Свойства 4), 5), 6), 7), 8) вводят на множестве линейных операторов вторую внутреннюю операцию, которая совместно с 2) и 3) позволяет говорить, что множество линейных операторов на Vобразуют алгебру.

Эта алгебра называется алгеброй линейных операторов наV.

Если А– линейный оператор наVи базис вV, тохV:

.

Из этой записи ясно, что действие линейного оператора на любой элемент пространства полностью определяется его действием на базисные векторы, т.е. числами (a_ji), образующими квадратную матрицу. Эта матрица называетсяматрицей линейного оператора в заданном базисе.

Т. В заданном базисе , между квадратными матрицами порядкаn

и линейными операторами на V(dimV=n) существует взаимно-

однозна­ч­ное соответствие.

Практическое правило. Для получения матрицы линейного оператора в заданном базисе надо подействовать оператором А на i^ый базисный вектор е_i; получившийся вектор Ае_i разложить в базисе ; полученные координаты вектора Ае_i в базисе записать в i^ый столбец матрицы оператора. Проделать это для i =1, 2, 3, … , n.

Матрицы операторов С₁ = А; С₂ = А + В; С₃ = А ^. В получаются соответственно умножением матрицы оператора А на число , сложением и умножением матриц операторов А и В.

Множество называется образом линейного оператора.

Множество называется ядром линейного оператора.

Образ и ядро линейного оператора являются подпространством пространства V.

Если N(A) = { }, то оператор А называется невырожденным.

Т. Если операторА– невырожденный, то его матрицаАимеет опре- делитель не равный нулю (detA0).

В этом случае линейный оператор А имеет обратный оператор А^–1 (т.е. такой, что А^–1А = АА^–1 = Е).

Подпространство V₁ линейного пространства V, такое, что xV₁  AxV₁ называется инвариантным относительно линейного оператора А.

При этом:

а) Пересечение и сумма подпространств инвариантных относительно А также инвариантно относительно А;

б) Если detA  0 и V₁ инвариантно относительно А, то V₁ инвариантно и относительно А^–1.

Вектор xV, х  0 называется собственным вектором линейного оператора А если ₀ такое, что Ах = ₀х. При этом ₀ называется собственным значением (числом) линейного оператора А, соответствующим собственному вектору х. Совокупность всех собственных чисел оператора А называется его спектром.

Если х₁, х₂, … , х_k собственные векторы оператора А, то ℒ(х₁, х₂, … , х_k) есть подпространство инвариантное относительно оператора А.

Как найти собственные значения и собственные векторы оператора А?

1) Решается относительно  характеристическое уравнение: det(A – E) = 0. Корни ₁, ₂, … , _k характеристического уравнения являются собственными значениями оператора А;

2) Для каждого собственного значения _i ищутся ненулевые решения однородной системы: (A – _iE)х = 0. Это будут собственные векторы соответствующие собственным значениям _i.

Т. Если линейный оператор имеет n различных собственных значе-

ний, то отвечающие им собственные векторы образуют базис и в

этом базисе матрица линейного оператора имеет диагональный вид,

причем, по диагонали стоят соответствующие собственные значения.

§2. Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение и приведите примеры линейных операторов.

2. Какой вид имеет в любом базисе матрица: а) нуль-оператора; б) тождественного оператора; в) оператора подобия с коэффициентом подобия ?

3. Какой оператор получится в результате сложения двух операторов подобия с коэффициентами ₁ и ₂?

4. Какой оператор называется обратным к данному линейному оператору?

5. Какой оператор является обратным: а) к оператору подобия с коэффициентом подобия   0; б) к оператору поворота на угол  в пространстве V₂?

6. Для каких линейных операторов существует обратный оператор?

7. Как связаны между собой матрицы операторов А и А^–1?

8. Дайте определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора А.

9. Каковы собственные значения и собственные векторы: а) у нуль-оператора; б) у тождественного оператора; в) у оператора подобия с коэффициентом подобия ?

10. Всякий ли линейный оператор, действующий, в вещественном линейном пространстве R_n имеет собственные значения? а в комплексном пространстве?

11. Всякий ли корень характеристического уравнения является собственным значением линейного оператора? А наоборот?

12. Являются ли линейные оболочки ℒ{sinx} и ℒ{cosx} инвариантными относительно оператора дифференцирования? А ℒ{sinx, cosx}?