книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

р и г - т

>

)

Найдем вероятность

события Л

опытным путем.

Если

бросить

монету небольшое число раз,

например 10р то

!Л»

и 8 раз . . .

, при этом часто­

герб может появиться и 2 раза

та появления герба:

i n j n - i

, pW ) - - ^ , • • •

чо SO lOjSG'ob

Пирсон

бросил монету

12000 раз,

при

этом 6CI9 раз

выпал герб,

частота

I

выпадания герба

бскЬ 1 0,5016

10-000

Затем бросил 24000 раз, при этом герб выпал I20I2

раз, частота

выпадания герба

S

\%0\%

-

0 ,5 0 0 5

1,4000

Частота выпадания герба ищ ет

тенденцию при увеличении чис­

ла опытов стремиться

к вероятности

события

.

местном появлении этих событий.

П р и м е р .

Извлекается

одна

из

десяти заномерованных

кар­

точек.

Событие

Л

- номер карточки четкий» событие Ь -

номер

крат­

ный трем. Тогда событие Я 'Ь

-

номер

одновременно

четный

и крат­

ный трем ( & б

) 0

Т е о р е м а .

Пусть в результате опыта возможны

уъ случаев,

из них число

случаев, благоприятствующих

событию

Л

,

число

случа­

е в , благоприятствующих

событию

В -

9 а

число

случаев, бла­

гоприятствующих

совместному

появлению событий

Я

и

& -

( см. рисунок 131, где

случаи изображены точками )„

На основании классического определения вероятности события

имеем:

m

Р О д ) -

УЪ

Умножив числитель и

знаменатель

на пл^

, получим

«,.*

- i f - w

.J S ia ,-

^> {0)/Я )

-

вероятность

события

Ь

р вычисленная при

условия,

что событие

Я

произошло,

действительно:

поскольку

известно,

что событие Л ироизошло, то возмояншш будут лишь

то случай,

которые благоприятствуют событию Я

р число их

w s\> ИЭ

HE mJVO

благоприятствуют событию ?6 , сяедова-

теяьно*

-

Отсюда:

р { А Ь ) р- U ) ‘ р ( Ъ \ 3 )

(1 .2 Л )

Аналогично:

Р{А\Ъ) sp^)^t(bj^)-p^)-plvft|ib)

( 1.2Л )

Пусть надо вычислить *р(<Л,в^ #

® Обозначай

p u , А А ) - p U A ) - р(»)-р А |з > )-

>Pi)- pCAO’PWM

^ ь )

В общем случае

ш т т г

PUV^i** *

‘ "

(Х .2 .3 )

Пусть события

независимы, то

б

Вероятность произведения

независимых

событий

равна

произведению

N

их в ер оя тн остей .

5 3 . Сложение вероятностей

Суммой

событии называется

событие,

состоящее

в

появлении

хотя

бы

одного

из

них.

П р и м е р . Извлекается

одна

из

десяти

заномерованных

карто

чек.

Событие Л -

номер

карточки четный,

событие

£>

-

номер

крат­

ный трем.

Тогда

событие

jH lb

-

номер

четный

или

кратный

трем

или

совм естн о

четный

и

кратный

трем.

Т

е о р е м а.

Пусть

в

результате

опыта

возможноv\j

случаев.

Из них

благоприятствуют:

событиюJ I - случаев,событию

6 - п и

случаев ,

совместному появлению

событий

\Ь-иГод6

случаев.

На основании

класси ческог о

определения

вероятности

Случаи,

благоприятствующие

событию JW й>,

-

это

случаи,

которые

бл

гоприятствую т

или событию

Д ,

или

событиюQ)j

или совместному

появ­

лению

событий

Л

и

lb

,

число

их

равно

/ .

(смрис‘ 1вЗЛ)

\г

О О ( О 0 0 0 0 0 0 , 0 0

О Ч» о о , « 9

С О

о О о J о ®

I

f

I

м м

^ч/

-I

"•V-*

и Ап

Pvac.IA I.

Следовательно: p ( ^ - j

ю-

1А

Пь

pi *

Выполняя

почленно

деление.

и

помня,

что

'

-'ji- u-

Р ^ )

Л- и

Ь

о Отсюда

IfYijvc-O ,

и формула (1 .3 Л )

при­

нимает

вид? р (Л Ц ф )-р 1Л )*р 1&)»

Если

имеем три

несовместные события

Л,

, Л г й Л $*

то,

обозначив

, получим р (Д * ^ г-+Л-*) -

рф + Л Ч )

и, так как

события

9)

и чДъ

несовместны 0 то

В общем случае

имеем

*-ч

.1

РС ^У ^РЫ М ’’*

Р(.Лк)

(1 .3 .2 )

Вероятность

суммы несовместных

событий

равна суш е

их ве­

роятностей,.

