книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

При первом бросании все

5 вертикалей

свободны и

При втором

бросании свободны 4 вертикали и

•

Аналогично

находим:

с 7р($Ц

-

1

А ()

-

5

бракованой детали

среди пяти взятых на проверку» Партия содержит

5 % брака» Найти

вероятность того* что она ке будет принята»

Р е ш е н и е »

Пусть событие J} ~ партия деталей, ке приня-

та* то есть среди взятых наудачу 5 деталей имеется хотя бы одна

бракованая.

. 5д

5н

ъь

я

in

" ю о -

55) *

ЪЬ ’

’

5)б'

(

не принята,

Вероятность т о г о , что партия

М ) = 1- р с Л ) - о , 1Ъ.

7в Изделие

при

изготовлении

проходит три последовательные

V

при каждой

из которых вероятность брака равна 0 ,02о

операция,

Определить вероятность того , что изделие будет

бракованным*

Р е ш е н и е *

Пусть событие Jr - изделие

бракованное р то

есть хотя бы на одной операции

сделан брак.

Событие Л -

ни на одной

операции не сделано брака, вероят­

попадания

при каждом броске равна 0 ,1 . Найти вероятность

того ,

что хотя

бы одно кольцо останется не израсходованным*

Р е ш е н и е *

Пусть

событие

Л « хотя бы одно кольцо

оста­

нется не

израсходованным,

Противоположное

событие Л

-

все

коль­

ца израсходована (

произошло 5 промахов ) , его вероятность най­

дется как

вероятность произведения независимых

событий

) -

0 ' 0)0 U 'O iO \ 1-< м У U - M - ( и м ) -

о,*»!

Огсада

9 .

Стрелок производит одни выстрел в мишень, состоящую из

центрального

круга

н двух

концентрических

колец. Вероятность по­

падания в

круг и кольца соответственно равны 0 ,20, 0 ,1 5 ,

0 , 10*

Определить вероятность попадания в мяшень»

Р е ш е н и е ,

События Л 0-

стрелок попал в центральный

круг,

- попал во

внутреннее кольцо,

во

внешнее

кольцо*

Вероятности:

р Ы Ц -О Д О , р Ы М - О А р М О = °|КЬ

Событие

-

стрелок

попал ъ мишень,

оно

состоит

в

насту-

-

32

плении одного из несовместных событий

Ле ,

Следовательно д) г:р

^^ -JV1

о)^ РW 4Р1ЛtV'°‘Н^

11. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по

одной

и той же цели.

Вероятность попадания для первого стрелка

0 ,9 ,

для второго -

0 ,8 . Определить вероятность поражения

цели.

Решение. События: <А - попал в цель первый стрелок, Ъ - по­

пал в цель второй стрелок? <А - цель поражена.

Событие

состоит в наступлении события ,J \

или события

Следовательно,

Л Л -А тб ).

- О,Ь8 .

Эта задача может быть решена следующим способом: пусть со ­

бытие <1L - цель

не

поражена,

оно состоит в совместном наступле­

нии 2-х независящих событий,

первый промахнулся, jU,^ - в т о - .

рой промахнулся:

р С Л )

лледователыю:

P tJ u )-h p (jA ,) -

1-<М ‘ 0к1 - 0,5&.

12. Из колоды

в 52 карты

наудачу извлекается одна. Найти

Р е ш е н и е .

Событие $)

«►извлечен король»

даш или валет.

Событие

<Й

есть сумма несовместных событий?

-

извлечен ко­

роль, Ъ

-

извлечена дама» О - извлечен валет.

Их

вероятности

одинаковы и равны

£(.$}-Ptfo)-р(Л)

•) X*

-"Т '

I v

Тогдаp W s p U H & +O i P W )tp lR > )tp ^ )

. Событие

J b -

извжечена карта пиковой м аем

Р 1 Л 0 -7 Г

. События

S)

и

М ,

н

совместимые. Они происходят совместно» если извлекается король,

дама или валет пиковой масти.

Искомая

вероятность есть

вероятность

суммы событий

2)

и JA/

,

Она равна

■р - р { $ + л ) ^ \ э т * р ( , л у р № - м , )

+ ~ i—

13о Из урзш» содержащей

шаров .с

номерами

от

I

до

уъ »

■

не равен единице. Определить вероятность того*

что

шар

с

номером

2 будет извлечен при втором извлечении„

Р е

ш е

н й: е 0

События Л*

- первый извлеченный

шар имеет но­

мер I»

а

второй

-

номер

2

, *

р С А ) - ^ ‘ - £ ^

о

&

-

первый

извле­

ченный

шар вмеет

номер

не

I»

второй имеет номер

2

*

|р(,‘(

Ъ

)

~ .

