книги из ГПНТБ / Олянюк, П. В. Оптимальный прием сигналов и оценка потенциальной точности космических измерительных комплексов

которой определитель матрицы перехода во

всем простран­

стве з а д а н и я

параметров или его отдельной

практически

используемой

области будет наибольшим .

Целью исследования матрицы перехода Р между дифференциала­

ми

составляющих вектора состояния, заданных в пространстве

началь­

ных

условий g прямоугольной системы координат OXYZ

(рис.

V I . 1) и

.выбранных конечных параметров g, является определение

тех

областей

матрица

перехода

становится

особенной. Эти области

будем

называть

.зонами

пониженной

точности.

Кроме того,

необходимо

определить те

•области

задания параметров,

при которых

элементы матрицы

перехода

возможности решения задачи

по определению

выбранной совокупности

лараметров.

Для

отыскания

зон пониженной

точности

при

определении

различ­

ных совокупностей

параметров

вектор

состояния g

целесообразно пред­

ставить

в виде произведения

некоторых матриц-сомножителей,

элементы

представление

вектора

состояния g

позволяет

довольно

компактно за­

писать матрицу

перехода Р и ее элементы, а также аналитическим путем

провести исследование свойств матрицы перехода.

Следует отметить,

что элементы

матрицы

перехода,

представляющие

изведения

матриц-сомножителей.

Предлагаемая

методика

исследования

не требует

представления элементов

матрицы

перехода в

развернутом

виде и варьирования

значениями

параметров

орбиты

при

анализе

каж­

дого нз элементов матрицы в отдельности. Эта методика

предполагает

представление

матрицы перехода

Р в форме матрицы-строки

векторов

я исследование этих векторов на

вырождение их в нулевые и определе­

ние пропорциональности между ними. ,

Кроме

того, представление

элементов

матрицы

перехода

в

виде

произведения

матриц-сомножителей

дает

возможность

аналитическим

• способом

получить

определитель

этой матрицы.

При этом значительно

цы.так

как из

расчетных

соотношений исключаются

те

элементы,

кото­

рые в

процессе

математических преобразований дают подобные члены.

Методику анализа матриц перехода покажем

на

примере исследо­

вания

матрицы

перехода

между дифференциалами

составляющих

век­

тора состояния',

заданных

в пространстве начальных

условий прямоуголь­

пытаемся

найти

те области

задания

кеплеровых

элементов

орбиты, для

которых

определитель

матрицы

стремится

к нулю. При этом

будем по­

лагать,

что

определитель

матрицы

равен

нулю

только

в тех случаях,

когда

столбцы

матрицы

Р

вырождаются

в нуль-векторы

или

между

ни лги

наблюдается

пропорциональность

(линейная

зависимость).

Исследуем

матрицу

перехода,

записанную

в

форме

(VI.2.23), т.' е.

исследуем

столбцы

Р, 7

матрицы

перехода

на

вырождение

их в

нуле­

вые векторы и на пропорциональность между ними.

Из

предыдущего материала

видно, что ни одна

из матриц,

входящих

в качестве

сомножителей

в матрицы-столбцы

Р.,-,

не вырождается в

нуль-матрицы

ни при каких

реальных

значениях

кеплеровых

параметров

орбиты и текущего аргумента Е. Поэтому

элементы Р.у

матрицы

пере­

хода

могут

принимать

нулевые

значения только

в

тех случаях,

когда

ментов

матрицы g ,

и

производных

от ее

составляющих

по

парамет­

рам а, е, М0),

и элементов

других матриц-сомножителей

(элементов

мат­

риц G,

Н, S, и их производных

соответственно по углу

Q,

i , м) будет

равна

нулю.

В

качестве критерия вырождения любого из векторов

Р . ,

в

нуль-

вектор

можно

принять

критерий

равенства

нулю

модуля

вектора

Р.

или его квадрата. В

самом

деле,

Р.у

может

быть

нуль-вектором

тогда ;

ц только тогда, когда

имеется равенство

Р у . Р . у ^ О .

