книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н о |
|
|
|
|
|
|
|
распределения |
случайных величин |
X |
и У |
, а |
также |
установить их |
||||||||||
вероятностную |
зависимость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р е |
ш |
е |
н и с . |
Область |
№г - квадрат, указанный в условии зада |
|||||||||||
чи (р и с. |
2 .8 .1 а ) . Уравнения |
его |
сторон: |
ч с х |
+ i |
k'si-oc* |
' |
|||||||||
^ ~ X -i |
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
) |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Плотность распределения системы |
имеет вид: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
[ С внутри |
UT |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
^ |
|
♦ «а 14 |
о |
ане |
|
иГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из условия |
|
! |
|
|
|
|
|
|
z \ |
|
|
находим |
|
|||
Плотность распределения случайной величины X |
определяется |
равен |
||||||||||||||
ством : Ч,(pc.) - j |
|
|
|
|
. Под |
знаком |
интеграла |
величина |
X |
|||||||
выступает как*параметр. Взяв |
|
произвольное |
X |
в интервале |
|
|||||||||||
и помня, |
что если |
|
, |
|
то |
|
|
, если |
|
|
|
^ |
||||
то Ч № }^ )-*£ |
6 если |
|
|
|
|
* |
то |
|
|
|
получим: |
|
||||
|
|
|
1 |
|
-| 'х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
при произвольном |
|
X |
в |
интервале |
-К Х \ 0 |
имеем: |
|||||||||
|
|
|
Xт1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
{ х ) - Н\ Г ' * + <- |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||
В интервале |
|
- х -t |
^ |
|
|
. График Функции |
|
|
представлен |
|||||||
1ХП1 |
Н!,(Х)-0 |
|
|
4*, (х ) |
||||||||||||
на рис. 2. 8Д б ( ломаная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично |
находим плотность |
распределения случайной |
величины 3 i |
|||||||||||||
|
|
|
|
» |
при |
-U |
^<0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
*'*$ |
при |
о |
^ |
о |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
О |
при |
|
Ц \ 7 | |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Условный |
закон распределения |
случайной величины |
X |
определяется |
||||||||||||
равенством: |
|
|
|
, Ч С М ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя сюда известные 4 1 * ^ ) к ЧЧ(^)гПС>лУЧйм:'
I l l
36
&
Риос» Л Л Л
Ч ( * / р |
^ |
M v ) |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
при |
|
о < ^ U |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
График функции |
^ {Ц ]) |
есть |
прямоугольник |
(рис. 2 .8 .16 |
ломаная П ) |
||||
высотой |
|
|
и основанием, |
равным |
|
|
|||
Сопоставляя |
функции |
Чх{^) |
и |
Ч ^ /^ ), видим, |
что они разные. Следователь |
||||
но, случайные |
величины X |
и |
|
является |
вероятностно |
зависимыми. |
|||
Однако их |
ковариация |
равна |
нулю. Чтобв показать это, |
вычислим ма |
|||||
тематические ожидания |
EQC) |
и |
: |
|
|
||||
+то |
|
|
|
|
|
\ a x d ^ - - o , |
|
|
|
Ш ) - \ \ у ч ^ |
) ^ |
^ |
-- |
|
|
|
|||
U и/
При этом полечим:
ы { г ,Ч):[j 1*-Е о [ f ' |
|
|
|
\\х |
|
fcj -О |
|
|
||||||
Случайные |
-JO |
X |
- |
|
|
и |
\аГ |
|
|
|
|
|
|
|
величины |
и J |
|
являются |
некоррелированными. |
|
|||||||||
|
2. |
Система |
случайных |
величин |
(,Х $ ) |
имеет |
равномерную плот |
|||||||
ность в квадрате с |
вершинами: |
Л |
( - 1 ; |
D , |
6 |
(х |
