книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

сопряжено с ошибками, которые могут быть

следующих трех видов.

I . Систематическая ошибка. Она вызывается

постоянным, одинаково

чайная

величина, распределенная

симметрично относительно нуля,

т .е . её

математическое ожидание

равно нулю и значения, равные по

предполагается,

что имеют место

только случайные ошибки.

а 2 Сценка

математического

ожидания

ниями) этих величин.

Обозначения; Гг (X) - сценка математического ожидания, а ш

- оцен­

дующими свойствами: несмещенность,

состоятельность, эффективность.

/>

(например, математического

1. Оценка ьL некоторого параметра

кое

ожидание

сценки равно

оцениваемому

параметру E(<jC)~ck.

2.

Оценка <L

параметра сЬ

называется

состоятельной, если она схо­

ла

опытов.

a

'N-

. .

, где

t

- ’любое

сколь

угодно ма-

{/Cm jp( |cL-c6 |< t ) ^

I

к —*юо

лое положительное

число

3.

Оценка <L

параметра

oL

называется

эффективной,

если

дисперсип

этой оценки

наименьшая

из всех

дисперсий

других оценок параметра.

\

Рассмотрим оценки математического ожидания и дисперсии.

Пусть изучается случа!ная величина X.

(например,

сопротивление

стали на разрыв, зависящее

от

множества факторов) .

Её математи-

ческое ожидание Ь ъ

(генеральное среднее), дисперсия

(гене­

ральная дисперсия), которые неизвестны.

Производится серия

измерений случайной зеличины

X в

количестве

Iг . Требуется найти оценки для £ % к

Результат каждого

•LC

случайная

величина

о

»тзмерения есть

(после того, как

измерение выполнено,

получен

её

вариант Й <1) .

му все случайные

величины

Х ё

независимы, имеют один и

тот

же

закон распределения, что и случайная величина X

> одну

и ту

же

дисперсию (D-jt,

одно и то же математическое ожидание

С х

. являющие

ся

математическим

ожиданием и дисперсией измеряемой

величины X .

Согласно теореме

Чебышева,

если

, то среднее измеренное-устой

чиьо и как

угодно

близко к Е х .

Практически Уь - число конечное и

часто весьма небольшое. Поэтому среднее измеренное (или среднее

выборочное)

Tj-

но

отличается

от Ь ъ ,

является

случай­

гой

величиной.

После того,

как

серия

измерений

выполнена, получен

ее

вариант

I _

ОС2,Чг ♦* * -г бС л

4 -

—1-------—— -— а •

получим

L ' . U,

«

t l li'l W

- i w

.

Используя теоремы

о

математическом

ожидание

и помня,

что

E (X ;'E * .fs 3 > * ,f c W - E ,J S » W )

• “

* « * ■ «

t'A

'

- i W

- b J - z ^ n . & 0L-5DW r ^

- a

(Ь а Ь ? " • « * » ) -

■

ro

K

lb

1

z * v -

ад.. нтт. , у-—

- а

ййас. - «J-fid. -

»*«

•

“ 5>- ‘

^5-

'* ° Ъ ИЛ

*

Л<

а

К.-1

r-'i'J c»

следовательно

S>a*

является

смещенной

оценкой

ген е­

ральной

дисперсия

jt)x. •

с (56£)

меньше

Sbjy

в

~

раз,

то

для по­

лучения

несмещенной

оценки

надо

статистическую

дисперсию

увели*

чить

ьо

столько

же

*Ч/

Jo

*

оит,

действительно

раз XU~ -------S5.v.

**

ri-i

*

Е &

) -- Е (■* 9 > Г) ---£ - Е ( V

) -- *

г

• 1- ±

:

- » »•

Следовательно,

несмещенной

оценкой

генеральной

дисперсии

язля

ется

.с».У.

ыг _ . i. •W

2

и

-

а * = ; £ г - а * - —

К;

U i - E O .

KI-J

П- l

~ ft -» 4 - - ', ' * t

Докажем,

что

эта

оценка

является

o-K

этого

надоДО-

состоятельной', для

казать,

Ту

^

— >о о

;

что

л)**—

*v

г~

г Л

~

Z

^ o - y

f .

z - t

V

- i M

r l l -

1

\

tri

1\

П.-1

Ц.-1

ft-1 ['г*

х н а« дI ^

-

п.

\\

- К

_

*г

S i -isi+^ 1

.

„

i x

^

s

YO

rv-l

гъ

^

п>

а - \

tt.

W

i

-

,

.

.

-

s

i*V~

Пусть

число опытов 1г. —

Yb

J411ИиЛу>'

среднее

тогда

л н

арифметическое наблюденных значений случайной величины

стремится

к математическому ожиданию

этой величины

г )

. У - Г ; х- ^ Е о с

Отсюда

j. E u C ) - E £ ] - i - a * = a *

0

Итак,

несмещенная

и состоятельная оценка генеральной

дисперсии

*

_

%

( x < . - U t

у

А- -

*г-|

Примечание.

