книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

ное число (порядка десяти и более)

случайных величин. При этом

их законы распределения могут быть

неодинаковыми. Необходимо лишь,

чтобы

все

X l примерно одинаково

влияли на их сумму.

§

5е

Формула Далласа

вычислений. Трудоемкость особенно возрастает,

когда требуется най­

ти вероятность числа появлений события <А в

заданном интервале.

Производится Д

независимых

опытов.

В каждом из них может прои­

зойти одно из событий:

или

3

с

вероятностями

р

и

^ .

Число появлений

события

J\

в

O'*

опыте

есть

случайная

величина

с

вариантами

и

.

Все

Х { ,

независимы. тЛх матема­

тические

ожидания

и дисперсии -одинаковы

и равны:

*

- t Г)3"'

Суша jV)

f

= р -

.

t

°

“ Р)Чсу -

's^X w ,

есть,

случайная

величина. Её

математическое ожи­

дание и дисперсия равны:

Е(М) -

p t Р + ' * * Р -

X M V s3>lX ,+X ,+ -"-'t-X №) - P V ^ | , V

*

■■+ Р <у -

Каждый её вариант

гг) есть

число

появлений события

л

в

П/ опн-

ные слагаемые равны

нулю. Случайная величина М

является дискрет­

ной. Однако её можем рассматривать как непрерывную с плотностью

распределения

Для этого достаточно положить, что событие

М ^ Vy)

равносильно

попаданию

И

в единичный

интервал с серединой

в точке

ho (рио. 3

.5 ,1 )* При

этом вероятность

варианта И z ho ,

определяемая формулой Бернулли,

будет равна:

132

L

•

M

^ U 4 im x < u v n ) I.

ким ожиданием £ (М )-& 1р и средним

квадратическим отклонением

Определяя

по формуле

(З .'+ .З ),

где

вместо X

надо подстазить

m

9 и помняв

что

4/9

rvi

, получаем

формулу

1

Лапласаг

"

0»«ам|то—ц«»0и| 1

■ь

(3 .5 .1 )

Тос

что событие

Л"

произойдет

не менее

Сю

раз и

не

более Ь

раз

равносильно

попаданию и

в

интервал

от

(Х~^

до

4 *^

AS .

u l ■“ =!=■ -

0 . 5 . 2 )

/ЧУ

5

б 0 Закон редких

явлений.

(Закон

Пуассона)

i

Если

в

задаче

о повторении

опытов событие tfi является

редким/

т*во

его вероятность р

очень

мала, использование формулы Лапласа

дает

значительные

погрешности»

Формула

Бернулли хорошо

заменяется

в этом случае формулой Пуассона»

Лдя её

вывода

представим формулу Бернулли в следующем

виде:

т т

Ъ

- - . [ ^ " ( ^ 1-01 fogT. 11 *4? ^

1ГТ}1

rc

ik .Jbd

а •*

.ik ^ L ^ lz iL . ( Hip)™ Л l~

rv

т Н

К '

х

J 4

2 . Радиоаппаратура еоотоит из 1000 элементов. Вероятность

отказа каждого

элемента

за

год

работы

равна

0,001*

Найти

вероят-

«

ность

отказа двух

элементов

за

год*

Р е ш е н и е .

Рабата

элемента

в

течение

года

есть

опыт.

Всего 1000 элементов, т .е . Я*

® 1000

о п ы т о в В

результате

опыта

возможно

событие

Л

-

элемент

отказал

за год

работы,

его

вероят­

ность

р

« 0 ,001.

Требуется найти вероятность того* что

событие

Л

в

этих опытах

произойдет 2 раза ( т

*

2 ) .

Поскольку

величина

р

мала,

исполь­

зуем

формулу Пуаосона:

\^*

“ ICC 6

С

1

,

ф

*

- frftop-oteQ>)

л

%ь

a

iftco ~

5.^

■

Вероятность изготовления нестандартного продукта в некото­

ром

производстве

равна 0 ,0 0 4 ,

Найти вероятность того, что при изго

товлении

1000 единиц

окажется

пять

нестандартных.

Р е ш е н и е .

Опыт

изготовление

единицы

продукта.

Всего

\% *=

1000

опытов.

В результате

опыта возможно

событие

Л

-

едини­

ца продукта оказалась нестандартной, его вероятность

р «

0,004,

Поскольку это весьма малая величина, вероятность

того,

что

будет

VY)

»

5 нестандартных

единиц

из

1000

найдем

по

формуле

Пуассона:

*

- . « о

о.роч

^

itat

V

~

’

4.

Вероятность

выигрыша на лотерейный

билет равна 0,0002*

Найти вероятность выигрыша на 50 билетов.

Р е ш е н и е .

