книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

вероятность

того, что время свободного

пробега меньше

X . Тогда искомая вероятность

Для решения задачи необходимо найти

Способ

нахождения

аналогичен использованному

в

предыдущей за-

заче.

Событие 'Л -

молекула получила

столкновение

за время

X .

р(Л)-(ЧОс)

• Событие Ъ - молекула

не

получила

столкновений

за

время

X ,

но имела

столкновение за

время &Х .

Используя правило

Далее

имеем:

- к * - » * * ) - \ ч £ )

* |чво

(вероятность столкновения за время

Рw

+ А г-(х) - р(X1)fb-r-(X)] V- АХ

Отсюна, при й х —» 0 получим:

UilEJJSJ— -

у-п1л,

'- К х )

Интегрируем уравнение, находим

Время всегда положительно, т .е . О

Из условия F W -0

находим С «

0.

-nx.

~пх

Искомая вероятность:

|р( J w 'X ) - М + £/

-

& .

10.

На телеграфной

линии <АЪ длиной

Ь произошел разры

ти вероятность того,

что точка разрыва

удалена

от J}

на расстоя­

ние не

менее

&> .

Р е ш е н и е .

Случайная величина

X

- расстояние

от точки

случайная

величина

X

имеет равномерную плотность распределения

чнаервале

от

0

до

Ь

:

О

при

Х <0

ч м- t

при

.0

при

л .

f

Постоянную

С

найдем

из условия

. Получаем

Хо

Найти математическое ожидание

и дисперсию дискретной случай-

У

X 0 заданной

рядом распределения*

ной величины

1.... —

Р--- J———г—--- ----- - 1 -- --- г— —-—

} к„

1

1 9

4

7

8

ХО I

1 5

2 1

|КМ| 0 , 0 5

J.6 , 0 5

Ор2 .

-

0 * 4

од-

од

.

0 , 0 5

0 0 5

»—i... -,.i

.......

ГТП■IWtJltt1l*JIJ....i„,■«—.—it

*

<

2 а Непрерывная

случайвая

величина

X

ямее® пдотяоета

раеаре-

•

*|3с|

*

*

I

9 ш г& ш тичее&ое

ожидание

деления s^(pt) s- t*&

о Найти постоянную

и дисперсию»

+f>

.,«5 Р е ш е

в

и е .

йеатояннув

® находи

из условия? }

^Wijclfcs

'* . ( ь £ г 'йз£,з|

, С Д т

. «

>«.

,

■о

■

Е(Х)л jx-<|i%)dx= |*•£,-<,

-о

- как

интеграл

■*Со

*00

от нечетной ^ункаия*

-5о»

„

г

"

■* аО

• оО

>

г

“ 03

вероятностей

*

“V

За Интегральная-функция

случайной ведтошы

Л

имеет видs

0

ГО при %ч-*

”

1Ч х )

с + к<*ль&и#ъ

нри - ч х <+1

Определить

ч | при Х7•*

ожидание'

я диспер­

Постоянные. о

ш к

0 математическое

сию.

Р е ш е н и е *

Воилу непрерывности

РЧ*)

веточках

Xz |

я

X - I

должно быть*

о

F(~|+o)

и

F(H0)

в

F(w o)

в Отсюда по­

лучим

систему

в

ret

.

jQ ~

Urn ( с t кадмспъ)

[ j

-

4om (c -t & (хгчдйпх)

ус ч i\

--

z \

Решив которуюe найдем:

С

.

Находим плотность

pa сиределения, вероятностей по

формуле :V (x)-F ‘(x,).

Получим:

(

0 при Х<-1

^ г )

= N

при ' к а < '+‘

[

0 При 3v)1'I

Математическое ожидание с ( Х ) и дисперсию 3)(Х)

находим по известным

формулам:

г

♦Я3

- i

-v00

i

Е Ш 1 ] « • • 4 ^ ) c l x i jo d x + j ^

= ^

. + |o Лос - о

— CD

— o q

Ч -I _____ -+1.

I

+О0

§)(1) i

J (х-Ех) ЧЫ^Х = j <И*.+j

тi° dx ‘ i

-

-ой

- gq

*l

*

»

а. Считая, что вес тела с одинаковой вероятностью может быть

равен любому целому числу граммов

от I до 10^ Определить, при какой

из указанных ниже схем разновесов

среднее число гирь, потребных

для взвешивания, будет наименьшим (гири

можно ставить только

на од­

ну чашку весов)*

Схемы разновесов:

I )

I ,

2 ,

2 ,

5,

10

.

2 )

I ,

2 ,

3,

4,

10

3 )

I , I , 2 , 5,

10

Р е ш е н и е .

Рассмотрим первую схему разновесов.

Случайная

величина X - потребное

для

взвешивания

число гирь. Каждому ее вариан

ту X L соответствует

rvu

весов

тела. Всего

возможных весов ^

в ю .

