Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Олянюк, П. В. Оптимальный прием сигналов и оценка потенциальной точности космических измерительных комплексов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

д р у г ую может быть отнесено -за счет несовершенства измери тельных систем. Поэтому могут предприниматься попытки совершенствования измерительного комплекса, например, пу тем повышения энергии сигналов. М е ж д у тем очевидно, что подобные усилия уместны лишь при условии, что будет су ществовать уверенность в том, что н е ж е л а т е л ь н а я зависи мость точности от п о л о ж е н и я КА не связана со свойствами

координатных систем.		Д л я того	чтобы обрести		т а к у ю уве
ренность, необходимо		выразить	ошибки комплекса в линей
ных величинах, т. е. пересчитать			результаты	оценки		точности
в декартову систему		координат,	,и только, анализируя ошиб
ки в этой системе, можно составить действительно						правиль
ное суждение о	необходимости		совершенствования			измери
тельных средств	к о м п л е к с а или изменения			положения его
элементов на земной поверхности.
Таково существо вопроса о выборе системы					определяемых
параметров движения .
v
V.3. Некоторые свойства			координатных
преобразований

Корреляционные матрицы, характеризующие минимально достижимые значения ошибок определения п а р а м е т р о в дви жения, с в я з а н ы с максимальными значениями вторых про изводных АК Ф формулой

в	- 1 = в	- ,	?_ V	_ J E * _ j j	7" (0) J. „ ,	(V.3.1)
			к
которая	вытекает		из соотношений		( Ш . 2 Л 5 ) и	(V.2.11).
Последнее		слагаемое		этой формулы представляет собой

матрицу, обратную корреляционной матрице минимально до

стижимых		значений	ошибок	измерений	В„.	Следовательно,
B" = ~ f		2 5 А / ( Л / 0 + 5 Л J r q [ Z n ° ) l - ' [ J r q ] T -					( у . 3 . 2 )
		к
Последнюю		матрицу	м о ж н о	т а к ж е переписать			следующим
образом:
_	JV0	1		[ J g q Z ' ( 0 ) J e q ] *
В " = "	2~	2 ЗД^о	+ 3k)	( d e t J 5 q ) ' d e t	Z's (0)	'	( V - 3 " 3 )

п о

З д е сь символом det обозначен определитель, а значок *


означает		матрицу,	присоединенную		к данной	матрице.
Из полученной формулы видно, что точность определения
параметров движения зависит как					от свойств матрицы вто
рых	производных		А К Ф п о	топоцентрическим		координатам,
так	и от	свойств	якобиана	координатных		преобразований,

ведущих от топоцентрических координат к конечным вели

чинам, с п о м о щ ь ю	которых	представляются	определяемые
п а р а м е т р ы д в и ж е н и я .
И з этой формулы	т а к ж е	следует, что при	преобразовании

координат объем корреляционного эллипсоида, вообще гово ря, изменяется. Этот о б ъ е м сохраняется неизменным л и ш ь при таких координатных преобразованиях, для которых яко

биан	п р е о б р а з о в а н и я равен	± 1 .	Подобные	преобразования,
как	известно, совершаются	при	переходе от	одного ортого

нального базиса к другому, тоже ортогональному базису. Од


нако в тех случаях, когда			один из базисов — исходный или
конечный	—•	неортогонален,		корреляционный		эллипсоид в
процессе	п р е о б р а з о в а н и я		координат		деформируется . П р и
этом якобиан п р е о б р а з о в а н и я				может	оказаться отличным
от единицы		либо из-за	различия		физических	размерно

стей исходных и конечных координат, либо из-за геометриче

ских	особенностей координатных	систем,	о которых	у ж е ш л а
речь	и которые состоят в том,	что одно	и то ж е	значение

линейной ошибки при о т о б р а ж е н и и с помощью этих коорди

нат	о к а з ы в а е т с я з а в и с я щ и м от	местоположения объекта.
Д а л е е	очевидно, что в тех точках,	в которых якобиан преоб

разования обладает особенностями (устремляется к нулю), ошибки измерений возрастают, устремляясь к бесконечности.


