книги из ГПНТБ / Олянюк, П. В. Оптимальный прием сигналов и оценка потенциальной точности космических измерительных комплексов

оценки параметров сигнала, а процесс определения

парамет­

ров движения

выносится за рамки процесса оценки и

р а с с м а т ­

ривается как

задача вторичной

обработки сигналов

(инфор­

мации) .

Другой существенной особенностью решаемой задачи яв­

ляется

то, что

сигналы и

шумы

рассматриваются на интер­

вале

времени,

в течение

которого происходит значительное

дельных

точечных антенн,

но т а к ж е и из достаточно

боль­

шого количества элементов, дискретно

или

непрерывно за­

полняющих определенную область пространства.

Очевидно, что при упомянутых условиях объективно су­

ществует

возможность непосредственного

определения

всей

совокупности параметров,

характеризующих

пространствен­

земного

наблюдателя .

К а к

видно из постановки задачи, она

носит статистиче­

ский характер и ее можно свести к з а д а ч е

оценки величины

известная

функция нескольких случайных

векторов

q, q„

р,

п, законы распределения

которых известны. Следователь ­

но,

может

быть рассчитан

результирующий

закон распреде­

л е н и я вектора

у,

а т а к ж е

условные

законы

распределения

типа

w(y

jq),

по которым можно найти апостериорный

закон

распределения

вероятностей

w(qly).

Р а с п о л а г а я

этим законом, можно составить определенную

оценку параметра

q.

П р и этом, разумеется,

наиболее

пред­

почтительны

оптимальные

оценки,

под

которыми

принято

понимать

оценки,

обеспечивающие

минимизацию

среднего

риска

(или

средних потерь)

при определенной

цене

ошибок,

т. е. оценки, удовлетворяющие

условию

П

=

Ц

П(q,

q) w

(q, q) dqdq =

min

,

( I I .

1.3)

л

где q и q — векторы

определяемых

параметров

движения

и

его оценки;

^7(q,

q)

— цена

ошибок

(функция

потерь);

л

плотность вероятности

в е л и ч и н q

и

*•

w (q, q ) — совместная

q.

Мы ограничимся рассмотрением оптимальных оценок бай-

есова

типа,

так как при обработке метрической

информации

в большинстве

универсальных

и специализированных

косми-

ческих

радиотехнических

комплексов

имеется более или

менее

точная априорная

информация

о п а р а м е т р а х движе ­

Известно,

что независимо от выбора цены

ошибок з а д а ч а

оценки сводится к

определению

апостериорной

плотности

вероятности

искомого

параметра .

В частности,

определяя

координаты

центра

тяжести апостериорного

распределения,

получаем оптимальную

оценку, соответствующую

квадратич ­

ной функции

потерь

ностей соответствуют

функции

потерь

вида

# ( q ,

J ) =

1 - 8(q,

J ) ,

где б — дельта - функция .

В свою очередь, апостериорную плотность

вероятности

искомого вектора параметров можно представить в виде про­

изведения-плотности вероятности ошибок

априорных

данных

W (q) и отношения

правдоподобия

выборки

принимаемой

смеси сигнала и шума

1(у/q):

w(y/q)

=

Aw(q)/(y/q) ,

(П. 1.4)

где, как известно, отношение плотностей

вероятности

выбо­

рок, регистрируемых в присутствии сигнала и

в его

отсут­

ствие. Учитывая наличие неопределяемых

параметров

дви­

жения и неинформативных параметров сигнала, д л я отноше­

ния правдоподобия

можно

записать

следующее

в ы р а ж е н и е :

J j w ( y -

Q. Qn ,P)w(q„)w(P)

dq„d$

1Ш = —

t - :

•

(П. 1 -5)

w(ii)

Постоянный множитель К. в формуле

(П.1.4) служит для

нормировки плотности

апостериорного

распределения. 0;г

равен

* = ^ _ ™ < * >

.

- ( I I . 1.6),

[

c<y(q)/(y/q)fl?q

гурирует

условная

плотность

распределения

вероятности

приема

выборки

у,

т. е.

плотность

распределения

выборки

при

некоторых

фиксированных

значениях

параметров

q,

q„

и р. Очевидно,

что

при

фиксированных

значениях

этих

па­

р а м е т р о в

плотность

распределения

вероятности

выборки

бу­

д е т

совпадать

с

плотностью

вероятности

помех

и

ее м о ж н о

в ы р а з и т ь соотношением

•МУЯ,

q n .

$) =

™п

[y — s(q,

q „ .

P)].

