книги из ГПНТБ / Олянюк, П. В. Оптимальный прием сигналов и оценка потенциальной точности космических измерительных комплексов

'

«

=

l g - H S

g "

да

(VI.2.34)

^ 5

=

G A . H S ^ -

/>f t G =

G*.HS

^ g i

де

В ы р а ж е н и я

(VI.2.34),

позволяя определить

любой из

элемен­

тов матрицы перехода Р , показывают,

что

ее элементы

пред­

ставляют

с л о ж н ы е функции

составляющих

вектора

q.

Зави ­

рицам, описываемым

в ы р а ж е н и я м и (VI.2.15),

(VI.2.19).

Од­

нако

сложность этой

зависимости

определяется как состав­

л я ю щ и м и

исходной,

т а к

и составляющими

конечной

систем

параметров, что хорошо видно на примере сравнения

соот­

ношений

(VI.2.15)

и

(VI.2.19). Указанное свойство элемен­

тов

неортогональных

матриц преобразования приводит к то­

му,

что

их

определители

т а к ж е

зависят

от

некоторых

со­

ставляющих

исходной

системы параметров .

Поэтому

значе­

области з а д а н и я параметров, в особых точках оно

равно

нулю.

Используя выражение (VI.2.20), а т а к ж е общие и

неко­

OXYZ

можно

представить

соотношением

^go

RK

0

W ,

W 3

(VI . 2 35)

dg0

0

R„

w,

w4

dq2

где

afgo—

|| dx

dy dz ||

;

dgl

—

\\ dx

d у

dz

|| — диффе ­

ренциалы

координатных

и

скоростных

составляю ­

щих начальных условий движения

g;

dq]

=

|| di du> dQ \\ ;

dql=

|| dade-dM0\\

— д и ф ф е р е н ц и а л ы

угловых и внутриор'би-

тальиых кеплеровых элементов;

R K = R z (— Щ RA -(—i) Rz

(—<«)

— о р т о г о н а л ь н а я

матрица

преобразования

координат

при

переходе от

системы 0XXYX2\

к

системе

OXYZ;

W , , W 2 )

W 3 |

линейных

'координат

и

составляющих

вектора

скорости.

Матриц ы

W 3

и W 4 )

представляя

собой

производные от

координатных и скоростных составляющих вектора

началь ­

ных

условий движения

g",

орбитальной

системы

отсчета

ОХ\Y\Z\

по

внутр'иор'битальным

кеплеровым

п а р а м е т р а м

а, е

и М0,

д(ие

М0)

д(аеМ0)

(VI . 2.36)

определяются

соответствующими

составляющими

выражени и

(VI.2.26), (VI.2.30), (VI.2.31). Если

в

качестве текущей пе­

ременной

используется

истинная

аномалия,

то

указанные

матрицы

в ы р а ж а ю т с я

зависимостями

( 1 - е 2 )

cos

ft

а (А + sin 2 ft)

a sin ft

h

h

1/1 — e

e2)

sinft

a sin 2ft

a(e+

cos ft)

h

2k

УТ^ё2

0

0

0

(VI.2.37)

sin &

e - H l + f l c o s f l sin

i

A 2 cos&

2 a / 1 - е 2

( 1 - е 2 ) 2

W 4 =

e-j-cos ft

Л cos2 0 — sin 2

ft

A2 sin ft

2a ] / l — e2

(I — e2)3'2

( 1 - е 2 ) 2

0

0

0

где

A = - l + e

oosv. Пр и

этом

1-й,

2-й и 3-й

столбцы

м а т р и ц

W 3 ,

W 4

тождественно

равны

соотношениям

(VI.2.26),

(VI.2.30)

и (VI.2.31), если в последних

эксцентрическую ано­

малию заменить на истинную.

М а т р и ц ы

W t , W 2

могут быть

представлены

в ы р а ж е н и я м и

О

— sin ft

— sin & cos i

q ( l — e2)

о

cos &

cosft cos i

1

- j -

e cos &

sin

(co-|-ft)

О

— cos (u> - } - ft)

О

— (e-j-cosft)

—(e

+ cos&)cosj

w 2 =

0

—

sin 9

—

sin 0- cos i

X

cos

(ш -J- fr) - j -

e cosu)

0

sin(u)-r-&)-|-esinoj

Г

x V ^ r ^ 5 ) '

( V L 2 ' 3 8 )

ными составляющими

вектора

g b угловым расстоянием пе­

ригея и наклонением

орбиты.