не

является эффективной, но в Случае нормаль­

ного

распределения

она язляется>асимптотически

эффективной

при

\гь —* с ? о ..

. '

3

Доверительный

интервал и доверительная вероятность.

кой вероятностью абсолютная величина отклонения

от

меньше

заданкного

числа

Ь

» т .е .

надо

найти

вероятность

Р ( | Е ^ 6 з4 ^Е)*

Величина

есть

вариант

случайной

величины IT- -Ел£$-%*

Собы-

{гъ

тие I

произойдет,

если

Н

попадет.в

интервал

*'

( Е*

что

хорошо

видно

на риса (4 < Л Д )в

Следовательно ?

величины

У

можно считать нормальным.

Выше было

показано,

что

О Д - Б *

. Ч Ч ) - Л ?v.

о*

Величина

З х

точно

не

известна*

Поэто-

Т1

г

му заменяем её

оценкой

Шх,

, При этом получим:

.п.

Т

^

(Ч

V

-

. .

График плотности распределения

представлен на рисунке

4 .4 Л

(кривая 5. Искомая вероятность равна

площади

цГ

под кривой

I

в ин­

тервале ( E x’

о Если

указанную кривую

сместить на величину

(смещенная кривая - кривая П) и вычислить

площадь

под ней в

интервале

, .то она

также

будет равна

UT .

Но кривую S1 можно рассматривать как график плотности -нормально

распределенной

случайной

величины с

математическим

ожиданием

’ ~

и средним

квадратическим

отклонением

^ ( Ч ) -

* .

»

Следовательно, искомая вероятность равна вероятности

попадания ука-

занной случайной

величины

з интервал (E x ’ t , C ^ t )

.

Сна определяет-

ся формулой (3 .4

.3 ),

где

вместо

должно быть

,

, «Г = -\

[О Д

. При всем

этом получим

окончательно:

Stl Cu

- I 'O 1

( t .4 .1 )

Неравенство |lrx~j:xJ<fc

1

выполняется, если неизвестное генеральное

среднее лежит в

;*V

•, называемом

доверитель­

интервале \ E ^ i

ным интервалом.

Вероятность

того,

что *

лежит в доверитель­

ном интервале, называется доверительной вероятностью.

5 5. Метод наименьших квадратов

Переменные

величины

Jl

и ^

находятся

в функциональной зависимое-

ти:

CmV

гДе

параметры. Вид этой

функции из­

ния. 'Неизвестными остаются параметры. тЛх надо

найти

опытным путем.

В результате VV

опытов

получается

таблица значений

&

и

X

X

I

X Vy

|

*

И-

V

icoriKJw;

I

I ^ ...........

n

« V t

Число опытов больше числа искомых

параметров0 При каждом измере­

нии неизбежны случайные ошибки. Поэтому каждое

^

является ва­

риантом случайной

величины

H i с

математическим ожиданием

Обозначим: f f ib ’f i "

-

отклонение

от своего математического ожидания0 Оно может быть представ­

лено так:

а* ’

Здесь i^o)|

-

отклонения,

ремы, распределение случайной

величины

У*ь можно считать нормаль-

ным.

с

. . . .

г

Так как 'J i

-

линейная функция нормально распреде­

ленного случайного .аргумента

р то

она распределена нормально.

Её плотность

распределения

равна.:

Решив

систему ,

найдемрнеиззестныс

параметры

• - . С№ , а

затем

запишем

функцию

Функций ^(х t e. •

удобно принять

в виде алгебраического много­

члена:-

'

Ц х р с Л>г • t „ ) - С.И « tX ♦ti.'X1** ••+ c mx"'-

Чтобы выполнить.условие, всаженное равенством

(4 .5 ,2 ),

необхо­

димо его леву г

часть продифференцировать, по параметрам

Со

ма уравнений:

'

■

4

Г С о м г ы -с :^ х . + --.- 1 -С т £ .З г <.'4 -

2

. Hi.

ччг> ’

&.

< :

***

('4.5.3)

t o y Х-1- t b , / fr. + ••- К т у X ,

= у

W А о

CD С» ^ м

в

«9

О

•*

ГГ*

*

.

i

•

Р@®ая ©ио?ему0 здоедиш йва®ш@

Со

0

Ск

Q

0 0 . с

Пусть‘имеем таблицу. результатов

измерений, в которой содержатся

пар значений

kw L x »

* И

) %

Взяв

систему

координат

(& ,^ }и

,

1 > ■ -• • ’ - j *

нанеся

на чертеж

все точки

получаем та:*

называемое

корреляционное

поле (рис. 4 .6 01).

Примечаний. 3 таблица может

быть

несколько

одинаковых ззаче-

' V I

*

•

ний

,

которым.соответствуют

одинаковые

значения ^ h Поэтому

на чертеже

несколько точек могут

сливаться

в одну.