( I I . 1.7)

где

wn{n)

—

плотность

распределения

вероятностей

помех.

В свою

очередь,

фигурирующая

в знаменателе

формулы

д л я

отношения

правдоподобия плотность

вероятности

реали­

з а ц и и

поля

в

отсутствие

сигнала

в ы р а ж а е т с я

в

виде

w(n.) = wn(y).

( I I .

В итоге ф о р м у л а дл я отношения правдоподобия

приоб­

ретает следующий вид:

. j ' J w , , [ y - s ( q , q „ . W M q n J w O J d q n d p

/ ( y / q ) = —

™„(У)

.

(II.1.9)

Б е л и вектор параметров движения не содержит

неизвест­

ных

неопределяемых параметров

q„,

это

выражение

упро­

щ а е т с я

и принимает

вид

р)]ад(Р)*Р•

/ ( У / Ч ) =

=

J w„[y-s(q,^ф)

(II.1.10)

Т а к и м образом,

р а с п о л а г а я аналитическими

в ы р а ж е н и я ­

м и

дл я

сигнала

и дл я д л я функции

или

функционала

плот­

Резюмируя

сказанное,

можно заметить,

что

по существу

:мы

сводим

з а д а ч у определения параметров

д в и ж е н и я в

кос­

мических

радиотехнических 'комплексах

к

обобщенной

за­

даче фильтрации радиосигналов. В этой

з а д а ч е

измеритель­

н ы е

средства

комплексов

рассматриваются

как

единый

про-

странственно-временной фильтр, функционирующий

в тече­

ние интервала постоянства определяемых параметров

д в и ж е ­

мальную

с точки

зрения

определенных

критериев.

Особенностью

обобщенных

пространственно-временных

фильтров,

к числу

которых могут быть отнесены космиче­

ские,

ракетные

и

другие

радиотехнические комплексы, яв­

ляется

сложный

характер

зависимости

между определяемы ­

11.2. Отношение

правдоподобия

Н а и б о л е е существенным элементом

плотности

вероят­

ности принимаемой

смеси сигнала

и шума

является

отноше­

ние правдоподобия .

Формульные

зависимости, и з о б р а ж а ю ­

нала, можно получить, подставляя в формулу

(II.1.9)

анали ­

тические

в ы р а ж е н и я

для

сигналов и плотностей вероятности

помех с

учетом законов распределения векторов неинформа ­

тивных

параметров

р и

неопределяемых параметров

д в и ж е ­

ния q„.

Д л я упрощения

задачи ограничимся

случаем,

когда

параметров

считается известной, а

все

неизвестные

п о п а д а ю т

в категорию определяемых величин. П р и этом

произведем

вычисление

отношения

правдоподобия

только

д л я одиноч­

ного

сигнала

со

случайной

начальной

фазой,

р а в н о м е р н а

распределенной в

интервале

от 0

до

2 я : ш(.р) = 1/2

я .

П о л а г а я , что к числу неинформативных параметров

сиг­

нала

относится

только

н а ч а л ь н а я

ф а з а р,

из

ф о р м у л ы

(II.1.10)

д л я

отношения

правдоподобия

получаем

следую ­

щее

соотношение:

r,$)dVdt

сф,

(II.2.1)

(II.2.2)

VT

— энергия сигнала, действующего в

объеме V.

Отношение правдоподобия в ы р а ж а е т с я с помощью инте­

грала

от

экспоненциальной

функции,

аргументом

которой

выступает

произведение

некоторой

постоянной

величины

на

z=[\y[t,

r)s{t, г,

§)dVdt.

(П.2.3)

VT

П р и проведении

вычислений

будем

пользоваться комп­

s(t,

r) =

A(t,

г) exp

+ р ) ] ,

(II.2.4)

n.{t,

r) =

N[t,

г)ехр(Ш),

(II.2.5)

y(t, r) = Y(t,

r) exp (до/),

(II.2.6)

г д е

A(t,

)•) — A exp (— ikr) = A{t, r)expfc(t,

/-) exp (— ikr)\

N(t, r) = N(t,

r)explicit,

/•)];

Y(t,

r) =

A(t,

r ) e x p #

+

+

N(t,

r).

Использование

комплексных

выражений

позволяет

при­

д а т ь интегралу

(11.2.3) следующий вид:

z =

\\y(t,

r)s{t,

r)dV

dt=~Re

I ЦУ(Л r) exp (mt)A{t,

r)X

TV

2

I T V

X e x p [ i K +

p ) ] d K < t f + f j K ( f ,

r)exp(i«>t)A*(t,

г)

X

r V

X

e x p [ — i M - f - p ) ] d l / d * J .