Х а р а к т е р н ы м д л я

матрицы

непосредственного преобразо ­

сят от долготы восходящего узла

и определяются

внутриор-

битальными элементами а, е, М0

и

двумя

угловыми пара ­

метрами

! И (О.

В ы р а ж е н и е (VI.2.35)

показывает,

что

р а с с м а т р и в а е м а я

матрица

п е р е х о д а R, представляя

собой линейный

оператор

преобразования, определяется произведением

Р =

GHSWK ,

(VI.2.39)

честве

исходной

системы

параметров

используются

кеп-

леровы

элементы

орбиты.

Если в качестве

исходной

систе­

мы параметров

выступают

начальные

условия

движения

прямоугольной

системы

отсчета

OXYZ,

то

преобразование

дифференциалов

определяются

в ы р а ж е н и е м

dq = W~]STHTGrdg,

(VI.2.40)

которое

справедливо во

всей

области з а д а н и я

параметров,

за исключением особых точек, в которых

матрица W K

ста­

новится

особенной.

Рассмотренные

преобразования

показывают,

что

связь

оператором

преобразования

дифференциалов

при

переходе

из одной системы отсчета в

другую . В дальнейшем

матрицу

•преобразования дифференциалов,

характеризующую

транс­

формацию ошибок при

переходе,

в отличие

от

матрицы пре­

о б р а з о в а н и я

координат,

назовем

матрицей

перехода.

Матри -

цы перехода, связывающие дифференциалы

параметров дви­

ж е н и я

различных систем отсчета

с неодинаковыми размерно ­

стями

физических координат,

наряду

с ортогональными

выми (вообще говоря, необязательно прямоугольными)

и, во-

вторых,

составляющие

вектора состояния характеризуют

только

положение КА

или наблюдателя в выбранных

систе­

реходе из одного .пространства

п а р а м е т р о в

в другое и отра ­

ж а я существенные особенности

этих пространств,

матрицы

перехода играют исключительную роль в

з а д а ч а х

определе­

ния параметров движения .

П р и

оценке

точности и определении вектора

состояния

по полю

принимаемого

сигнала

с регулярно

изменяющимися

п а р а м е т р а м и

к

существенным

операциям

пространственно-

временной

фильтрации

относятся

операции

нахождения

первой

и второй

производных

А К Ф

сигнала по

составляю ­

знания

и

решения

уравнений (III . 1 . 7),

(III . 1 . 8) .

Корреляци ­

онная

матрица

Ее

определения

поправок

к уточняемым

па­

р а м е т р а м

g

в случае

отсутствия

матрицы

B g a ошибок апри­

орных данных совпадает с корреляционной матрицей

В В и

собственно измерений и с точностью до постоянных

множи­

телей

численно

равна обратной

матрице

вторых

производ­

ных

А К Ф

сигнала.

Так, д л я сигнала

с регулярно - изменяю ­

щейся

амплитудой

и

флюктуирующей

начальной

фазой

век­

тор

поправок

A g

и

корреляционная

матрица

B g

опреде­

л я ю т с я

соотношениями

J - B

S K ( g a )

- т э

« * ( ё а )

(VI.3.1)

A

g =

g

0

ft=l

M i

N

- i

z;ft

( g j - 4

-

a;A (gf l )

(VI.3.2)

U - l

в которых интегрирование сигнала при определении

произ­

водных

ведется в

пределах

к а ж д о г о

из

интервалов

когерент­

н о с т и , а суммирование

—

по всем

интервалам N.

Произвол -

"ные взяты по составляющим векторам

g в

точке

их

апри­

орного значения.

В дальнейшем

нам

понадобится

матрица

W g ,

определяе­

м а я в ы р а ж е н и е м

N

2

(VI.3.3)

а т а к ж е

матрица,

о б р а т н а я корреляционной

B g .

Обозначим

ее через

И е .

