книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

4,

На отрезке

длиной

10, м

наудачу

выбраны две

точки.

Найти

Ч t

вероятность того,

что расстояние между ними меньше 5м.

Р е ш е н и е .

Обозначим:

X

~ расстояние от

левого конца от­

резка до ближайшей точки, У

-

рас­

стояние от левого конца отрезка до

более удаленной точки. Следователь­

н о ,) ^ ^

.

Эти случайные

величина

изменяются каждая в пределах от 0 до

10.Точка, изображающая систему

X

лежит в треугольнике 0бИЬ (ряс* 2.6 .4 ),

Его

площадь

UT - -I

iGз* 0

Согласно условию задачи, должно быть:

или

У

„

Это

требование" будет выполнено, если точка лежит в области 0jlc9>. Е§

площадь

• Используя

формулу геометрической

звроят-

•

••*•

ности,

находим искомую вероятность:

Г ' Ь ' -

^ 5

5.

На отрезке

наудачу поставлены две точки & я

S .

Найти

вероятность того, что точка

&

будет

ближе

к

точке

&Ь

(рис.

2 .6 .5 а ), чем к точке

Л .

Р е ш е н и е .

Пусть

длина

отрезка"

J3B равна

Ь

•

Обозначим:

&

&

X

-

расстояние

от

Л

до С-,

У

-

расстояние

от

до 3),

ь

Эти случайные величины изменяют­

Г

-<е-

ся

каждая в интервале от

0 до

Э(2ц,

. Поскольку

точка

С

может

РЦ, . %•

быть как слева,так и справа от точ­

ки ей

, то

система

( Х ,^ ) изобра­

жается точкой, лежащей в прямоуголь­

нике

(р и с. 2 .6 .5 6 ). Его

пло**

щадь

w - . t

. Согласно условию за-

ь

* дачи,

должно

быть:

^ - Х ( X

или

Pu»tД.(е $$■

. ^ *«ДХ

.

Это требование

выполня-

ется , если

точка,

изображающая систему,

лежит в

области

ОкА&Ъ .

Площадь

\Г

этой

области равна:'

i r z ^ e 1-

«

Т*

формулу

гео-

*5спользуя

- £ - А .

метрической вероятности, находим искомую вероятность: р - —

6.

Стержень длиной

Ь

наудачу разломан

на три части. На

вероятность того , что из трех получившихся отрезков можно постро­

ить

треугольник.

Р е ш е в к е .

Пусть точка К

-

бли­

жайшая к левому концу стержня точка

излома, точка

V

-

вторая точка

из­

U

Put.

лома (ри с.

2. 6, 6а)*

Расстояния

от

(Ь

С/

левого

конца стержня до

точек

К

и

Ь

ч »ж

J

обозначимсоответственно

X

й

х Ze~s

L

щ

.

С л е д о в а т е л ь н о , .

Эти

слу

%

у

чайные

величины изменяются

каждая

в

I

пределах

от

0

до

t

• Точка, изобра­

-*►£

жающая

систему

лежит

в

треу­

I

гольнике G<Ji&

(ри с,

2. 6. 66) .

pwut/.

.fc£

Длины получившихся отрезков равны:

X.

* У -Х

.

. Нз отрезков

можно построить

треугольник,

ес­

ли выполняется условие: сумма

длин двух

отрезков

больше

длины трет!

е г о .

Отсюда

получаем неравенства:

X.* 1 У ~ Х )) Ь ~:

,

Упрощая эти выражения, получим:

*] 7

Такие неравенства

выполняются, если

точка, изображающая систему

( Х , ^ ) , лежит в треугольнике

.

Используя формулу геометричео-

кой вероятности, находим искомую вероятность:

ю -

площадь

a tmjx,

,

\_

1

площадь

4 oj}£>

7,

На отрезке J 6

длиной 12 см наудачу взяты две

точки

С

и S)

(рис, 2 ,6 ,7 а ). Определить

вероятность того ,

что

длины всех полу­

чившихся

отрезков

не превосходят

5 см.

4

,

о

а

2>

Р е ш е

н и е .

Обозначим:

X

расстояние

от

J

до

,

-

М И М —

ши т ц - у .........nil

■ и "

i

Ч

ъ

*•}

«*•

t

расстояние

от

до

‘3)

•

Примем,

“

-------*■

—V

----------- ^

что буквой

0

обозначена

точка,

Р

4 Си.

ближайшая

к точке

J\ .

Отсюда

X ^ ^ .

Эти случайные

величины

изменяются

каждая

в пределах от О

до 12

см.

Точка,

изображающая

систему

(Х ^ л е ж н т

в

треугольнике

•OoU-j/

(р и с.

