,) - ] р

(

) .

Используя формулу вероятности попадания непрерывной случайной ве

личины в заданный hhv'-'cb&ji, получим

F4 * ) s j4fcJt)(Ax. -оо

Для непрерывной случайной величины функция распределения в некоторой точке X, равна интегралу от плотности её распределе-

йия5взятому в пределах от - о о до этой точки Ос «

§ 2. Закон равномерной плотности.

Непрерывная случайная		величина X	называется	равномерно рас
пределенной	в интервале	, если ее	плотность	распределения
задана так:	С рис. 2. 2.1 ) :

Здесь С сО

( ‘i [ X ) d x

-со*

	О	при	.X Со
	с	при	и л х < 4
	О	при	4 .
-	{постоянная величина.			Её	найдем из условия:
	-		» получим:
	~\		» получим:	/ *	[
	^ ОС		^	/ *	[

		I		o d x + J td x -v j о
		-оэ		' 'Эй	U>	4
Из равенства				находим		^ ~	‘
	Значит	плотность разномерно распределенной					случайной величи
ны	запишется:
	f	0	при	X < со
	Vfloc) - <	4-Х	Лри	0^ 4
	^	о	при	0^ 4
	При равномерной плотности вероятность попадания случайной ве
личины в заданный интервал					i^x, jX ^	f целиком расположенный в
интервале ( и ,4 )			,	зависит лишь от длины интервала и не зависит
от	его расположенияе			Действительно,

*1	X,		\	i
Эта величина есть площадь прямоугольника с		высотой	\	i
Эта величина есть площадь прямоугольника с		высотой	С - r j^	- ^
а основанием; равным Х а -К ,- 4	„ Очевидно,	ока не	зависит	о? того
где расположен прямоугольник ( см. рис.		) .
Найдем интегральную функцию равномерно распределенной				случай

о•ЛА' Г

■CASOUCVj	■5е*- %,
*s

> г л,

	0	И/1Э1Л, X < X
F O )	1	‘
F O )		Cc<X<
-ОЭ	0	rt.jDu. X7 & .

-As		x	-*» X/
	"5Г	~v-

при	X tc o F i x ) ;	f (< lx)tA X - )
при	Сс(Хч &	” C0	x
		\|р(х) - (	<Ux)

при	X	Cu
X7 I R * ) - - K * y A x - l 0- «
Следовательно,	•	* CO
	q q
	интегральная

пределения имеет вид

O cA x-O ,		X
		X	i I	9C-Ciu
d x - \|		f	i I	9C-Ciu
d x - \|	Odx-*-\|			- 4-0
• a0		U/f X		Си
• a0				(ddX	_
4				(ddX	_
x +n	V a x + l		Otl*	' ' : ^*Co	- - I .
11.		I*.		Гi
		_		U/
		_		_

функция в случае равномерного рас

О	при	ОС^Со
r - w - \ ЪТ1	ПРИ	И М	4	(с м / р и с.2. 2.21
J	при	Х у	4

§ 3. Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданием дискретно.! случайно! величины назы вается сумма произведений всех её возможных значений на их вероят ности. Обозначив его £ ( более подробно Е(Х) или Ех )* полу чим:

Математическое ожидание есть среднее значение случайной величины.

Покажем это. Пусть случайная	величина	- результат измерения.
Выполнено как угодно большое	число у /	измерений. тЛз них Па4 из-

мерений	дали	результат X» . . . .			измерений - результат
Тогда среднее		измеренное X		равно:
					rvu.	( 2. 3. 2 )
	Л	у	~ г у		_1у + - ‘ - + X ^
Так	как	J	неограничение		велико, частоты вариантов неогра
ниченно	близки к		их вероятностям.:
У -Р № .)			4tn
			--------^	' P	l M

Правая часть равенства ( 2 .3 .2 ) принимает вид правой части равен

ства	( 2 .3 .1	) .	Приравнивая		левые части, получим:			Х -Б (З С )*
	Перейдем	к	непрерывной		случайной	величине. В		общем случае	её
возможные значения лежат в					интервале	(~ о о	^ О О	) .
	Чтобы получить математическое ожидание для непрерывной слу
чайной величины,			надо	в Формуле ( 2 .3 .1 ) вероятность принять
определенное		значение		Дед	заменить вероятностью попадания случай
ной	величины	в элементарный			интерзал (Эсд ^ ^ Д Х )			„ которая	рав
на	^ 0се) д 3с		, а затем перейти к пределу				ппи	:
	«►				Ч 00
	АХ~»(Г—				X 4 (x )d x .			-U.X!>.)
	АХ~»(Г—				Лс
		(-ао;Хс^+00)

5 4. Дисперсия случайной величины

Дисперсией дискретной случайной величины называется сумма произведений квадратов отклонений от математического ожидания всех её возможных значений а ах вероятностей.