Опыт -

проверка лотерейного

билета. Всего 50

опытов. В результате

опыта возможно

событие

ел

-

выпал выигрыш,

его

вероятность

р

* 0 ,0002.

Требуется

найти

вероятность

то го , что

событие J \

во

всех

опытах

произойдет хотя бы один раз. Поскольку

величина

р

очень

мала,

используем формулу Пуассона.

Подучим;

I <

\SC

.о*ос*ь

V

- . \ - У л - > - b

• OjOi.

5.

Сколько

изюшш должно приходиться

в

среднем на одну булоч­

ку 0 чтобы

вероятность

иметь хотя

бы одну

изюмину

в булочке была

не

менее

0,99?

Р е ш е н и е .

Пусть

выпекается у /

булочек.

Рассмотрим одну

из

них.

Всего

взято

к

изюмин*

Каждая изюмина в эту булочку может

попасть

или

не

попасть.

Вероятность попадания равна р -^ 7

Вероятность

того,

что

в

булочку

попадет хотя бы одна изюмина^есть

у

'

4 ч- ) - 5 к

•

Поскольку Л

велико*

то

р

-

малая величина

*

“

14

Q С

можно использовать

.

и для определения

Jr*

формулу Пуассона. Так^

как, по условию задачи,

.

J уч

0 ,99,

у

получим? 0,99 *=!-£/

Отсюда

находим число

изш иис приходящихся

на

одну булочку;

нее

0 ,9

9 , должно быть

— УуН.б.

6.

1 *

На текстильной

фабрике длительными наблюдениями установде-

» .

но,

что

обрыв нити на прядильных машинах происходит в среднем Ч ра­

нити произойдет на

протяжении часа не более трех раз.

Р е ш е н и е .

Событие

Jt

- обрыв нити за

элементарный проме­

жуток времени

. На один час приходится

таких промежут­

ков и 4 обрыва. Следовательно, частота события

Jt

9 приближенно

принимаемая за его

вероятность, равна

. Так какД*(: -

малая

величина,

то

р -

тоже

малая величина.

Вероятность того ,

что за X

час, т .е .

за

уь

промежутков А^Ь , событие

произойдет

/-\№

(ирУ' -HP

Поскольку

ч

m раз,равна; j*

-

,

€

1 .

, имеем;

Q щ - x L сГн

1,1

п* будет в пределах от О до 3, Получим; j а

ь

^

п

г пЪ"

* v

\

ik)

vv^J vt"

4

е'

^

%

всего числа изготовляемых заводом те­

7о Известно, что j

Р е ш е н и е*

Опыт - проверка качества аппарата. 1Всего

Я = 200 опытов. В результате

опыта

возможно событие чЛ -

аппарат

оказался первого сорта, его вероятность

.

Наквероятнзйшее

число

Й

аппаратов

первого

сорта

находится

из

неравенств:

1

• # ^

^

а

5

тящ

= 120.

Подставляя сюда известные данные, получим:

m

Искомая

вероятность

.определяется с помощью формулы Лапласа:

- l i o

I

1Лоо4--~ -

у

gtto

*

э

ь

S

f

-О О Ь 'Ь .

о

г>

8.

База обслуживает

100

организаций,

от каждой

из

которых

может поступить заявка

с вероятностью 0 ,3 .

Найти

вероятность

наи­

вероятнейшего числа заявок, а также вероятность того, что число

заявок

будет не более

30.

Р е ш е н и е„

Опыт - проверка наличия заявки от организа­

ции, число опытов ^

=

100.

В результате одного

опыта может прои­

зойти

либо

событие

ей - заявка поступила,

либо

событие

Л

- за­

явка

не

поступила.

Вероятности этих

событий;

р

*= 0 ,3 ; Су= 1 -0,3 ®

* 0 ,7 .

Наивероятнейшее

число

заявок

ги

определяется неравенства­

ми:

—

^

р .

Подставляя

сюда

имеющиеся

данные,

получим:

О

вычисляем по формуле Лапласа (3 .5 .1 ) г

цн, вероятность у

100

I

_

(?>о~ <ор-о,Ъ)

(X)

^

I

* £,

S-ioc-c,^ <0Л

С: 0,0Ъ1г

J

ice-"

\3^мсо-0,^-0,1г

Вероятность того, что число заявок лежит в пределах от 0 до 30,

находки

по Осрмуле (3 .5 .2 )

:

О

.ОС

'V L■

£ - < • !

ь с - ^0 , ьt \

р - и

c - i j A -Ь'Ъ

- о. ь

о

X

Ч^;и<^сЗгсЛ 1

P k 'l0 0 -b ,io p )]

1

9 . Определить вероятность того, что при 0000 бросаний играль­

ной кости частота выпадения пятерки

отклоняется

от

вероятности

не

более

чем

на

SO

Опыт

-

бросание

игральной кости. Всего

vx =

8000

Р е ш е н и е .