(VI.4.4)

В

качестве

критерия

линейной

зависимости

(пропорциональности)

двух

векторов Р.у и Р.£

можно принять критерий

равенства

нулю мо­

дуля разности двух векторов, один из которых есть

исследуемый

вектор,

например р ^

а

второй — произведение некоторой вещественной

скаляр­

ной

величины

а

на

второй исследуемый

вектор Р.,-. Если

составить

произведение

( Р . / -

аР.,-)т ( Р . / -

<*Р./) = е,

(VI.4.5)

то можно показать,

что это выражение

будет равно

нулю только в том

случае,

если между

составляющими

векторов

Р.( - и Р . ; имеется

пропор­

отыскания

такого

вещественного значения коэффициента

а,

не равного

нулю, при котором

с учетом области задания параметров

q

будет вы :

полниться

равенство

( Р . / -

аР.,-)т

( Р . ; - а Р . , ) =

0.

(VI.4.6)

"Если это равенство

выполняется

при а = 0,

то

фактически

выполняется

условие

(VI.4.4), т. е. Р.у

есть

нуль-вектор.

Можно показать,

что если

Р.^ и Р.,-

ортогональны, то

выражение

((VI.4.5)

приводится к соотношению

P:.P./ + a2P:,P., = p

(VI.4.7)

н может быть равно нулю в

той

области задания

параметров q ; в ко­

торой оба

вектора .нулевые,

так

как

ортогональные

векторы линейно

независимы.

Необходимо отметить,

что

условие (VI.4.6) выполняется тогда, когда

неравенство

Буняковского

—

Коши,

используемое в работе [4] для ха­

вращается

в

равенство.

На основе проведенных исследований по определению и анализу

квадратов

модулей

векторов

матрицы

Р

(VI.2.23) можно

прийти к

сле­

дующим выводам.

Квадрат

модуля

первого

вектора

Ру,

Р-1 при эллиптическом движе­

нии не равен

нулю

ни при

каких значениях кеплеровых

элементов.

Од­

цательным.

Это говорит о

том, что для характеристики параболических

и гиперболических орбит необходимо использовать

систему других пара­

метров. В

частности, для

параболических орбит

достаточно сохранить

ничений,

накладываемых

на

существование параболической орбиты

[28].

Для гиперболических орбит большая полуось

теряет то

значение,

ко­

торое она имела при эллиптическом движении.

Для

эллиптических

орбит

квадрат модуля

третьего

вектора РУ3

Р-з

координатных составляющих вектора состояния gr

по

параметру

угло­

вого

расстояния

восходящего узла при i, а>=90°

и

£ = 0 (момент

вре­

мени / 0 соответствует проходу КА точки вертекса

при

полярной

орбите)

равны

•нулю. При

этих значениях наклонения орбиты

и

углового

расстоя­

экватором,

производные

от скоростных

составляющих

по

параметру

углового расстояния восходящего узла равны нулю.

Определяя квадрат

модуля

второго,

четвертого

и последующих

столбцов матрицы Р . приходим к выводу,

что эти столбцы не вырож­

даются в

нулевые, так как квадраты их

модулей определяются

суммой

квадратов

элементов последнего

сомножителя, который

ни

при

каких

При исследовании матрицы

Р

на

пропорциональность

между

столб­

цами получены данные, которые показывают,

что

между

1-м

и

2-,

4-,

5-,

6-м векторами (столбцами) выражения (VI.2.23)

пропорциональности

не

наблюдается. Эти векторы взаимно ортогональны, а так

как

ни один

из

них не

является ненулевым,

то

условие (VI.4.6)

не выполняется.

Следует

подчеркнуть,

что

при

исследовании матрицы

перехода

на

пропорциональность между

столбцами

особое

внимание следует

обратить

на

те векторы, которые содержат производные от составляющих

вектора

состояния

по

параметрам

одинаковой

размерности

(в частности,

по

уг­

физическим соображениям тот или иной элемент

орбиты

теряет

смысл.

