книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

Пренебрегая бесконечно малой

третьего порядка, получим;

Вероятность попадания случайной

точки ( Х Д ) в элементарный

прямоугольник, примыкающий к

точке

00 сторонами АХ и

равна произведению плотности

распределения системы в

точке (£ ,^ У

и площади прямоугольника.

Свойства плотности распределения

системы случайных величин,

1с Вероятность

U f-) [ j

•

Действительно, чтобы найти

поступаем так.

Разбиваем

тей ,

искомая вероятность равна сумме вероятностей попадания систе­

мы в

какую-либо клетку. Выполняя суммирование

и переходя к пределу

при

AOl-^ o е

—? q .

поручим:

- I f

(2 ,5 .1 )

1

ur

4

*•

-oo -OO

u

^

ния, используя

формулу

(2 о 5 .1 ),

Швам

;

р ( К х

У ( ^ г

<=R.) J j

‘ЬосЦ -

_ -ос -ОО

что

X

Lj

Отсюда следует,

К м ) * ] ^ Х |

(2 .5 .2 )

-О0 -V33

^

Зв Найдя вторую смешанную производную от обоих частей преды­

дущего равенства

{?. .5 .2 ),

получим

0 x 3 я

(2 .5 .3 )

Формулы

(2 „5 .2 )

и (2 .5

.3 ) выражают взаимосвязь между интегральной

функцией распределения

и плотностью распределения

системы (Х ,У ).

Ч.

Полагая

в равенстве ( 2 . 5 . 2 ) * - ° 0 и

находим вероят­

плотность Хо^ . Это есть

достоверное событие.

Отсюда,.имеем:

•t O Q

Ч С О

|dx|

- I

(2 .5 .4 )

-со

-00

*

Ci1истсма а

д

называется равномерно распределенной в области

.UT ,

если

её

плотность

распределения задана

так:

J t

внутри

\ 0 вне

. UT

Здесь

С

-

постоянная величина. Её находим„

используя равенство

(2 .5 .4 )

:

| dxl

j 10-ciOi-Am

C*UT

Примечание: Для удобства записи

площадь

области

будем o6o3le-

чать той же буквой, что и саму область.

Из равенства tuTil

находим ь -

*

Пусть область

[Г

целиком расположена

внутри

области (аГ ( см. рис.

2 .5 .1 ). Вероятность

попадания системы

в

область { f находим

по изложенному

выше

правилу:

е -а х -А ч

—

иГ

л-

*

f

события с о с ­

Отношение —

называется геометрической вероятность»

V

Лана система случайных величин (Х .^ )

и еб

плотность распре­

деления

*0 Найдем вероятность 'попадания £

в

интервал

(.Ос^ОслдХ), при

этом

!Г

может иметь любое

значение.

Иными слова­

ми^ найдем вероятность попадания

системы. (X ,У )

в элементарную по­

лоску

AS

(ри с.

2 .7 .1 ) .

Используя правило

вычиоления

вероятности

попадания

системы в

заданную область,

получиш

.

К(ХЛ)6^М

1

Щ

0

Д Х

йУ

u X

в

По малости

можем пренебречь

изменением £

этом интервале.

+ оэ

в

•

.Тогда

интеграл

j

будет выступать как постоянная вели­

чина.’

Отсюда

•'**

*

Ь+*Х Y °

*

г+оо

•J < Ц

- [

Н

х 5

•

чайной величины \ • Обозначив её

получим:

+00

^ Х ) = | (Н М * ‘Ч

“

.

(2 .7 .1 )

-сй

.

§

8. Условные законы распределения отдельных величин, вхо­

дящих

в

систему

В

отличие от

предыдущего

требуется

найти

плотность

распреде­

ления случайной величины X

при

условии, что

^

принимает

опре­

деленное значение

^

. Обозначим

эту

плотность

Пусть

попадает

в

интервал

^

.

Назовем

это

событием

$ е

Его вероятность:

*

где

“

безусловная

плотность

распределения X

• Пусть X

попадает

при

этом

в интервал (х ^ с + д х )

- событие Р> с условной вероятностью

(

х

/

.

Произведение

событий

^ « ф д а е т

попадание

системы

( л ^ ) в

элемен­

тарную клетку Д\ЛГ (смо рис. 2 .7 .1 ).

Следователь но, $[£*§) - |р

^

- Н1^) ^

*Д^ ,

гае

-

плотность распределения

системы ( Х ^ )

По формуле

вероятности

произведения событий

имеем:

И«л-w = w «я) ■v I а / л») - 1нМ ) 4 у ‘с( * /

! к у &

г

В двух последних равенствах одинаковые левые части. Приравнивая

правые,

получим:

Условие,

что

0 пРеДеле приД^->0 превратится в усдо-

вие 3 - 1^

,

следовательно

§ 10.

Математическое ожидание

и дисперсия

случайных величин,

входящих в

систему

Математическое ожидание и дисперсия случайных величин, вхо­

дящих в систему ( Х 5

) определяются таким же

способом,

как это

было сделано ранее, когда рассматривалась одна

случайная

величи­

н а .

Выражая плотность

распределения % № ) я

по ф орм ам

(2 .7 .1 ) и ( 2 . 7 . 2 ) , получим?

-}•оо

ЧСО

"*1

*2*,

-со

•Vсо

ЕП) -)]

- 0 0

чоо

В Д

- \ \

ttoc-cLiv

-•QQС О

У

§

I I . Ковариация случайных величин,

входящих

в систему

Как было

изложено ранее,

случайные

величины 1

и ^ находят-

v

>

ся в вероятностной зависимости, если при

различных

значениях одной

из нкх

другая

имеет различные

плотности

распределения,' Возникает

необходимость

характеризовать

степень такого различия или тесноту

чаемая

или

и

определяемая равенством:

U r ( X , 4 ) -

IV f- ^

<*х ,с ^

Если X й **?

вероятностно

независимы, то Ce<l(X,4 ) - 0 «

Действительно,

з этом случае.

-<{ Д х Н з - Ц ’)

f сО

4 00

ь и х . , 4 ) - j p - u ) > u * , y i

-

-оз и

р ,*50

—сэ

+оО

*i?°

Л Х -

зи

между

X

й V • Однако

обратное

заключение

сделать

«ельзя. Ко-

вариация

может быть равна

нулю,

хотя

ф

величины

зависимые,

случайные

*

г

В этом случае они называются некоррелированными.

% 12. Функции случайных аргументов

Если между случайными

величинами

X

й V

существует вероят­

ностная зависимость, то не

известно,

чему

буд^т равно ^

*

когда

X

примет определенное

значение,равное % . Известно

лишь,

в ка­

ком интервале

и с какой

вероятностью

может

быть

"Н .

Например

( см. рис♦ 2 .9 .1 ), при X

Ч

$

}

^

площаДЙ М О .

Однако

возможен следующий

частный случай. гри каждом значении

\ ъ % график

функции

выглядит так, как показано на рисун­

ке

(2 .1 2 .1 ),

Каждому определенному

значению% - % соответствует