на

основе

пространственно-временной

Если

сначала

ности и определяются поправки

4g

к исходным п а р а м е т р а м

g ( н а ч а л ь н ы м

условиям

д в и ж е н и я

в прямоугольной

системе

отсчета)

путем

решения

уравнений

(VI.3.1) и (VI.3.2), а

за­

тем ставится задача получения оценок

конечных

парамет ­

ров q, то вектор поправок

Aq

может

быть вычислен

на

основе

ранее приведенных

формул

преобразования:

д ч

=

р - 1

Ag,

(VI.3.4)

г д е Р = dg/dq

— матрица

перехода,

с в я з ы в а ю щ а я

диффе ­

ционной

матрицы В в [15, 19]:

Bq =

P - , B B . ( P - 1 ) T .

(V1.3.5)

П р и

непосредственном

уточнении конечных параметров q

по полю

принимаемого сигнала вектор поправок Aq

и корре­

л я ц и о н н а я м а т р и ц а определяются в ы р а ж е н и я м и

(VI.3.6)

2

Z

4 A

(4a)

Э;А

(qe )

(VI.3.7)

Учитывая,

что

обе

системы

параметров

g

и

q

с л у ж а т

для характеристики

пространственно-временного

состояния

движущегося

по

одному

и

тому

ж е

закону

материально ­

го объекта,

к а ж д о е

из

слагаемых

сумм

первых

и

вторых

производных

по

составляющим

вектора

q

можно

предста­

вить

соотношениями

- z ; ( 4 e ) - - | - 3 ; ( q e )

= P M z ; ( g e ) - - i - 9 ; ( g e

) ] ,

(Vi.3.s>

К (*а)

<Ч«) =

F

К

(Sa)

-

\

-

Э ; (g«)] Р-

(VI.3.9)

Значение

элементов

матрицы

перехода

Р

не

зависит

от

интервала

когерентности.

С л а г а е м ы е

квадратных

скобок,

представляя

собой

производные

по

элементам

вектора

g r

являются функциями его составляющих, заданных

своими

априорными

значениями .

П р и

подстановке

выражени й

(VI.3.8), (VI.3.9) в формулы (VI.3.6)

и

(VI.3.7)

последние

могут

быть

приведены

к соотношениям

(VI.3.4)

и

(VI.3.5)

соответственно.

Поэтому

можно

заключить,

что

независимо

от того, непосредственно ли оцениваются конечные

парамет ­

ры движения

q или они получаются путем сведения

резуль­

татов

оценивания исходных

параметров

g

с

использованием

матрицы перехода

Р ,

поправки

к

уточняемым

парамет ­

рам и их корреляционные .матрицы

B q

всегда одинаковы.

Корреляционная

матрица

вектора

ошибок

может быть

ной характеристики

[19], к а к

определитель

корреляционной

матрицы,

значение которого с точностью до

постоянных

мно ­

жителей определяет объем многомерного эллипсоида

ошибок

оценки выбранного состава параметров . Тогда связь

м е ж д у

объемом

эллипсоида

ошибок

и определителем может быть

представлена следующей зависимостью

[15]:

l / 3 = 7 r ^ ] / o ^ e T B 7 / / r ^ y +

l j ,

(VI.3.10)

где т —

размерность

эллипсоида, определяемая

р а з м е р ­

ностью

многомерного

пространства

параметров

g;

Г (m/2 + 1 )

— гамма - функция .

ных параметров,

то

дл я количественной оценки точностных

•свойств и особенностей определения различных систем

пара­

метров движения достаточно знать определитель

корреля­

ционной матрицы

В г

ошибок

определения составляющих ис­

ходной

системы параметров

g и определитель

матрицы

пере­

хода Р, так как знание последних дает возможность

вычис­

лить

определитель

корреляционной матрицы

B q

ошибок

оценки

конечных

параметров

q- При одинаковой

размер ­

ности

многомерных

пространств

параметров g

и q

справед­

л и в о -соотношение

d e t B q = detB g /(detP) 2 .

(VI-3.11)

Таким образом, в m-мерных пространствах с одинаковой

метрикой в области

з а д а н и я

параметров, где значение

опре­

определитель матрицы

U g

мал, точность

определения

невы­

сока . 'Поэтому, устанавливая

расположение

областей, в преде­

л а х которых

det U g — 0,

можно

судить о

расположении ра ­

бочих

областей измерительного

комплекса

при использова­

нии выбранной совокупности параметров .