/

Если события

Л |в. . Лк несовместны

и

образуют полную груп­

пу, то среди всех

уъ

возможных случаев

нет

ни единого

такого,

Здесь возможны такие гипотезы:

И,

- 2 белых и

О

черных,

I белый и I черный,

Нь - О белых

и 2 черных.

Гипотезы несовместны и образуют полную группу,

следовательно,

сумма их вероятностей равна 1. 3 данном

примере

все

гипотезы

равновозможна, поэтому

р (Ц J 1 р [\‘\Л "

’

Производится

опыт -

извлекается шар* Он оказался

белым -

произошло событие J1 . Стало очевидным,

что гипотеза

невоз­

можна и ее вероятность, вычисленная при условии, что событие

произошло, равна

Суша вероятностей

гипотез после опыта должна остаться

равной I .

И поскольку после

опыта вероятность

третьей гипотезы

стала равна

О, то

и вероятности первых двух необходимо пересмотреть, то ость

найти

1. 1*4) .

Пусть событие

может

наступить лишь только совместно с од­

ной из

гипотез

Н, }

и 1 # ».

И*. , которые несовместны и образуют

полную группу,

тогда

jplvA)

найдется

по формуле

полной вероятнос­

ти

!п л > -р '.н .) р ^ /n ,) t P i H tv p u * /K t V

" " r PlHn.)

н

Появление

события

Л

совместно о Hj, озьачает наступление

события

уЬ Hi,

и

P U 'M

- P I M

p U M 'u 'l - p U V p O u liiO ,

отсюда получаем формулу

Бейеса

4?

'блк Н.дл

г

6W! ?:ческря

I

v КОЛ'Ю «ка с а с р

■о ИлИГ;•

'/Ф

•-г

r \ I

‘ : * \

' t_'•.

18

B,u

-------------------------------------------------

ЩЛ)

К И.У Р Р /«.Ь Р 1‘-Ч ')Р И Ч ’)+ — p (M

В рассмотренном выше примере условные вероятности

PWH

PU|rt^-Y

pL-Д! къ) - О

Следовательно:

l

l

(

_

Производится

уь

независимых опытов, в каждом из которых мо­

жет наступить

или

не

наступить

событие

Л

, вероятность наступле­

ния

события

Л

в каждом опыте

постоянна

и равна

р С ^ )-р

*

тог­

да

IH J O -i-p -i

су

. Найти вероятность того,

что

событие

\Л

в этих уь опытах наступит

m

раз,

обозначим ее

.

Будем все

уь

опытов рассматривать

как один

сложный

опыт. В

результате его может произойти событие S^c, состоящее в том, что

при произвольном

с ^

порядке

следования событий

Л- и

Л

первое

из

них произойдет

м

раз. Иными словами, событие

£>i

состоит в

совместном

появлении

т

событий- Л

и

событий

Л

.

Его

событий. Получим произведение, в

которое сомасгадтели р и су вхо­

дят соответственно в количествах

w> и a -w w Таким образом,

£>{$>•,)'-f ' ’V

m

( t . b. O

Если

число

всех

возможных порядков следования

событий

Я

и

-J5 равно У

,

то

искомая

вероятность есть

вероятность

того ,

что

произойдет какое-либо из несовместимых

событий

«D.

,

5)^ .

Используя правило сложения вероятностей, получим:

О™

) - [ Ч 1 0 Р О

•■+

)

- п

Так как все слагаемые в этой сумме одинаковы и определяются

формулой

СIо601 ) ,

имеем:

/*

W1 Г\- rv\

J 1Л» - У ' р - f y

Найдем число

У

гь

опытов можно рассматривать

как

1гъ эле

ментов^ гг) опытов, в

которых

наступает

событие

J\

,

можно рассма­

тривать

как

сочетания из

а

элементов

по m

0 й следовательно9

число всевозможных

вариантов

следования

событий Л

и Л

равно

числу

сочетаний из

п,

элементов

по

no

,

V

-

t vv

/ч

Г) ^

f t ГУ»

р

^ . л " ^

Отсюда

J„_

^

YV1

1

ГЛ

Л - VYI

или:

J

w '

i

^

^

( i . 60<0

Равенство

( I 0602)

есть

Формула Бернулли.

Число

по может принимать значения

от

0

до

уъ

•

Если ояо~

жим вероятности

О m

,

вычисленные

при всех

m

9 то

получим ве­

J Л

роятность

того,

что

по

примет какое-либо значение

от

0

до

уи *

Это есть

вероятность

достоверного

события,

следовательно

/г>°

ч

J rv

^ J W

г

+

/О ^

- I

- УЪ 4

Л/

Вероятность того, что событие

Л

произойдет хотя

бы один раз

равна:

™ ^

о •

-О -

u

О ^

- I s-J

«. */

Л,

I w

•

* Л

Л/

Vv

-V

~