(II.2.7)

Комплексные

амплитуды Л и У изменяются в

пределах

четырехмерного

объема TV сравнительно

медленно,

а

дли­

риода,

высокочастотного

колебания,

поэтому под знаком вре :

менного интеграла первого слагаемого суммы

(II.2.7) будет

н а х о д и т ь с я быстроосциллирующая функция,

с т р е м я щ а я с я к

даулю.

Следовательно,

z = — R e

\\У

A* exp (-ip)

dVdt.

(II.2.8)

2

'f V

В свою очередь, вводя обозначения

2

J f Y(t,

r)A*(t,

r)dVdt

,

(II.2.9)

TV

cosO =

R e j J K ( * , r)A*(t,

r)dVdtjZ ,

(II.2.10)

T V

\nQ = \m^Y(t,r)A*(t,

r)dVdtjZ,

(II.2.11)

T V

интегралу

(II.2.3)

можно

придать

следующий вид:

.z=Zcos(>p — 0).

В итоге дл я отношения правдоподобия

получаем

следую­

щее

соотношение:

э

2-

">Z

'(y/q) = -77- е

Л'„

ехр

• ^ - c o s ( P - O )

/7v

Л'„

/V,о

(II.2.12)

где

/o(.v)

— модифицированная

функция

Бесселя

нулевого

порядка .

Интеграл

JJ

1

Y(t,r)A*(t,

r)dVdt

(II.2.13)

Z —

тегралом

или взаимокорреляционной

функцией

поля

сигна­

ла и поля принимаемой смеси сигнала с шумом .

Таким образом, процедура нахождения оптимальной оцен­

ки параметров д в и ж е н и я сводится к

определению простран­

ственно-временного корреляционного

интеграла

Z, а

опти­

м а л ь н а я

фильтрация сигнала заключается в

пропускании

чениями параметров движения, определение которых

являет ­

ся целью измерений. В связи с этим на приемной

стороне

метрах движения,

и только эта информация реально м о ж е г

быть использована

для формирования опорного сигнала.

пользование

опорных

сигналов,

формируемых

на

основе

априорных данных и лишь с

известной

степенью

точности

совпадающих

с реально

действующим

сигналом.

Поэтому

под

пространственно-временным

корреляционным

интегра­

лом мы будем подразумевать интеграл

z

=

- L

Y(t,

nAlit,

ra)dVdt

(II.2.14)

2

T V

в котором

фигурирует

опорный

сигнал Aa(t,

/-„),

формируе ­

мый по априорным данным о

параметрах

движения .

Интеграл

(II.2.14) по своей

форме сходен с корреляцион ­

ным

интегралом,

описывающим

процедуру

оптимальной

фильтрации

радиолокационных

сигналов

[27]. Однако

между

этими интегралами

существуют

весьма

значительные

разли ­

чия. Основное из них связано с особенностями

принимаемого

сигнала и заключается

в том, что если

обычно

в

качестве

опорного

используется

сигнал

с

постоянными

п а р а м е т р а м и ,

ляционого интеграла является

то, что в

нем фигурирует не

напряженность

поля

сигнала,

а

объемная

плотность

сиг­

н а л а .

Итак, определение отношения правдоподобия дл я поля

одиночного сигнала с постоянной случайной

фазой

(по

дан ­

ной ранее классификации — это сигнал второй модели)

сво­

дится к

определению

корреляционного

интеграла,

равного

модулю четырехкратного интеграла от произведения

плот­

ностей опорного сигнала и принимаемой

смеси

сигнала с

шумом,

Из приведеного

анализа следует, что для одиночного

сиг­

нала с нулевой начальной фазой

(т. е. дл я

сигнала

первой

модели)

отношение

правдоподобия

в ы р а ж а е т с я

формулой

/ ( y / q ) = e x p ( - 3 / y V 0 ) e x p ( 2 Z 1 / ^ o ) ,

(II.2.15)

где

Z , =

4 - R e

f j

r)KV>

ra)dVdt.

(II.2.16)

1

TV

Эти

соотношения

получаются

из

зависимостей (II.2.1)

л

(.11.2.8),

если в них

положить начальную фазу

сигнала

(5

равной

нулю.

Теперь приведем

в ы р а ж е н и я

дл я

отношения

правдоподо­

формул

для соответствующих

моделей

радиолокационных

сигналов [27], поэтому

производить

его нет необходимости.