Так, исследования

выражения (VI.4.5)

для

второго и

шестого

столбцов

матрицы показали,

что оно становится

равным

нулю

при

а =

—1

для

е = 0 . Равенство

нулю указанного выражения

говорит о

том, что

в

этом

случае матрица

перехода становится особенной

и

определить все

шесть

кеплеровых

параметров не представляется

возможным. Это

н понятно,

так как в

дампом случае эллипс вырождается в окружность, а для ок­

ружности

параметр углового расстояния

перигея ю теряет

смысл. При

Выражение

(VI.4.5) для

второго

и

третьего

столбцов

матрицы пере­

хода

Р при условии,

если

долгота

восходящего

узла

теряет

физический

смысл

(/=0), удовлетворяет

требованию

(VI.4.6). Это говорит

о том, что

между

вторым

и третьим столбцами

матрицы

(производными

от

векто­

ра состояния JT по скалярным величинам Q и

со] наблюдается

пропор­

циональность.

Поэтому

кеплеровы

элементы орбиты

при

небольших уг­

ходимо применять

другую систему параметров. В частности, в

работе

[3] рекомендуется

вместо угла наклонения использовать косинус

этого

Для почти

круговых орбит

при

небольших углах наклонения наряду

с пропорциональностью между 2-м

и 3-м

наблюдается

также

пропорцио­

нальность

между 3-м и 6-м столбцами матрицы.

Для определения пропорциональности между столбцами

Р.,- и Р.,-

могут быть использованы и другие

критерии. В частности,

по

аналогии

со

скалярным

произведением

векторов

в трехмерном

евклидовом

про­

странстве можно ввести «угол» 0 между

векторами

P.j

и Р . ( ,

опреде­

лив его из соотношения

^ ^ ^ ( P j . P . ^ P y . P . / J C P ^ P . , ) .

(VI.4.8)

Значения

параметров, удовлетворяющих

условию

cos2 0=I,

определяют

ту

область

их возможного задания,

в которой матрица

Р

становится

син­

зованием указанного критерия подтвердили справедливость ранее

полу­

ченных

выводов

и

показали,

что

косинус угла

между

столбцами Р , 2

1 1

Р.з,

Р.2

и

Р.6.

Р-з и

Р-с

связан

соответственно

с

параметрами

i,

е, i

и е

такой

функциональной

зависимостью,

которая

при i,

е -+0

приводит

косинус угла к своему максимальному значению.

При

i,

е = 0 в

системе

кеплеровых

параметров,

как

в

системе

отсче­

та, используемой для характеристики вектора состояния

КА,

между не­

которыми

ее

составляющими

имеется

линейная зависимость.

Этими со­

между столбцами

матрицы

перехода, но и столбцами

и

строками

-матри­

цы

вторых производных

АКФ

сигнала

по

определяемым

параметрам

q . Дл я

орбит с

эксцентриситетом или наклонением,

близким к

нулю,

матрица

вторых

производных АКФ сигнала

независимо

от

расположе­

ния

используемых

измерительных

средств

и их комплексирования

являет­

ства

кеплеровых параметров орбиты (последние преломляются

в свой­

ствах

матрицы

перехода

р), наблюдаются

в тех областях их

задания,

в которых один или несколько элементов

теряют

физический

смысл.

При этом для однозначного определения движения КА можно

использо­

вать

меньшее

количество

независимых обобщенных

параметров

(случай

VI.5. Особенности определения

параметров

в прямоугольных

и криволинейных системах

отсчета

/. Прямоугольные системы

В качестве исходной

системы параметров g

выберем систему эле­

прямоугольной системе отсчета, например, в системе координат,

связан­

ной с наблюдателем. Тогда, выбирая в качестве определяемых

конечных

угольной координатной

системе q, например,

в

различных

геоцентриче­

ских

системах

отсчета,

мы

обнаруживаем, что

вследствие

ортогональ­

ности матрицы-перехода, характеризующей преобразования

дифференци­

алов

(VI.2.5),

модуль

ее

определителя равен

единице. А

это означает,

моугольной

системе отсчета

не зависят от области задания координат

и скорости

и одинаковы для

всех прямоугольных координатных систем.