«

■

4

в

п

а

О - второй извлеченный шар имеет номер 2 , оно

состоит

наступле­

нии события

Ji

или события

в

в

Вероятность

события

0

найдется как

вероятность

суммы

не­

совместных

событий

\__

К 2'-

гъ -г t

Р е ш е н и е .

События: J \ -

первая лампочка перегорела, вто

рая - не перегорела.

Е)

- первая лампочка не перегорела, вторая -

- перегорела. 6 -

обе

перегорели.

Вероятности их:

Событие

- питание в *цепи прекратилось, его

вероятность най­

дется как вероятность суммы несовместных событий ;

b f JU) -

Решение задачи

будет

более простым, если использовать проти­

воположное

событие:

пусть

событие JX> - питание

в цепи не прекрати-

лось, око

состоит в

совместном наступлении двух

событий £ ХЦ~ пер-

вая лампочка не перегорела,

- вторая лампочка ке перегорела.

Следовательно: р ( XI)

- (1-0,4) *( i Н) - 0 ^ 6 .

Отсюда

.

-О ,И .

но равны 0 Р4 “ 0 ,3 ;

0 ,4 ; 0 ,5 .

Для разрушения цели достаточно попадания одной бомбы в 1000 кг

или 3-х бомб по 250

кг. Найти вероятность разрушения

цели.

Р е ш е н и е .

События:

Л -

попал в цель

первый

(н еза в и си ­

мо от того, попали

остальные

или

нет ) ?

В - попали

в

цель вто­

рой, трети*! и четвертый бомбардировщики ( независимо

от

того, по-

па* первый или нет

) . Вероятности

этих

событий:

'

16,

Монета

бросается до

тех

пор,

пока

два раза

подряд

не

вы-

падет

одной

и той же стороной, Найти вероятность

то го а что потре­

буется четное число бросаний.

Р е ш е н и е ,

Событие

-

выпад герб,

событие

'Л

-

выпа­

ла цифра,

Эти

события равновозможны

и

являются

противоположными.

Отсюда

Событие

(2>у%- монета брошена

ft

раз

(

ft

-

четное

число )

и два раза подряд выпал герб. Оно состоит в совместном появлении

событий <

Я

, ч

Л

___JV,vA*

*• его

вероятность

равна;

Р CvA-vA"

-

^

А

*

<

Событие £)/ч - монета брошена

К

Раз

и Два Раза подряд

выпа­

ла цифра.

Оно состоит в совместном появлении событий

’ — I..

Л , . . . -

Г * "

и его

вероятность

р

а

в

н

.

_

.

а

?

}

-

1

События

и Хы несовместимы. Событие -XL - монета брошена четпэе

число раз и два раза подряд выпала одной и той же стороной (без­

различно, гербом или цифрой). Оно состоит в том, что произойдет

или событие

или

событие

при любом четном К .

»

Его вероятность находится как вероятность суммы несовместимых

событий: р(о*,) - jp(6*-*SO

- р

**&&+&&* »•**•}-

-t —

-V-X— •*

.

\

„

%

1-

3

где

ft

17.

Игрок

Л-

поочередно

играет

с игроками

\Ь ;и

Ь

,

имея

вероятность

выигрыша в каждой партии 0,2^ ,

и прекращает игру после

первого проигрыша или после 2-х партий,, сыгранных с каждым игроком.

Определить

вероятность

выигрыша

0

и

0 .

Р е ш е н и е ,

Q)

может выиграть, если наступит

одно

из собы­

тий: JjI

-

в

первой

партии,

играя

с 6

, Л

проиграл,

'

s /

-

в

первых

двух

партиях,

играя с

& ,

затем с

С ,

Л

визг

Поэтому

вероятность

того, что

выиграет второй^равна!

: J _.i_.ivj + - L i, U .-L -i -»•*• =

U ' Ч 1 U '

‘ ’ ,- Т 5Х’ *1 ‘

а П

1

u

u u

I- ^ *

19.

В группе из 30 спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов

и 4 бегуна.