Наконец,		из	рассмотрения		корреляционной		матрицы
(V.3.3)	можно		заключить,	что	ранг	матрицы вторых		произ
водных	А К Ф	по вектору		п а р а м е т р о в		q не превышает		ранга

якобиевой матрицы п р е о б р а з о в а н и я и ранга исходной мат

рицы	вторых производных. П р и	неособенной	якобиевой мат
рице	преобразования он будет	равен рангу	м а т р и ц ы вторых

производных А К Ф по топоцентричеоким координатам . Следо


вательно,	размерность вектора			определяемых		параметров
движения	q	(размерность	в с м ы с л е		количества		компонент
вектора)	не	может превышать		размерности		вектора		топо
центрических		координат	и, значит,		определитель		матрицы
вторых производных, А К Ф по				о п р е д е л я е м ы м		п а р а м е т р а м q
будет равен нулю, если размерность вектора						топоцентриче
ских координат и их производных ?					окажется	меньше		раз
мерности	вектора определяемых			п а р а м е т р о в q.

I l l

V.4. Приближенная оценка потенциальной точности определения параметров движения низкоорбитных КА при измерениях дальномерным и допплеровским методами на одном про ходе зоны видимости

В	этом	п а р а г р а ф е приводится пример применения мето
дики	оценки	потенциальной точности измерительных средств,

которая изложена в третьей и четвертой главах книги, д л я решения з а д а ч и практического характера . М а т е р и а л ы п а р а г р а ф а позволяют наглядно продемонстрировать основные свойства и отличительные особенности дальномерных и допллеровских методов и дают возможность рассмотреть вопрос об информативности различных отрезков мерного участка

траектории КА.
П р и решении	з а д а ч и	учитываются т а к ж е основные		резуль
таты пятой главы книги: определяемые			параметры	д в и ж е
ния -выбираются	т а к и м	образом, чтобы	исключить	нежела
тельное влияние	координатных преобразований . В			качестве

определяемых параметров движения выступают прямоуголь

ные координаты КА		в момент пролета им точки			траектории,
наименее	удаленной	от наблюдателя . Эта точка			называется
траверзом	н а б л ю д а т е л я .
З а д а ч а	состоит в	оценке потенциальной точности опреде
ления указанных -координат,			т. е. в 'вычислении	матрицы м а к
симальных значений		вторых	производных А К Ф	и	корреляци

онной матрицы минимально достижимых значений ошибок. Решение данной з а д а ч и в общем виде, т. е. в случае про извольного закона д в и ж е н и я КА, затруднительно . Поэтому ограничимся рассмотрением по возможности более простого


закона движения		КА, допускающего			получение результатов
в конечном виде. Будем			(Предполагать,		что спутник	двигается,
с постоянной скоростью			v по	прямолинейной траектории и
что длина	отрезка	траектории,		на котором ведутся		измере
ния, равна	2vT, где 2Т — общее время				измерений.
Н а д о отметить,		что	прямолинейная аппроксимация мер

ного участка траектории допустима не всегда. Е е можно ис

пользовать, если высота траектории КА	« а д Землей сравни
тельно невелика, так как д л я невысоких	орбит	энергетиче
ские условия в точке приема наиболее	благоприятны при
полете на близтраверзном участке траектории		сравнительно,

небольшой длины, который можно аппроксимировать отрез


ком	прямой	линии.	Легко		подсчитать,	что	мощ
ность	сигналов,	п р и н и м а е м ы х		от	КА, располагающихся на
периферии зоны		видимости, в		несколько десятков раз			мень-

112

ше .мощности		сигналов,		принимаемых	от КА	в момент про
лета	т р а в е р з а .
Наконец, примем,			что	интервал корреляции		флюктуации
фазы	сигнала	равен	длительности 'измерений и прием сиг
налов осуществляется на ненаправленную антенну.
В а ж н ы м вопросом			в	решаемой з а д а ч е является вопрос о
выборе величин, которые считаются в					условиях		измерений
неизменными. Обычно			такими величинами являются энергия
принимаемого		сигнала и		спектральная	плотность		помех на