; |
D . |
M |
l ; - О . |
||||
|
( - 1 ; - I ) . Требуется найти |
безусловные и условные законы распре |
||||||||||||
деления случайных величин, входящих в |
систему, |
а |
также |
установить |
||||||||||
их |
вероятностную зависимость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Р е ш е н и е , |
Область UT - |
квадрат,указанный |
в |
условии |
зада |
||||||||
чи |
(рис. |
2 .8 .2 а ). |
Плотность |
распредедения системы имеет вид: |
||||||||||
|
|
|
|
Свнутри |
ь! |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ч |
|
|
W- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 |
ь0 вне |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
||
|
|
С*I |
|
|
ЛМ - J jta -X iU |
с I |
|
|
|
|
||||
Из условия |
|
|
|
|
находим t-T j' |
|||||||||
|
|
• СО |
|
|
J |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
Плотность распределен:.! случайной величины X определяется равен-
|
|
|
и з |
|
|
ч-со |
|
|
|
ством: v ,W |
-J |
. |
Взяв произвольное X в интервале |
|
-К'КЛ-Н |
, |
получим: |
|
|
|
|
чдх)-. U x - y |
|
|
В интервале |
jx|-?i f,(% ) - 0 „ |
График функции |
ЧЛ1*-) есть прямоуголь |
|
ник высотой |
4- |
и основанием,равным 2 (ри с, |
2.8.26). Аналогично |
|
|
А» |
|
|
|
находим:
Г-1- при h М 1
M s - и
Условный закон распределения случайной величины X . |
определяется |
||||||||||
равенством: |
|
|
|
|
|
|
в Подставляя сюда известные41х ф и |
||||
Нч(ф » получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 ( v 1) - - U |
|
" p' |
11, 0 |
|
|
|
||||
|
|
d |
L |
О |
|
при |
t3c|7 i |
|
|
|
|
Сопоставляя |
функции |
|
|
|
и |
видим, что они одинаковы. Слу |
|||||
чайные |
величины /и |
и |
*3 |
являются независимыми. |
|
|
|||||
|
Математическое |
ожидание |
и дисперсия |
функции |
случайного |
||||||
|
|
|
|
|
|
аргумента |
(к § 13 ) |
|
|
|
|
I . |
Случайная |
величина X |
подчиняется |
нормальному закону рас |
|||||||
пределения |
|
|
|
|
|
. Определить математическое ожидание и |
|||||
дисперсию случайной |
величины |
|
|
|
|
||||||
Р е ш е н и е ; |
|
|
Используя |
формулу (2 * 1 3 .4 ), |
получим: |
||||||
|
Ч-сО |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
^ ) ~ i |
!%1W |
e |
|
^ |
• ПоД знаком интеграла |
стоит четная |
|||||
|
-со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция. Следовательно, |
|
|
|
|
|
||||||
Ц Ч ) - Ц * " Ni r i |
|
|
|
« А х - Ч5Г |
|
|
|||||
Дисперсию |
$(1$) находим по Формуле (2 .1 3 .5 ): |
|
|
||||||||
|
|
0 * 4 “ |
|
|
|
|
|
• Раскрывая скобки |
в подинтеграль- |
||
- 09
ной функции и используя свойство определенного интеграла от четной
функции, |
получим: |
|
♦03 |
1 |
|
|
+ |
I |
|
|
|
|
||
|
+ G O |
„ 1 |
|
|
|
X |
|
% г |
-ЗЬ |
|
|
|
|
|
|
0txe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
*<■ |
^ |
+ |
|
|
Ах> |
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
+й© |
t |
С |
|
|
|
|
|
Вычисляя |
интегралы |
и помня, |
что |
j £-X d |
x - |
1 |
|
|
- интеграл |
|||||
Пуассона, получим |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 . |
Найти математическое |
ожидание длины хорды, соединяющей за |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
данную точку окружности радиуса Я |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
с произвольной точкой этой окруж |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Пусть точка $ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(рис. |