которого

в криволинейных системах

производится отсчет углов. При этом

под

матрицей

перехода Р

будем

подразумевать одну из матриц пре­

образования,

определяемого

соотношением

(VI.i2.-15). Матрицы указанного

преобразования

квазидиагональные,

поэтому их определители

выра­

жаются

через

определители

матриц

непосредственного

.преобразования

дифференциалов

W u , Wc ( |,

1 1 Wr -

Последние легко могут быть опреде­

лены, так как матрицы непосредственного

преобразования

дифференциа­

лов

являются

диагональными

(VI.2.12).

det Р с

ф == (det JC ( „)2

=

(det WC i l ,)2 .

( V I .5.1)

Связь определителей

корреляционных

матриц

ошибок

уточнения

парамет­

ров движения в прямоугольной и сферической

координатных

системах

выражается зависимостью

d e t B q

= d e t B g

/ г 8 c o s 4

?

(VI.5.2)

ч сф

L n p /

к

т ,

которая

показывает,

что объем эллипсоида

рассеяния

при

определении

начальных условий движения в сферической

системе отсчета

увеличивает­

ся с уменьшением

гк

и

увеличением

(р.

В

подтверждение

этого иа

рис. VI.2

приведен

график

функциональной

зависимости, характеризую-

Рис.

VI.2. Характер

изменения объема

эллипсоида

ошибок

при

изменении сферической

широты

и отношения rKjr к

mjn .

щей

изменение

размеров

объема

многомерного эллипсоида

рассеяния

при

изменении

широты ср и

отношения rKjrK

т\п,

где г к

m i n

—

минималь­

но возможный

радиус круговой орбиты. Если движение КА

происходит

по

круговой орбите, то размеры

области

рассеяния

при

определении

жащими в

плоскостях, параллельных координатной плоскости КОФ.

В случае перехода к параметрам цилиндрической системы координат

выражение,

соответствующее преобразованию численных значений объ-

] / d e t B %

=

] / 5 ё Т в ^Jр2 .

(VI.5.3)

Выражение (VI.5.3) показывает, что размеры области рассеяния при

оценке параметров движения

в

цилиндрической

системе

координат зави­

сят только от одной компоненты

р положения

КА в данной системе от­

•координаты

р

размеры области

рассеяния

увеличиваются,

так

как при одинаковых линейных ошибках вдоль

параллели

возрастают

ошибки

определения

углового

параметра

в

цилиндрической

системе.

Они

обратно

пропорциональны параметру

р. Отметим, что

при

р = 0

матрица

перехода

соответственно

и матрица вторых производных

АКФ

сигнала

при

непосредственном

определении

параметров

движения

вительно,

что р = 0 теряет

смысл такой параметр

положения

КА, как

^ ц . и

как

следствие

этого

исчезает

отклик АКФ

сигнала на

эту коор­

динату.

Поэтому при

решении задач

определения

параметров

движения

уменьшение

машинного

времени

[25].

Следует

также

отметить,

что в

этом

случае,

так

как

cos(p = l

и

г к

= р ,

цилиндрическая

и

сферическая

системы координат эквивалентны и на

процесс

определения

параметров

движения

в

этих

системах

отсчета

оказывает

влияние

лишь

величина

определяемого радиус-вектора КА. Однако в общем случае

цилиндриче­

ская и сферическая системы координат

оказываются

неэквивалентными.

Сферическая

система

отсчета,

имея

в

своем

составе

два угловых

пара­

метра

Д,сф

и

<р,

более

чувствительна

к

изменению

радиус-вектора

КА,

чем цилиндрическая.

Определитель

матрицы

перехода,

устанавливающий

связь

между

эл­

липсоидами

рассеяния

при

определении

начальных

условий

движения

КА в геодезической и прямоугольной

геоцентрических системах

коорди­

нат, вычисляется с помощью соотношения

det Р г

= (det W r

) 2 =

(А/, +

Я ) 2

(N +

Я ) 2 cos2

Вт,

(VI.5.4)

_

2

-

(1 — е\

-

Г

^

(1 — 4 s i h 2 5 г ) 3 ' 2

^

sin2

5 Г ) 2

J

X < 4 c o s 2 £ r ,

(VI.5.5)

где s=H/a3 .

