Для коэффициентов 21 и22 имеем два уравнения:

.

Таким образом: е₂ = 6f₁ – 8f₂ = (6, –8, 0).

Наконец, для 31,32,33имеем систему уравнений:

,

и, следовательно, . Квадратичная форма в каноническом базисе {е₁, е₂, е₃} будет иметь вид:

.

Задача 5. Методом Лагранжа привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать положительный и отрицательный индексы инерции.

Решение. Коэффициент при отличен от нуля (равен 3). Соберем в одну группу все члены квадратичной формы содержащиех₂: . Дополним это выражение до полного квадрата членами, не содержащимих₂, и, чтобы квадратичная форма(х,х) не изменилась, вычтем добавленные члены. Получим:

.Положим: . Тогда в выражении квадратичной формы появляется переменнаяу₂и исчезает переменнаях₂. Перепишем квадратичную форму в виде: . К квадратичной форме(х₁,х₃) снова применим метод выделения полного квадрата. С этой целью соберем в одну группу все члены содержащиех₁: . Дополним это выражение до полного квадрата слагаемым, не содержащимих₁, и чтобы квадратичная форма(х₁,х₃) не изменилась, вычтем добавленное слагаемое. Получим:

.

Положим у₁=х₁– 2х₃. Приведя подобные члены, перепишем исходную квадратичную форму в виде: .

Вводя обозначение х₃=у₃, получаем следующий канонический вид исходной квадратичной формы:

, гдеу₁=х₁– 2х₃, ,у₃=х₃. Количество положительных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называетсяположительным индексом инерции и равно 2. Отрицательный индекс инерции (количество отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы) равно 1.

Преобразование переменных, приводящее исходную квадратичную форму к каноническому виду, можно записать в матричном виде:

.

Замечание. В результате применения метода Лагранжа всегда получается невырожденное линейное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

Задача 6. Ортогональным преобразованием привести квадратичную форму к каноническому виду. (Ортогональным называется преобразование осуществляющее переход от одного ортонормированного базиса к другому, тоже ортонормированному базису).

Решение. Составим матрицу данной квадратичной формы:. Найдем ее собственные значения. Характеристическое уравнение имеет вид: . Оно имеет корни₁= –2,_{2, 3}= 4. Это позволяет сразу написать канонический вид квадратичной формы: . Построим теперь матрицу ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к этому каноническому виду. С этой целью найдем собственные векторы матрицыА. Элементых₁,х₂,х₃любого собственного вектораf, соответствующего собственному значению= –2, являются решением системы уравнений (А+ 2E)f=, т.е. системы , у которой рангrматрицы равен 2, аn–r= 1. Следовательно, фундаментальная совокупность решений системы состоит из одного решения, например, такого:f₁= (–2, 1, 1). Нормируяf₁, получаем собственный вектор . Элементых₁,х₂,х₃любого собственного вектораf, соответствующего собственному значению= 4, являются решением системы уравнений (А– 4Е)f =, т.е. системы: , у которой рангrматрицы равен 2, аn–r= 2. Поэтому фундаментальная совокупность решений этой системы состоит из двух решений. Чтобы их найти, оставим только первое уравнение системы (второе и третье являются следствием первого). Положив вначалех₂= 1,х₃= 0, а затемх₂= 0,х₃= 1 получим, что фундаментальная совокупность решений состоит из решений:f₂ = (1/2, 1, 0) иf₃ = (1/2, 0, 1) . Это и есть два линейно независимых собственных вектора матрицыА, соответствующих собственному значению= 4.

Заметим, что собственные векторы f₂ и f₃ матрицы А ортогональны к собственному вектору f₁, но не ортогональны между собой. Применим к f₂ и f₃ процедуру ортогонализации. С этой целью положим y₂ = f₂, y₃ = f₃ – аy₂. Коэффициент а определяется из условия ортогональности y₂ и y₃: а = 1/5.

Итак, мы построили два ортогональных собственных вектора матрицы А, соответствующих собственному значению  = 4:

y₂ = (1/2, 1, 0); y₃ = (2/5, –1/5, 1).

Нормируя их, получаем собственные векторы:

.

Матрица искомого ортогонального преобразования (т.е. преобразования перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису) состоит из координат векторов g₁, g₂, g₃, записанных в столбцы. Следовательно, искомое преобразование имеет вид:

.

Оно приводит квадратичную форму к каноническому виду:

.

Замечание. Отметим, что как канонический вид квадратичной формы, полученный методом Лагранжа, так и канонический вид, полученный ортогональным преобразованием, содержит два положительных канонических коэффициента и один отрицательный канонический коэффициент, что соответствует закону инерции квадратичных форм.

Задача 7. Найти все значения параметра a, при которых квадратичная форма является положительно определенной.

Решение. Найдем главные миноры матрицы квадратичной формы . Получаем: ₁ = 1 >0, ₂ = 3 > 0, ₃ = detA = 3(a– 1). Пользуясь критерием Сильвестра, находим, что данная квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда когда ₃ > 0, т.е. при а > 1.

Задача 8. Доказать, что скалярное произведение в евклидовом пространстве представляет собой симметричную, билинейную форму, у которой соответствующая квадратичная форма является положительно определенной.

Решение. Скалярное произведение (х, у) элементов х и у вещественного линейного пространства является числовой функцией аргументов х и у, удовлетворяющей следующим четырем аксиомам скалярного произведения.

1. (х,у) = (у,х). 2. (х +у,z) = (x,z) + (у,z). 3. (х,y) =(x,y).

4. (х,x) > 0, еслиx , и (х,x) = 0, еслиx =.

Из аксиом 2и 3следует, что скалярное произведение (х,у) есть линейная функция по первому аргументух. Пользуясь аксиомами 1– 3, нетрудно показать, что скалярное произведение является линейной функцией и по второму аргументу. Действительно, в силу аксиом 1и 2имеем: (х, у+z) = (у+z,x) = (у,х) + (z,x) = (х,у) + (х, z), а используя аксиомы 1и 3устанавливаем, что справедливы равенства:

(х,y) = (y,х) =(y,x) =(x,y).

Таким образом, из аксиом 1– 3следует, что скалярное произведение (х,у) есть симметричная билинейная форма. Из аксиомы 4вытекает положительная определенность соответствующей квадратичной формы (х,х): (х,х)0, причем (х,х) = 0 только еслих =.

Замечание. Отметим, что в любом линейном вещественном пространстве скалярное произведение элементов можно ввести бесконечным числом способов, задавая в некотором базисе различные, симметричные билинейные формы с положительно определенными матрицами.