входе радиоприемника . Опыт показывает, что при оценке па раметров сигнала такой выбор фиксируемых величин о к а з ы

вается наиболее рациональным . Однако при					решении	задач
по	оценке	п а р а м е т р о в орбиты	или	координат н а б л ю д а т е л я
или	тех и	других п а р а м е т р о в	вместе	взятых	фиксация	энер

гии принимаемого сигнала затрудняет сравнение различных


методов измерений, т а к			к а к	энергия	принимаемого			сигнала
зависит не только от мощности излучения,						площади		прием
ной антенны и длительности измерений, но						и от	параметров
орбиты и п о л о ж е н и я наблюдателя относительно							мерного уча
стка	траектории.	Поэтому		в данной	з а д а ч е	более целесооб
разным является фиксация энергии или мощности								излучае
мого	сигнала, площади		приемной		антенны	и	спектральной
плотности ломех .		Фиксируя		энергетические		характеристики

излучаемого сигнала, мы достигаем полной идентичности ус

ловий,	в которых производится сравнение различных	мето
дов измерений.
П р и	этом имеет смысл раздельное рассмотрение	двух

случаев: когда фиксируется мощность излучаемого сигнала и

длительность измерений (т.		е. фиксируется энергия излуче
ния) или	только мощность	излучения. Фиксация	мощности
излучения	дает возможность	изучить потенциальные	возмож

ности измерительных систем при измерениях в течение всего времени пребывания КА в зоне видимости и учесть не только отрицательные, но и положительные последствия увеличения высоты полета КА. В дальнейшем основным является пред


положение о	постоянстве		мощности		излучения.		Устремляя
длительность	измерений на		одном	проходе к		бесконечности,
мы получаем	возможность		оценить	точность		при	измерениях
в течение всего		времени пребывания			КА в зоне		видимости.
П р е д п о л о ж и		м вначале,	что используется			фазовый метод

измерений дальности на частоте модуляции и что информа ция, с о д е р ж а щ а я с я в амплитуде сигнала, непосредственно не •используется.

Ограничимся рассмотрением		процесса измерений		лишь на
самой точной ш к а л е и будем	предполагать, что		устранение
неоднозначности достигается	за	счет измерений	на	неоколь-

8-1100

113

ких

«грубых» ш к а л а х

и что,

следовательно,

о б щ а я

энергия,

расходуемая

на

процесс

измерений,

будет

несколько

раз

превышать энергетические

з а т р а т ы « а

точной

шкале .

Очевидно,

что к в а д р а т

амплитуды

с и г н а л а

в точке

при

ема

связан

мощностью

излучения

Р, п л о щ а д ь ю

антен

ны 5

и текущим

расстоянием

r(t) зависимостью

PS/terHt).

Так как

сделано

предположение

том,

что объект

дви

ж е т с я по прямолинейной

траектории,

то

при

измерениях в

течение одного

прохода И С З

через

зону

видимости

опреде

ление трех координат и трех составляющих скорости оказы вается невозможным . В самом деле, поверхности положения, действие которых по - прежнему проявляется и при обобщен ном подходе, пересекаются в этом случае не в точке, а по окружности, расположенной в траверзиой плоскости. След

ствием этого является равенство нулю				определителя матри
цы вторых	производных А К Ф .		П о результатам			измерений
дальности	на	одном проходе	можно	при	прямолинейной
аппроксимации		траектории определить		лишь	д в е	координаты

и две составляющие скорости КА. Ввиду этого закон движе

ния КА, учитывающий

принятые

допущения,

целесообразно

представить в следующем

виде:

г = у

щ +rf

Y{i+

* ) 4 - h + \

t? ,

где g, т) — к о о р д и н а т ы

КА в момент

времени

t=0.