опытов.

В результате

i

опыта возможно

событие Л

- выпала

пятерка,

его

вероятность

.

,,

^

,л

произошло

m

раз,

тс

его

частота

равна:

.

*

т

дели

событие

v/r

О - г — г

.

*

•

S060

Согласно

условию

задачи,

должно быть:

6

<

О ^'нгт‘ 77 '

Отсюда

находим интервал

изменения \п :

1 4

«

id

( t ' f e >

SO°

4 n' U

t

+

8'o')'W C0,

О

ил m ^ 1ь

Искомой

вероятностью

является

величина

. где

J Sooo

S I

I

j

10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна

0,63 .

Сколько

выстрелов

нужно

произвести, чтобы с вероятностью

0,9 получить

не менее 10

О '

попаданий.

Р е ш е н и е .

Обозначим

Yi - искомое число выстрелов ( оно

более

10).

Событие J \ - попадание,

его вероятность

р *

0 ,6 3 .

Вероятность

промаха

С1Д ]-р

«

0 ,3 7 .

Число попаданий

по

должно

быть

в пределах от

1C до

п>

с

вероятностью 0 ,9 , т . е . у

-0,9.

Определяя

О 104^ Уг)< П/

по формуле (3 .5 .2 ),

получим уравнение о

неизвестным Yy :

л

4 \4 tv o 1(1v o ln )

Ч \ ^ . о , ь * - ° . н

Уравнение

легко решить

следующим образом:

оь

7

\

Отсюда

И7Ю

ууо,ьfr-io

Л/ 0,8

' \',—.Лкъ-о,ь^>

/

0 , 8, если

По таблицам находим, что

=

^ ~

0 ,9 .

Следовательно,

Jv:°i

10 . - •■ 'Х.О.З

\j й,К'$кЬЪ ^

Решая это

уравнение и помня,

что

УПЮ , находим ft,

~ 20,6 .

Поскольку

число

*

есть

целое число,

необходимо

принять

выстрелов

П = 21.

I I .

Телефонная

станция,

обслуживающая

2000 абонентов, долж

между станциями, чтобы на'каждые

1

0

0

более одной

занятой линии.

Р е ш’е н и е . Время вызова,

сделанного...одним

абонентом, есть

того,

что

вызов произойдет в этом интервале,равна

.

Пусть

проведено

К

линий. На каждые 100 вызовов должно быть

не

более

одной

занятой

линии. Следовательно,

вероятность того ,

что

при вы-

зове

найдется

- г

будет

свободная линия,равна 0 ,9 9 . Сйбодная линия

в том случае, если в течение 2 минут вызов сделают не более К,

абонентов.

Таким образом, число К

должно быть найдено из равен-

ства

J

геоо

* 0 ,99, в котором

левая часть определяется по

формуле (3 .5 .2 )

:

'L

К - IOOO-Tg

-

f Q- ^OCQ- b0

'-0 ,5 3

IX i „.Г”"

i

ST\

Отсюда

fc- 2.000-

ta J \ - 0)3ft.

По

^‘Jt-iOCO

u v

toJ

0,98, если

i

= i,6 5 .

таблицам находим,

что

va,(J=

Следовательно,

У - loco ■Го

K s W ,* .

'/i-lUiOO-^oO'Ta)

Потребное число линий равно 86.

12.

Вероятность

допущения дефекта при производстве механиз-

•ма равна 0 ,4 .

Случайным образом

отбираются 500

механизмов. Уста­

новить величину наибольшего отклонения частоты дефекта от его ве­

роятности, которую можно гарантировать с

вероятностью 0,997.

Р е ш е н и е .

Опыт -

проверка качества механизма. Всего

^ = ‘500

опытов.

В результате

опыта возможно

событие

iA

-меха­

низм оказался с дефектом,

его

вероятность

р

= 0 ,4 .

Если

событие

sA

произошло

№

раз,

то

его частота (частота дефекта) равна:

р ‘ -

-jjj

. Если

Vfl

=

200,

то

р * - Тр.

Пусть

гг)

отклоняется

от 200

на

величину

К

. Обозначим:

200 - К *

в

Ckj

, 200 +

К

«

-fc . Найдем величину

К

из того условия, что­

бы число

По

было в

интервале

9 вероятностью 0,997.

Используя

формулу Лапласа,

будем

иметь:

(

ц { ( ~

-

IV

Vi-soc-o/Ui-AH)

^ иоолЧ *'0'4) у

•»

полученное равенство принимает вид:

Так как

,

л/

К

11

4\j’2.-yoo-0;4 (1-0^4)

По таблицам находим, что

* 0,997, если

J

« 2,10 .

Следова­

тельно ;