Вероятность варианта

X I

равна

го*

* .

р(Ъ<,}- п,

Первую партию играют ей- и

Ь „

Вероятность выигрыша

в каждой партии

для каждого игрока равна

в

Игра продолжаемся до

тех порс пока

суш у выигрыша,

равную числу всех сыгранных партий,

Н&йти матема­

тическое

ожидание выигрышадля

игроков

и

С * дотачала игры,

Р е г е н к е„

•+ —

событие.,,

состоящее

в

томр

что

Обозначим J4& -

при встрече

игроков

с4 и Ь * игрок

Л

выиграл*

игрок

6

проиграл.

Аналогично для других комбинаций игроков0 Поскольку

все игроки

равносильны, то

вероятности всех

таких

событий

одинаковы

я равны

°

с

*£

. Случайная величина X

-

сумма,

выигранная

игроком

Я

{о т

равна числу сыгранных партий).

Её первый

вариант

--

2. получается

так;

ч*-»

4* —

- в первой партии

.

выиграл у

Ц>

0*во второй

о) 6

, ЛС

J2

партии, где

6

*

*’

ей выиграл

у v

о

Вероятность

этого

уступил место С f

варианта равна вероятности совпадения

( т . е в-

произведения)

событий

и jSt

с

На основании правила умножения

вероятностей-

получиш

Вто?ой

ваРиаЯ1? £*. *

11 п

с

л

у

ч

а

е

„ j i t

По правилу умножения .вероятностей

°

^

в *ий вариант

Х ь »

5:^ Ё ьЛ £

, S i

рей1Ь о $ 1

. Р^ ^ ) в (т\

• Четвертый

sa p ta T

*Ч« 7.Л& , l t

Л

Ж Jc J b

.pi4=(tf.

Аналогично

находим

« 8Р

. и

т 0До

чайной величины

X i

X ,

г

5

7

j

8 j

PCЧ )

( т

) '

—i

. —.

i

t

f

1

. 8

Третий

вариант 'Хъ * б - первые два позывных не приняты, третий

принят

р и э - о . ^ - о . ш

Зс„

4

5

6

7 I

8 ..

Н Ъ )

*

о д

о . г Ч ь

о,г* в.д.

о,гчл ъ

Искомое математическое

ожидание

равно:

лгос*

-------+ 0л

2 . гт1'®|?'

[ 0 при

% чО'

ч t

при

е

I 0 при

Х-71

Из условия

г .

находим С * ^

о

*%,

*оЭ

Е(Х) - 1

= | * • £ * * - I лс»к.

*

-с£

С

2> Ш - 1

- &

а

Геометрическая

вероятность ( к

§ б )

I . В любые моменты времени

промежутка \ равновозможны поступления

в приемник двух сигналов.

Приемник будет

забит, если разность меж-

ду зтрщи сигналами будет меньше ^

.

Определить вероятность

того,

что приейник будет забит/

Р е ш е н и е .

Обозначим:

X

-

время поступления первого сиг­

нала,

^

-

время

поступления второ­

го сигнала. Это есть случайные ве­

личины. Каждая из них изменяется в

интервале

од

0 .

до Т

. Поскольку

X

-

время поступления первого сиг­

X

нала ,

а

У

-

время поступления вто-

Ри/м %Л.\.

рого,

т о Х ^ Ч

.

Этому условию удов­

летворяют координаты точки (которая

изображает

систему

(Х ^ Л

;

лежащей

в треугольнике

(рис. 2. 6. 1) .

Его

площадь

i * .

Приемник будет забит, если

т .е .

Ц

. Этому условию

удовлетворяют координаты точки, лежащей ниже Прямой

Следовательно,

приемник

забит,

если

точка, изображающая систему

( Х / Л

,

лежит в области

OJtC.8)

. Ее площадь tT- ^

1

•

Используя формулу геометрической вероятности, находим искомую

вероятность:

1" — - %.Г-»

1

иг

»

т 1.

2.

На одной дорожке

магнитофонной ленты длиной 200

м записа­

но сообщение на интервале 20 м. На второй, независимо от первого,

записано аналогичное сообщение. Определить вероятность

того,

что

в интервале от 60 до 85 ы будет непрерывная запись, если начала

обеих

записей

равиовозмокны

в любой

точке от 0 до 180 м.

?

е

ш е

н и е .

Обозначим:

X.

-

начало первой записи, "j

- на­

чало второй записи (следовательно,

)• Каждая из этих случай­

ных зеличин изменяется в интервале

от 0 до 180 м. / Точка, изобра- -1

жающая

систему

( Х » 4)

*

лежит в

треугольнике ОчА& (рис. 2. 6. 2) .

Его площадь

l/r -~*U C2' .

3

интервале

от

60

до

85 м будет "зпре-

А*