§4. Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1. Пусть – любые полиномы степени не выше трех и . Доказать, чтоA(P,Q) – билинейная форма в пространстве полиномов степени не выше трех и найти ее матрицу в базисе:е₁= 1,е₂=х,е₃=х²– ,е₄=х³–х.  . 

2. В пространстве полиномов степени не выше двух задана билинейная форма A(P,Q), гдеPиQ– любые полиномы из указанного пространства. Найти матрицу этой билинейной формы в базисее₁, е₂, е₃и записатьA(P,Q) через координаты векторовPиQв этом базисе:

а) ;е₁= 1,е₂=х,е₃=х²;

б) ;е₁= 1,е₂=х,е₃=х²– .

 а) ; A(P, Q) = ;

a₀, a₁, a₂, и b₀, b₁, b₂ – координаты Р и Q в базисе е₁, е₂, е₃;б) ;

A(P, Q) = , где a₀, a₁, a₂, и b₀, b₁, b₂ – координаты Р и Q

в базисе е₁, е₂, е₃.

3. Составить матрицу данной билинейной формы и записать соответствующую ей квадратичную форму в линейном n-мерном пространстве:

а) х₁у₁(n= 1); б)х₁у₁(n= 2);

в) 2х₁у₁–х₁у₂ –х₂у₁– 5х₂у₂(n= 2);

г) х₁у₂– 3х₁у₃ + 7х₂у₃+х₂у₁­– 3х₃у₁+ 7 х₃у₂+х₃у₃(n= 2).

 а) (1); ; б) ; ; в) ; ; г) ;

. 

4. Найти симметричную билинейную форму А(х, у) соответствующую данной квадратичной форме:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

• а) ;

б) ;

в) ;

г) . 

5. По заданной квадратичной форме в n-мерном линейном пространстве восстановить симметричную билинейную форму:

а) (n= 1); б) –18х₁х₂+ (n= 2);

в) (n= 3);

г) (n= 3).

• а) –3х₁у₁; б) 9(–х₁у₂ – х₂у₁ +х₂у₂); в) х₁у₁ +2х₁у₂ +2х₂у₁ +2х₁у₃ +2х₃у₁ +5х₂у₂ +6х₂у₃ +6х₃у₂+7х₃у₃;

г) 2х₁у₁ – 3х₁у₂ – 3х₂у₁ – 3х₂у₂. 

6. Записать квадратичную форму с заданной матрицей:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

 а) ; б) ; в) ;

г); д) ;

е) . 

7. Данную квадратичную форму привести к каноническому виду методом Лагранжа. Найти ранг, положительный и отрицательный индексы инерции. Какова определенность форм:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ;

и) ; к)х₁х₂+х₂х₃+х₁х₃;

л) ; м)х₁х₂+ 2х₂х₃–3х₃х₄;

н) ;

о) ;

п) ; р)х₁х₂+х₂х₃–.

 а) ; 2, 2, 0, +; б) ; 2, 1, 1, ?; в) ; 2, 1, 1. ?; г) ; 1, 1, 0, + = ;

д) ; 2, 0, 2, –; е) ; 1, 0, 1, – =; ж) ; 3, 2, 1, ?; з) ;

3, 3, 0, +; и) ; 3, 1, 2, ?; к) ; 3, 1, 2, ?; л) ; 2, 2, 0, + = ;

м) ;4, 2, 2, ?; н); 4, 4, 0, +; о) ;

6, 4, 2, ?; п) ; 1, 1, 0, + = ; р) ; 3, 0, 3, – . 

6. Доказать, что квадратичная форма А(х,х), тогда и только тогда является положительно определенной, когда ее матрица представляется в видеА=С^ТС, гдеС– невырожденная вещественная матрица.

9. Какими свойствами должна обладать билинейная форма для того, чтобы ее значение от координат любых двух векторовх(₁,₂, … ,_n) иу(₁,₂, … ,_n) вещественного линейного пространстваV_nв некотором базисее₁,е₂, … ,е_nможно было бы принять за скалярное произведение этих векторов, определяющееn-мерное евклидово пространство. Чему равны скалярные произведения векторов выбранного базиса?

 Билинейная форма должна быть симметричной (a_ik = a_ki) и квадратичная форма

–положительно определена (e_i, e_k) = a_ik i, k = 1, 2, … , n. 

10. Определить число положительных и отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д)₁₂+₂₃+₃₄+₄₁.

 а) 1+, 1–; б) 3+; в) 3+, 1–; г) 2+, 2­–; д) 1+, 1–. 

11. Найти нормальный вид следующих квадратичных форм:

а) ;

б) ;

в) ;

г) х₁х₂+х₁х₃+х₁х₄ +х₂х₃ +х₂х₄ +х₃х₄;

д) .

 а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 

12. Найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм. (Ввиду неоднозначности преобразования, ответ может, получиться разным):

а) ; б) ;

в) х₁х₂+х₁х₃+х₂х₃ ; г) ;

д) ; е)х₁х₂+х₂х₃+х₃х₄ +х₄х₁;

 а) , х₁ = у₁ –у₂+у₃, х₂ =у₂ –у₃, х₃ = у₃; б) , х₁ = у₁+у₂,

х₂ =у₂ + у₃, х₃ = –у₂ +у₃; в) , х₁ = у₁ – у₂ – у₃, х₂ = у₁ + у₂ – у₃, х₃ = у₃;

г) , х₁ = у₁–у₂+у₃, х₂ = –у₂ +у₃, х₃ = у₂ + у₃;

д) , х₁ = –у₁ –у₂+у₃, х₂ = –у₁ +у₂, х₃ = у₁+у₂; е) ,

х₁ = у₁ – у₂ – у₃, х₂ = у₁ + у₂ – у₃, х₃ = у₃, x₄ = у₄. 

13. Какие из приведенных ниже квадратичных форм являются положительно определенными:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ?

 а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет. 

14. При каких значениях параметра , следующие квадратичные формы являются положительно определенными:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ?

 а)  > 2; б)  < ; в) – <  < 0; г) ø; д) ø. 

15. Привести к каноническому виду форму, зависящую от параметра :

а) ; б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 а) при  > , при  = , при  < ; б) при  < 8, при

= 8, при > 8; в) при  > –6, при  = –6,

при  < –6; г) при  >, при  =, при

 <; д) при  = 3, при   3. 

16. При каких  данная квадратичная форма определена положительно, отрицательно, квазиопределена:

а) ; б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

 а) > 0 при  > 1,  0 при  = 1, < 0 при  < – 4,  0 при  = – 4; б) < 0 при < 1,  0 при

 = 1; в) > 0 при  > 8,  0 при  = 8; г) таких  нет; д) > 0 при  < –­6,  0 при  = –6,

< 0 при  > 6,  0 при  = 6. 