Вероятность выполнить

квалификационную норму г д а лыж­

ника 0 ,9 , для велосипедиста 0 ,8 и

для бегуна 0,75 . Вайта

вероят­

ность того ,

что

вызванный наудачу

спортсмен

выполнит квалификацион­

ную норму.

Р е

ш е

н и е .

Гипотезы?

Ик ,

и

- вызванным оказался

соответственно лыжник, велосипедист, бегуно

Их вероятности:

р ( Н ^ - - ^

. |ЧН> )'"а о

События

И, ,

несовместны и образуют полную группу.

Событие

-

вызванный спортсмен выполнил норму - может произойти

лишь совместно с одним из событий

bi,

, Н*

»

___________

Искомая

вероятность есть

полная

вероятность

события

Л .

Имеем:

Согласно

условию задачи,

И^/н,)'0,Ь

PU /H 0-0*8

PCuVHO - 0,^5*.

20.

Имеются два набора деталей. В сзрвом 10 детаде1» во вто­

ром 15.

Из них стандартных:

в первом наборе 8, во втором 13. Най­

ти вероятность того,что наудачу взятая деталь яз наудачу взятого

набора стандартна.

Р е ш е н и е . Событие

eft - взятая деталь оказалась стандарт­

извлекалась из первого набора,

-

деталь извлекалась

из второ­

го набора.

Эти события равновозможны, несовместимы и образуют полную груп­

пу , P iH t) •+

~\ .

Отсюда b(H j)

-

Вероятность того, ч5го

деталь

окажется

стандартной,

если

она извлекается из первого

набо-

ра равна;

- JL

*

^ I f

• Аналогично

Искомая вероятность

есть

полная

вероятность

события

iA

:

М - p in .ур W ri.у + РО^ Уf

* i )

V i + Т ■§

21 о Имеются три

партии

ламп. Вероятность того , что лампа из

первой

партии заданное время

не перегорит,равна

О Д , из

второй -

- 0 , 2

и из третьей

-

0 ,4 .

Вероятность того , что

взятая лампа при­

надлежит первой партии,равна

Оэ25,

второй

партии

- 0,25

и третьей ~

-

0 ,5 .

Найти вероятность

того ,

что

лампа

проработает заданное

чис­

ло

часов.

Р е ш е н и е .

Событие

vA

- лампа проработала заданное число

часов.

Гипотезы

И, .

H.L \

- лампа взята из первой, второй,

тоетьей партии.

Совместно

с

одним из

них должно

произойти событие

Р(vA) - plH,).fш и,у+РСНO

' К0

p(ihi*)■ piJtyh;b) .

По условию

задачи

р ^ И ^ -О Д б

| о (> /Н ) - 0>\.

По условию

задачи

р (Н * )

-0,1b"

По условию

задачи

‘р (,Н>,)

~ 0,3

p iJl-j К*) - О,Н .

Окончательно имеем:

plvA)

+ о|г 5 |о)1 *+о,?-о1н ^

тью 0,98* а бракованную с вероятностью 0 ,0 5 .

Найти вероятность того ,

что изделие, прошедшее контроль,,

удовлетворяет стандарту.

Р е ш е н и е . Гипотезы: И,

- изделие,

поступившее на контроль*

условию задачи,

~ 0 ,9 6 ,

jpj-.h*.) = I

- 0,96 ~ 0 ,04 . Событие

А

- контролер

признал изделие

стандартным. Согласно условию зада­

чи

|о(Л/И,') = 0 ,98, р(ЛГ^х) =

°*05 .

Требуется

найти

вероятность того , что если контролер

признал изделие стандартным, то оно действительно стандартное.

По формуле

Еейеса находим

WH Ijpi -

------------------------------- £1

“ ’

0,96-0>9S+ 0^ 4.0,01*

вию эти числа равновозмояшы.*

т.е. р(Н.) -р(,На') - ‘ '

•

Событие

$

- взятые

100

ламп оказались исправными. Вероятность

того,

что при

первой гипотезе

100 ламп будут исправными,равна едини­

це ( достоверное событие )*

PIvA /K iV M .

•

Возьмем вторую гипотезу. Вероятности того, что первая, вторая,

......... о ., сотая

лампа будут исправными, соответственно

равны:

_

в

J J iL i

•*.

* ВВ .

Событие

состоит в том,

iooo

IfiocM

io o e - х з