Обозначив её J) ( более подробноЗЯХ) или Э х ) » получим;

( г *“ Л >

С’ \

Дисперсия характеризует разбросанность случайной величины около её

среднего		значения.	С	увеличением разбросанности дисперсия			возраста'
е т ,	ибо	возрастают	вероятности ХЧХД тех		вариантов	,	которые
сильно отклоняются			от	Е х -
	Переходя к непрерывной случайной величине таким же способом,
как	это	было сделано		для математического	ожидания,	получим:
				-too
			З Н Х .Ы l 4 - < - 0 4 W i A x			(	г . ч . 2 )
				-со .		(	г . ч . 2 )
	Размерность			-со .	размерности	случайной ве
	Размерность		дисперсии есть квадрат		размерности	случайной ве

личины. Чтобы случайная величина и характеристика её разбросаннос ти выражались в одних единицах, вводится понятие среднего квадра

тического отклонения

т '

( более подробно СТ^У)

или

Средним

квадратическим отклонением случайной величины называется корень

квадратный из

её дисперсии,

Значения

можно рассматривать

как варианты

случай

(С;Д " Е Х)

ной

величины

[Х 'Ё х/У "

•

-*х вероятности равны

, ибо

с ка

кой вероятностью случайная величина X.

примет вариант

Х ц

, с та

кой

же

вероятностью случайная

величина

чХ-'Ьх-)

примет вариант

. Тогда

правую

часть

равенства (2 .4 Д )

можно рассматрива!

как

математическое

ожидание случайной величины (Х .-Е х)

. Таким

образом Д ( X ) - Е( X ' Г:Д

Из

сравнения

правых

частей

Формул

(2 ,3 .3 )

(2 .4 .2 ) видно,

что для

непрерывной случайной величины

также £ v X )- Ц Х '

Следовательно, дисперсия ость математическое ожидание квадрата

отклонения случайной величины

от

её математического ожидания.

Система двух

случайных

величин

Очень часто результат опыта описывается не одной, а двумя,

гремя и более

случайными

величинами. Совокупность

нескольких слу-

чайных величин, рассматриваемых совместно, называется системой слу

чайных величин.

Если на

координатную плоскость

наудачу

брошена

точка,

то

её

координаты дают систему двух случайных величин ( Х ^ )

(рис,

2 .5 Л ) .

Интегральной

функцией распределения

системы

случайных

величин(Х,Ч)

в некоторой

точке

(Л,!})

называется

вероятность

того,

что величи

на X

примет

значение

а величина

примет

значение

. т -е . K x . ^ ' - p O U X , ^ )

Геометрически

|-(%)^) в

точке

есть вероятность

попадания

слу

чайной точки IX ,У ) в бесконечный

прямоугольник

Ри

вершиной

точке

лежащий левее и ниже её ( см.

рис, 2 .5 .1

Свойства

функции распределения,

I . \-{Ъм)

>,Q

так

как по

определению

она

является вероят-

ностью.

/! •

неубывающая

функция

относительно

своих

аргументов.

Основное

практическое

значение имеют

системы

непрерывных случай

ных величин. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только системы непрерывных случайных величин, распределение которых удоб нее характеризовать не Функцией распределения, а плотностью распре деления.

. Вероятность	попадания	точки в некоторую область UT		обозначается
P ^ J ^ U T j	• Возьмем	элементарную клетку dW"	. Её положение опреде
ляется координатами		, а площадь равна	,	Аналогично то

му, как было для одной случайной величины, определяется плотность

распределения системы двух случайных величин:

p j ( U i ) t w )

^ VX )^) -

ЛГ ’ 4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