Д л я

одиночных

сигналов со

случайной фазой и ампли ­

тудой отношение

правдоподобия

имеет вид

е х р

1

Z2

(11.2.17)

N0

3 +

N0

3 +

N0

Необходимо

заметить, что н а ч а л ь н а я

ф а з а

сигнала

здесь

предполагается

равномерно распределенной в

пределах

от О

до 2 л,

амплитуда

изменяется

по

некоторому

регулярному

закону, причем ее максимальное значение является

случай­

ным и

•распределено

по релеевекому закону, Z и Э

даются

ф о р м у л а м и (II.2.14)

и

(II.2.2) соответственно.

% ' Ч )

= П —

^ — ех р

1

(II.2.18)

где

1

\ с г*Y{t,

Z ' =

r)A'Jt.

ru)dVdt

T

s 2 ( A

r)dVdt

*

dVdt;

2

J J

T,

длительность

интервала

корреляции

флюктуации

амплитуды и фазы; k — число интервалов

корреляции, по­

падающих в пределы интервала измерений.

Вообще говоря, интегрирование по объему следовало бы

производить в пределах области пространственной

корреля­

ции

флюктуации

амплитуд и фаз, однако мы производим его

по

всей

области,

в

которой

р а з м е щ а ю т с я

элементы

прием­

ных

антенн космического

радиотехнического

комплекса V,

так

как размеры

области пространственной

корреляции обыч­

П о д ы т о ж и в а я , можно отметить, что определение

отноше­

ния правдоподобия

сводится

к

определению

пространствен­

но-временного корреляционного

интеграла вида (П.2.14) или

вида (II.2.16).

Корреляционный

интеграл

любого вида

м о ж н о

предста­

вить в виде суммы двух

составляющих:

Z =

\ Z S

+

Z A \ ,

(II.2.19)

Г V

носит

название

автокорреляционной функции сигнала

( А К Ф ) ,

вторая с о с т а в л я ю щ а я

fl

г»

ra)dVdt

(II.2.20)

* 1

2

A (t, r)Aa{t,

г)

«.

Г V

няющимися п а р а м е т р а м и в сущности мало отличается

от ав­

токорреляционной функции

сигнала с

постоянными

пара­

метрами.

Перечислим

свойства,

которые

являются

общими

д л я автокорреляционных функций обоих

типов.

1. Автокорреляционная

функция

представляет

собой

функцию

априорных

значений

параметров

движения .

Р а с к р ы в а я

в ы р а ж е н и е

для текущего

расстояния

между

точкой наблюдения и космическим

аппаратом,

из

формулы

(II.2.20) получаем

*(Я . ) = Т

.4

ri<(qi<

, t) — гз (Цз ,

О

е х р [ —

*Огр

Ш

t) — r3

(Чз ,

t) ! ] А„

2

I Гк (qi<

,

ГК ( Я К а , t) —

г з ( 4 з а ,

t)

exp[2ik I r,< ( q K a ,

t) — r 3

( q 3 a ,

0 1 ]dl/otf

(II.3.1)

Эта .формула представляет собой аналитическое

в ы р а ж е ­

ние

функциональной

зависимости

между значениями

А К Ф

н априорными

значениями

параметров

д в и ж е н и я <\ка,

Цга-

сложный

характер,

чем зависимость

м е ж д у значениями А К Ф

сигнала

с

постоянными

п а р а м е т р а м и

и п а р а м е т р а м и

опор­

ного

сигнала.

По д

знаком

интеграла стоит

произведение

двух

функций

времени,

п а р а м е т р ы

которых

(амплитуда л

ф а з а )

непостоянны,

а изменяются

с течением

времени.

П е р ­

вая

—

это

сигнал,

принимаемый н а б л ю д а т е л е м

(положение

н а б л ю д а т е л я характеризуется векторной величиной

q 3

) or

КА,

параметры

движения

которого

суть q K

(все

парамет ­

ры

q K

и q 3

или

часть

из них —

неизвестные

параметры

д в и ж е н и я ) .

Вторая,

опорный

сигнал,

формируется

в

точке

приема

по априорным данным

о параметрах

движения

КА.

вии

с тем за«оном

изменения

расстояния от

н а б л ю д а т е л я

до

КА, который соответствует

априорным данным об орбите

и положении

н а б л ю д а т е л я . •

Формулу

(П.3.1)

для автокорреляционной

функции сиг­

гк

(qi< ,

t) — гз (qs ,

t) =

r,

гк (qKa ,

t) — r 3 ( q 3 a ,

t) =

ra ,

i

г =

г 0 +

Дг, t — 2rjvr9

=

t'

4-1100

49