2 .6 .7 6 ).

Его пло­

щадь

.

Длины получи

-

шихся отрезков равны: Х>

Ч -Х , Ч -Ч

Согласно условию

задачи должно

быть:

Эти неравенства

удобно

предста­

вить: Х о

У 11-

, Они выполняются

если точка, изобража­

ющая систему

IX {У) ,

лежит в

треугольнике F4K # Его площадь

•

Используя

формулу

геометрической

вероятности, находим

искомую вероятность:

’

-Л*

vr

)6.

1

Р е ш е н и е . Оси

прутьев образуют

клетки

размерами

0. и & (рис. 2 .6 .II).

То, что центр шарика попадает в одну

из таких клеток, -

событие достоверное.

t

То

Поэтому в произвольном углу произволь­

ной клетки можем поместить начало коор­

fuЛ . 1.641.

динат,

оси координат направить по осям

ных величин

, имеющую равномерную плотность

в прямоугольнике

с площадью

чУ-й-&. .

Чтобы шарик попал в решетку, его центр

должен быть

удален от оси

прута на расстояние-, не превышающее l*

Ю

изображающая

*£■ . А точка,

систему (X fi)

, должна оказаться в области (на рисунке заштрихова­

на) с площадью

чу взятой хорды в круге превосходит

»

длину стороны вписанного равносторон­

него треугольника.

' ^ П е р в о е

р е ш е н и е . Радиус

круга равен

Ха (рис. 2. 6, 12а ). .Дли­

середины (точки Ж

) .

Если точка

Ж

внутри круга радиуса ^Ха ,

то длина хорды больше стороны вписанного равнастороннего треуголь­

ника, Декартовы координаты точки

Ж

дают

енотему .случайных

ве­

личин

(Х >

4

) .

Эта система

имеет равномерную плотность

в круге

радиуса

с площадью

UT-

,

Требуется

найти

вероятность

того,

что

система

окажется

в круге

радиуса ^ Х 0

о

площадью

. i f -

ТГ^1г^ ‘

По

формуле

геометрической

вероятности

находим иоко-

мую вероятность:

^ .

if

~

i

р Z

~

-

~ц •

В т о р о е

р е ш е н и е .

Принцип решения остается тот

же

самый,

только

середина хорды

(точка

Ж

)

определяется не декартовыми, а

полярными

координатами: СО

-

полярный

угол,

X

-

полярный радиус

(рио* 2 ,6 .126)

Это есть

варианты

случайных величин

и

ftj

, которые имеют равновозмож­

ные

значения

в интервалах

о с

^

о ^ R . ( Х с , ,

Система

( Q

,R/)

имеет равномерную

плотность

в прямоугольнике

ОЛШС. <с

площадью U Titftt

(рис.

2 .6 .1 2 в ).

Чтобы середина хорды попала в круг ра­

диуса

^ t 0

,

полярный

угол

Q

может

быть каким угодно в пределах от Q

до

^

,

а полярный радяуо

ft

должен

лежать

в интервале

•9

Искомая

(0 ^ -- )•

А*

вероятность есть вероятность того,

что

система

($ 2

, R, )

окажется в

прямоугольнике ОЛФКг

с площадью

По формуле геометрической вероятности находим:

Парадокс

состоит

в том,

что

два решения дали разные результаты.

13.

На поверхности

сферы радиуса

(ъ

произвольно

выбираются

две точки. Найти вероятность того , что проходяшая через них дуга

большого

круга стягивает угол меньше

60°.

Р е ш е н и е .

Одну

из

точек

(точ ­

ку

0

) примем

за полюс

(ри с.

2.6.13а )

Вторая произвольная точка есть точ­

ка ЛЛ . Плоскость, проходящая через

точки иЗ ,

0 и

Ь (центр сферы), бу­

дем считать фиксированной, ^алее

возьмем плоскость, проходящую через

точки JsL ,

0

и С . Угол между

плоскостями есть случайная величи­

на, которую обозначим X

..

Ялина

дуги QJU, - также случайная величина.

Её обозначим В .

Эти случайные величины

изгоняются в интервалах:

^

^ ^

^ ‘

Точка, изображающая систему . ( V i ) ,

лежит в прямоугольнике

(рис.

2 .6 .1 3 6 ).

Его площадЫдГгйЧ,.

Чтобы уголООЛ. был меньше

60°, ау-

га

бЙА/ должна

быть

меньше

v*

т .з . должно быть

J \

, 3

X

может

быть

любым в

интервале

(

%Z\) . Злсдовательно,

вышеука­

занная случайная тсчкз

( Х У )

должна

оказаться

в прямоугольнике

ГУ

.

Его плота ль