Таким образом, при уточнении параметров

движения

в геодезиче­

ской системе отсчета численное значение

объема многомерного

эллип­

соида рассеяния

зависит как от координат

в момент t0

уточнения

пара-

метров, так н

от элементов опорного эллипсоида, относительно

поверх­

ности

которого

производятся определения. При оценке параметров

дви­

жения

свойства

определений зависят от геодезической широты Вг

и вы­

соты Н iKA относительно поверхности опорного эллипсоида. При

задан­

ных размерах

области рассеяния в прямоугольной системе

координат

отсчета

увеличиваются

с уменьшением

высоты

Н и увеличением

широ­

ты В г-

На рис. VI.3 представлена

зависимость

(1

4 ) 2

1 - 4

2 - e 2 ( l - f - s i n 2 £ r )

cos2 fir

(1 — е\

sin2

L ' s _ i

( 1 — 4 sin 2 £ r

B r ) 3 ' 2

) 2

(VI.5.6)

характеризующая

изменение

размеров

области

рассеяния

в зависимости

от геодезической широты Вг

и отношения s высоты местоположения КА

в момент t0 над поверхностью опорного

эллипсоида к его большой полу­

оси. Для реально

существующих

орбит

зоны пониженной

точности

опре­

стеме совпадают

с той областью их

задания, для которой В{.

->- 90°.

Наиболее заметное

ухудшение точности

наблюдается для полярных

орбит,

Рис. VI.3.

Характер

изменения

объема

эллипсоида

ошибок

при изменении геодезической широты и отношения

Н/а3

когда момент времени t0

совпадает

с

моментом

прохода

КА

над

полю­

сом или над его окрестностью, в которой геодезическая широта Вг

пре­

вышает

80°. При

Вг =90°

матрица

перехода

Р г

становится

особенной.

Поэтому

матрица

вторых

производных

АКФ

сигнала при

непосредствен­

будет сингулярной.

Кроме того, в некоторой области

задания параметров

qr , примыкающей

к. точке многомерного пространства

с широтой, равной

ционной матрицы, как известно, обусловлена тем,

что при малых

значе­

ниях определителя матрицы вторых производных

АКФ

сигнала

неболь­

шие изменения ее элементов вызывают изменение

элементов

обратной

матрицы в

значительных

пределах. Этим

и объясняется

появление зон

пониженной

точности при

тех областях

задания

элементов

выбранной

ров

qT = || i ш Q а с А10 || .

Исследование свойств радиотехнических методов определения кепле­

ровых

параметров орбиты произведем на основе изучения свойств мат­

рицы

перехода, характеризующей трансформацию ошибок определения

отсчета к рассматриваемым

кеплеровым элементам. При

этом,

так

как

для

характеристики

точности

определения параметров

используется

объем

многомерного эллипсоида

рассеяния,

численное

значение которого

с точностью

до постоянных

равно определителю корреляционной

матри­

цы (в

состав

которой

входит и

матрица

перехода),

для

изучения

ука­

леровых

элементов

орбиты.

Для

нахождения

определителя

указанной

матрицы

воспользуемся

соотношением (VI.2.39). При

этом,

так как

матрицы G,

Н

и S

являют­

ся ортогональными,

определитель

матрицы

перехода

Р

тождественно

равен определителю

матрицы

непосредственного

преобразования

диффе­

довольно компактное выражение для

вычисления определителя

матри­

цы

перехода.

Представив это

выражение в

виде

функции координатных

и

скоростных

составляющих

вектора

gj

и

их

производных по

внутри-

орбитальным

кеплеровым элементам,

получим

UQtP =

(xi

,yi

—

VIA:,)

d * ,

дуЛ(дх\

ду,

д а ' Г У ' да

\ де ' дМ0

1

ду^_

дхх

\

(

дхх

ду{\(dxt

дух

де

'

дМ0

)

\

де

де

J {

да '

дМ0