К

этому

следует добавить, что, так как в

настоящее

вре­

ределителя

скорость сходимости

становится

-меньше,

и при

этом дл я

сходящегося решения

требуются

более

точные

бенно затруднительным становится решение в

области зада ­

ния

параметров, при которых det U g —0. Величина

определи­

теля матрицы

U g

зависит

от распределения

элементарных

приемных

антенн

в пространстве,

статистических

характе ­

ристик ошибок

измерений,

геометрических условий

н а б л ю ­

дения космического аппарата и от выбора системы

исходных

параметров,

используемой

дл я характеристики

пространст­

венно-временного

его состояния. П р и определении

конечных

параметров q

характер

изменения

определителя

матрицы

Uq

вторых

производных

АК Ф сигнала в зависимости

от зна-

стоятельства,

что

соответствующие

элементы

различных

м а т р и ц W и U имеют одинаковую физическую

размерность,

вектор

поправок Aq

и суммарну ю

корреляционную матрицу

ошибок

определения

параметров

q

можно представить выра­

ж е н и я м и

Aq =

B q 5 V w q „ ,

(VI.3.14)

w q S =

2 u q „

(VI.3.15)

где

W q „ = 7 7 " £

Z q A ( q J - - 7 - 3 q f t ( q a )

— матрица

первых

частных производных АК Ф

сигнала

я-й

измерительной системы по п а р а м е т р а м

q;

— матрица вторых частных производных А К Ф

сигнала

я-й

системы. П р и м е н я я к

матрица м

W q

„ и

U q „

преобразования

(VI.3.8)

и

(VI.3.9) и

подставляя

полученные

соотношения в

в ы р а ж е н и я

(VI.3.14)

и

(VI.3.15),

получаем

Н

Е

B q 5 = 2 Р т и е п р

которые равносильны

соотношениям

Aq = P - ' A g ,

(VI.3.16)

B q 5

= P - ' B g 5 ( P - ] ) T

(VI.3.17)

В формуле (VI.3.17) матрица Bg s представляет собой

сум­

марную матрицу ошибок определения параметров g

при

технических

измерителей

точностные

свойства

определения

параметров движения в

различных

системах отсчета

т а к ж е

могут

быть

представлены в

виде

совокупности

свойств-

определений

с

использованием

исходной системы

парамет ­

ров g

и свойств

матриц перехода

Р

к

конечным

п а р а м е т р а м

д в и ж е н и я q. Характер трансформации

ошибок

оценки

пара ­

стем

остается таким

ж е ,

как

и при

использовании

л ю б о й

из них.

Однако точность

получаемых

оценок

значительно

улучшается .

П р и

определении,

помимо

параметров

движения, система­

тической

ошибки получения

А К Ф сигнала, обусловленной,

в

частности, постоянным рассогласованием

частот

принимае­

мого

и опорного сигналов,

дополнительно

оцениваемый

пара ­

метр

можно интерпретировать

к а к добавочную координату

в-

ных

систем

отсчета

становится на

единицу больше, так

к а к

их осью служит ось

дополнительно оцениваемого п а р а м е т р а

(частотной

поправки) .

Х а р а к т е р н ы м является

то, что

во

всех

рассматриваемых

системах

отсчета этот

дополнитель­

ный

параметр будет

одним и тем

ж е . Поэтому

особенностью

является

то, что относительный

характер

трансформации

ошибок оценки этих совокупностей

параметров при

переходе

из

одной

системы отсчета в другую сохраняется

таким ж е ,

как

и при

определении только одних

параметров

д в и ж е н и я .

Все н а ш и р а с с у ж д е н и я относительно

точности

определения

отсчета справедливы

не только при

оценке п а р а м е т р о в

дви ­

ж е н и я

КА, но

и

д л я

случая уточнения

параметров

п о л о ж е ­

ния

наземных

наблюдателей, а т а к ж е

при совместном

их.

определении.

Из

в ы р а ж е н и я

(VI.3.11)

видно,

что

д л я полной

количест ­

венной

характеристики

точности

определения

п а р а м е т р о в

движения во вновь выбранных системах отсчета

необходимо

знать

определитель

корреляционной

матрицы ошибок о ц е н ­

ки

параметров

исходной

системы

g

и матрицу

перехода

Р .

П р и

этом, если

исследованы точностные свойства определе ­

ния

исходных параметров

g,

то д л я

сравнительного

а н а л и з а

метров

q в некоторых

случаях достаточно исследовать

свойства

матриц перехода

от исходных к конечным парамет -

11-1100

161