Текущее расстояние

м е ж д у

КА

н а б л ю д а т е л е м

можно

т а к ж е представить в виде

зависимости

r =

yv*rt*+2vrr0t

rl,

где

r* = P +

r?;

v* =

v\ +

i§

г 0 ^ =

^ £ + - 1 ^

vr— р а д и а л ь н а я

с о с т а в л я ю щ а я

скорости

момент

н а ч а л а

отсчета

времени.

Н а и б о л ь ш а я

простота

и наглядность

достигается

случае,

если измерения начинаются в момент пролета траверза,

когда

расстояние м е ж д у КА

н а б л ю д а т е л е м

достигает

минимума .

В этот

момент

в , = 0

и т е к у щ а я

дальность

в ы р а ж а е т с я

фор

мулой

г = У p2-\-v2

,где р — траверзное

расстояние.

114

Ч а с т н ые производные ото определяемым координатам £, т]

и составляющим скорости		,		в ы р а ж а ю т с я следующими
формулами:
дг	I ,		дг	t\t
д%	г		d-q	г	(V.4.1)
					(V.4.1)
дг-		%jt_	dv	t\tt
dvc	г		dv
	г

Элементы матрицы вторых производных автокорреляци онной функции по определяемым п а р а м е т р а м вычисляются следующим о б р а з о м :

	т
m2Q2PS	С (^ + V )		2	dt.	(V.4.2)
				dt.	(V.4.2)
гр
Производя соответствующие	вычисления			и вводя	обозна
чения
у. = — щ2 Q2 PSjA-v^,		X = Z>7/р,
д л я случая, когда измерения	начинаются		в	траверзе, полу
чаем формулу
	arctgx			+
х \		to		1-2	(V.4.3)
arctg х •		p-D	I		(V.4.3)
l + x 2		p-D	I

Рис. V . l . Вектор	скорости			и его составляющие				в используемой		топо-
	центрической				системе координат.
О б р а щ а я с ь	к рис . V . 1 , на				котором		и з о б р а ж е н ы		геометри
ческие соотношения,		имеющие				место	в момент пролета			тра
верза, и учитывая,- что
	г>£	/v	=	cos	а,	S/p =	sin	а,
	v	jv	=	sin а,		т)/р =	cos	а,	(V.4.4)

115

где а — угол	между	направлением на		траверзную		точку и
осью г), а т а к ж е обозначая
arctgл- — х'{	1 + х2)	=	/ , (Л:), arctg х +	х/( 1 +	л-2) =	/ 2 ( х ) ,
						(V.4.5)
получаем возможность			(вычисленную	вторую	производную
переписать в следующем			виде:
ZU (0)	/г (х)	c o s 2 а + / 2 (jc) sin 2		а -(- —х— sin 2а
2ov				1 + *
						(V.4.6)

Учитывая, что по своей .структуре формулы дл я вторых производных АК Ф по координатам ц и | аналогичны, можно записать

Z° (0) =

—

/ ,

(л") sin 2 a - ( - U (х)

cos 2 a - |

sin2a

1 , 1 1 V

2рг>

1-rX2

(V.4.7)

Переходя к вычислению

вторых

производных

АК Ф по со

с т а в л я ю щ и м

скорости,

получаем

следующие

зависимости:

„. (0) = -/ \ — '

Л =

* - 1 Л ( * )

s i n » a +

i o g ( l + x 2 j

1 + л : 2

sin

2 a + / 3 (Л) cos 2 a

j , (V.4.8)

где

/ 8

(*) =

arctg д:.

(V.4.9)

2 1 + х 2

П о

аналогии

имеем

log (1

21 —

sin 2a-j-

+x )

1 + л - 2 .