2 .1 3 .2 ) |
является |
заданной, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
точка |
Б - произвольной. Угол |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ЛОб - |
случайная |
величина X |
• |
||||
|
.p io e .lib .i,. |
|
|
Поскольку |
все |
положения точки |
& |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
равновозможны, |
X |
имеет равномер- |
|||||
ную плотность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
| 0 |
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L при с х х а ДЛ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
О |
при |
x |
j l f i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ii« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из условия |
j |
^ (jx )d x = ( |
|
|
|
|
|
находим |
C “ -jj |
|
||||
|
|
-со |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длина хорды Л & - случайная |
величина |
^ |
. |
Она является |
функцией Х ‘ |
|||||||||
' |
|
|
. Ее математическое |
ожидание находим по форму- |
||||||||||
|
|
-fcO® |
|
|
О |
|
’3»Л |
|
•^sckx. 4 |
|
||||
ле (2.13.4): E(.^)i |
4 |
|
|
^[о tlx + [ |
|
1 |
|
|||||||
?® , |
40. |
|
|
|
|
|
J * |
|
]o |
|
|
|
|
|
+ l o d b ' j T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
Найти |
математическое ожидание длины хорды, проведенной |
|||||||||||
круге радиуса |
Я |
параллельно |
заданному направлению. |
|
|
|||||||||
115
Р е ш е н и е . Пусть заданное |
направление - вертикальное |
|
(рис. |
2 .1 3 .3 ). |
Абсцисса середины хор |
ды - |
случайная |
величина X . Оны име |
ет равномерную плотность: |
||
|
' 0 при |
|
|
|
|
V |
При |
|
|
|
h О |
|
|
|
|
Уравнение окружности |
|
|
|
|
Длина хорды |
- случайная величина |
|
|
|
Ю - Д ^ - Х 1 |
|
&е математическое ожидание равно: |
|
|||
VCO |
|
4R. |
^ |
|
£ ( 0 ) - | Н ^ d x - j |
|
|
||
■’С0 |
|
-d |
|
|
Ч. |
Колесу |
радиуса |
R, придается |
вращение, которое затухает |
вследствие |
трения. |
Фиксированный радиус, |
останавливаясь, образует |
|
с горизонтом случайный угол, который равномерно распределен в преде
лах от 0 до ЗЛ» . |
Найти математическое |
ожидание |
и дисперсию расстоя |
||
ния конца радиуса от горизонтального диаметра. |
|
|
|||
Р е ш е н и е . |
Пусть O.U. - фиксированный радиус (рис. |
2 Л 3 .4 ). |
|||
Его угол с горизонтом - случайная величина X |
. Согласно |
условию |
|||
задачи, имеем плотность распределения |
X |
: |
|
|
|
|
|
f |
0 при |
?с (О |
|
|
<{(*) |
: { |
t при |
%Г\ |
|
|
|
i |
0 при |
тс,') №) .С - j-jr |
|
IРасстояние конца радиуса от горизон тального диаметра - случайная величи на 1 . Она является функцией случай ного аргументе X : |У|
Математическое ожидание и дисперсию этой функция находим по язвеот-
-т - ^
■Alt-
НЫМ формулам: |
(2 1 13 .4 ) |
и (2 .1 3 .5 ) . |
|||||
- E U |
^ |
3ST |
- |
. |
|
*л |
• |
I ) |
j JL i4Cw,oc\ |
- |
" &, * * ■' тГ |
||||
|
|
О |
|
|
|
0 |
'i |
|
|
$ |
|
‘ |
|
|
|
•Э(|Ч|) - ( |
L |
f |
f |
- |
Ц|*5^ ' f"f-иdx - |
||
|
|
J |
|
|
|
е |
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
•nl l t |
- |
к-) |
|
|
|
|
|
5 . |
Неподвижная |
точка 0 |
находится на высоте |
^ |
над концо |
||||
горизонтального отрезка и«*& длиной |
Ь |
. |
На отрезке J}0> находится |
||||||
случайная |
точка ^ » в с е положения |
которой |
равновероятны. Найти ма |
||||||
тематическое ожидание угла j)o jU, (р и с. |
2 .1 3 .5 ). |
|
|
|
|
||||
Р е ш е н и е . Угол Jk>uUsслучайная |
величина, |
которую |
обозна- |
||||||
О |
|
чим |
•ц |
Сна является функцией слу- |
|||||
|
|
j . |
|||||||
|
|
чайного |
аргумента X |
- расстояния |
|||||
|
В |
от точки |
Л |
до |
точки J ji. |
Согласно |
|||
|
|
условию |
задачи, |
величина |
X |
имеет |
|||
|
|
|
|
|
|
плотность |
распределения: |
||||
|
j О |
при |
X { О |
|
|
|
|
|
|
|
|
- л |
i |
при |
<)(% (-£ |
|
|
где |
t |
- |
|
|
|
|
1 0 при |
Х у & |
|
|
|
|
Ь |
|
|
||
|
|
|
|
|
Y |
|
|
||||
Непосредственно из чертежа |
|
|
|
|
в |
Математическо |
|||||
следует, что ^ |
|||||||||||
ожидание |
этой |
функция |
находим |
по |
формуле |
( 2Л 3. 4) ; |
|
|
|||
|
|
|
d |
|
f |
c |
± |
и { \ * - £ ) |
|
|
|
б . |
|
Основание |
равнобедренного |
треугольника |
- |
случайный отр |
|||||
длина которого равномерно распределена |
в |
пределах от |
0 до 5 см. |
||||||||
117
Найти математическое ожидание |
угла |
при вершине 0 если боковые |
сторо |
||||
ны треугольника равны по 5 см» |
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е * |
Обозначим (рис, 2 ,1 3 .6 ) |
: длина каждой из боко |
|||||
вых сторон « h |
см, угол при |
вершине - случайная величина |
Ч |
, |
|||
|
|
длина основания - случайная величина |
|||||
|
|
X |
-.Согласно |
условию задачи, случай |
|||
|
|
ная |
величина |
X |
имеет плотность |
рас |
|
|
|
пределения; |
|
|
|
|
|
— X
P u v lX ftA
|
Q |
при |
*4 О |
|
«(%) |
|
|
\ |
|
С |
при |
0<хч5" е где i - j |
||
|
||||
|
О при |
X I 5* |
||
Непосредственно из чертежа следует, что |
. Математичес |
кое ожидание этой функции находим по формуле |
(2 .1 3 .4 ); |
E(LJ)- J |
|
|
14 - 5) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
7. На отрезок длиной Ь наудачу |
брошены две точки* Найти |
||||
|
% |
математическое ожидание |
в дисперсию |
||
|
расстояния между шшив„ |
|
|||
3 |
1 |
|
|||
Р е к е |
и н е . Имеем две |
случайные |
|||
|
|
||||
|
P(jU. 3..№Да* |
величины - расстояния от левого кон |
|||
|
ца отрезка до брошенных точек, Боль-, |
||||
|
|
||||
|
|
шую из |
них обозначим X |
® иэньиую |
|
-У * Расстояние между точками
Ы' У - функция двух случайных аргументов (рис. 2 .1 3 .7а). Из усло
вия задачи в принятых обозначениях
следует; О ^ Х Д ^ , ,
X
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I I 8 |
|
|
|
|
Всем |
этим требованиям |
удовлетворяет |
система |
случайных величин |
|||||||||
(1,4). которая |
изображается точкой |
внутри |
треугольника |
\Г |
|||||||||
(ри с. |
2 .1 3 .7 6 ). |
Любое |
положение точки равновозможно, поэтому плот |
||||||||||
ность |
распределения системы |
имеет |
вид: |
|
|
|
|||||||
|
< 1* . ^ - |
|
t |
внутри |
б* |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
О вне |
|
IГ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из условия |
Ц CdxcU j |
I |
находим |
С - |
1_ |
|
|
||||||
е1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Математическое |
ожидание |
и дисперсию |
функции |
находим по известным |
|||||||||
формулам (2 .1 3 .6 ) |
и (2 .1 3 .7 ) |
Ос |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
•J- |
|
|
|
|
U |
о |
о |
|
U |
|
||
|
8. |
е |
|
о |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
I |