Mx)

sin2 a

(V.4.10)

. y-P	(Л: — arctg Л ) sin 2a -f- log (1 -f- x2)—	(V.4.11)
2vs

116

^	(0)	=	-	2v2	l o g ( l - f ^ )			cos2 a	+
^	(0)	=	-	2v2
		- f	fx	(x)	sin 2a-		s in	4 ,	(V.4.12)
					1 + * 2			j
					l o g ( l + *		) -	x?
					l o g ( l + *	2	) -	a J ,
	+	/,		(x)	sin 2a + ~ -	2	cos2	a J ,	(V.4.13)

(0) = Z ; , 5

(0) =

J[log ( 1 +

л 2 ) ]

- i

sin

2a + л w

(V.4.14)

Ze ",(0)

= Z ; ( 0 ) =

2(w

(arctgjtr)

sin 2a

- j -

(V.4.15)

1 + > J

Таким о б р а з о м ,

рассчитаны

все элементы

матрицы

макси

мальных

значений

вторых производных

автокорреляционной

функции

сигнала

по составляющим

координат и

скорости.

Т а к как имеет место

соотношение

- г

j ' f(t)dt=

[ f{t)dt

—

f(t)dt,

(V.4.16)

то при симметричности

мерного участка

траектории

матрица

вторых

производных

автокорреляционной

функции

приво

дится

к виду (V.4.17). Интересно, что при a = 0 , а=<45° и а=?

= 90°

соответственно

1-й и 4-й, 1-й и 2-й, 2-й и 3-й столбцы

матрицы

(V.4.17)

становятся пропорциональными

друг

другу.

Это свидетельствует о том, что в указанных случаях обра щение данной матрицы, а значит, и определение обеих ко ординат и обеих составляющих скорости становится невоз можным .

В указанных с л у ч а я х удается определить л и ш ь три из четырех определяемых величин. Рассмотрим, в частности,

случай сс = 0 и рассчитаем дл я этого случая	корреляционную
матрицу ошибок определения координат и	модуля	вектора
скорости.
Исходная матрица вторых производных	в данном	случае
имеет вид (V.4.18):

117

^'\f\ ix)		cos 2 a 4 -	— arctg x sin 2a
pv			pv
	+ / 2 W	Sin2 a]
_1_
pv	arctg A; sin 2a		— [ / , (x) sin 2 a	+
			+ / 2 ( л : ) COS2	a]
Z"(0) = x		sin 2a

sin 2a

—Sin za

- / , (*)	л	и	sin	2a

J _ [ / 1 ( j : ) s i n » a +	4 - s i n 2a X	(V.4.17)
V		(V.4.17)
V
+ / 3 (•*) cos 2 a]	X (x — arctg л:)
-7- (•* — а г ( % J f ) X - 7	l / i () c o s 2 +
X sin 2a	+ / 3 ( j c ) s i n 2 a ]

	•	ш
Z"(0) = x	О	—Мх)	4 - / , ( л - )	(V.4.18)
			•и*
	О	—JAx)	\-f3(x)

Корреляционная матрица о ш и б о к измерений связана с матрицей вторых производных АК Ф соотношением (III.1.16), которое при отсутствии априорных данных приводится к виду

Я =11 bu\\ =

-^[Z"(0)]-\

(V.4.19)

где N0 — с п е к т р а л ь н а я

плотность

помех.

Таким

образо;м, элементы

корреляционной

матрицы вы

р а ж а ю т с я

ф о р м у л о й

вида

[ Z h ^ *

detZ"(0 ) '

где

[Z".j (0)]* —

алгебраическое

дополнение

соответствую

щего

элемента;

det.Z"i(0) — о п р е д е л и т е л ь

матрицы вторых

производных,

который равен

следующей

величине:

d e t Z " ( 0 ) =

z"u(z"22z"33-z"2l).

(V.4.20)

Используя

приведенные

формулы,

получаем следующие

в ы р а ж е н и я

дл я

элементов

корреляционной матрицы:

2KN0

г»?

(V.4.2I)

m*Q*

P S P

b l l =

F I { X )

где

(V.4.22)

/ « ( * ) =

! / , С*)] - ';

^ „ • 2 - ^ 0

(V.4.23)

где

;

- i

(V.4.24)

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