Индикатор |
кругового |
обзора |
навигационной станции |
представля |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ет собой |
круг радиуса |
Я» . |
Сигнал |
от |
маяка с |
равной вероятностью |
|||||||
может появиться в виде пятна в любой точке этого круга. Определить математическое ожидание и дисперсию расстояния пятна от центра кру
га . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е |
ш е |
н и е . Координаты пятна - |
случайные величины |
и У |
|||||
(р и с. 2 .1 3 .8 ). |
Поскольку все |
положения |
пятна равновозможны, систе |
||||||
ма С&>У) |
имеет равномерную |
плотность |
внутри круга, |
т .е . |
|
||||
|
|
I |
i внутри круга |
|
|
|
|
|
|
* |
v |
{ |
0 вне круга |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кз |
условия |
]] t-fciXcW -I |
находим |
||
|
|
|
|
, |
■ . |
|
\Г |
® |
|
|
|
|
|
c - w |
|
пятна от центра |
круга |
||
|
|
|
|
Расстояние |
|||||
|
|
|
X |
|
|
|
есть функция двух слу- |
||
|
|
|
|
чайных аргументов. Её математическое |
|||||
|
|
|
|
ожидание |
и |
дисперсия |
определяются по |
||
119
формулам |
(2 .1 3 .6 ) |
и (2 .1 3 .7 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
д |
г) |
- |
И |
|
|
|
|
^ |
- Н |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
М 2 ) - Щ \ М 1+ У '" § М |
^ |
clx -v V ^ - — |
• |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
П р и м е |
ч а и и е . |
Полученные |
двойные |
интегралы |
легко вычисляют |
||||||||||||||
ся путем перехода к полярным координатам. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
9. |
|
Вершина J\ |
прямого |
угла |
равнобедренного треугольника с о е - , |
|||||||||||||
динена |
отрезком |
прямой |
с произвольной точкой |
JX |
основания |
|
|
||||||||||||
(рис. |
2 .1 3 .9 ). |
Длина основания 3Lou.. |
Найти |
математическое |
ожидание |
||||||||||||||
длины |
отрезка |
J)iA . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
? |
е |
ш е |
н и е . |
Обозначим J+wU* ^ |
, |
OvU- * |
X |
. Из |
чертежа |
сле |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дует, |
что |
|
|
|
. |
Любое |
поло- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жение |
точки cLL |
на |
основании |
равно |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возможно. Отсюда плотность распреде |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ления |
случайной |
величины X |
*» |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pis |
|
|
|0 при |
Ос |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ (х ) |
- j |
t при -K X < *i |
, |
г д е с ь ^ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
0 при |
л-7 1 |
|
|
|
||
Математическое |
ожидание случайной |
величины |
^ |
(функции случай |
|||||||||||||||
ного аргумента |
X ' |
) |
найдем по |
формуле (2 .1 3 .4 ): |
|
|
|
||||||||||||
М У ) |
|
|
•y |
- d o t |
|
|
|
|
- |
’ i1’ - |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Г Л А В А |
|
ffi |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
§ I . Неравенство Чебышева |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Имеем непрерывную случайную |
величину |
. |
Известны её |
среднее зна |
|||||||||||||||
чение (или математическое ожидание) |
|
и |
дисперсия |
. |
Требует |
||||||||||||||
ся |
установить, |
с |
какой |
вероятностью |
абсолютная величина отклонения |
||||||||||||||
I