Введение

Данные методические указания отражают многолетний опыт авторов по чтению лекций и ведению семинарских занятий по линейной алгебре на физико-техническом факультете Харьковского национального университета.

Трудно представить себе образование современного физика без знания и владения основными методами линейной алгебры. Линейной алгебре посвящена обширная литература, имеются прекрасно написанные учебники и задачники. Вместе с тем ощущается недостаток пособий, помогающих студентам выработать навыки решения задач по различным разделам линейной алгебры. Авторы данных указаний ставили перед собой цель в какой-то мере ликвидировать этот пробел.

Назначение указаний мы видим в том, чтобы активизировать самостоятельную работу студентов при изучении курса линейной алгебры, помочь активному и неформальному усвоению этого предмета.

Авторами задуман целый цикл методических указаний по различным разделам изучаемого курса «Высшая алгебра». Первой «ласточкой» в этом цикле, являются методические указания по первой части изучаемого курса «Линейные (векторные) пространства. Алгебра матриц».

Структура методических указаний подчинена решению, поставленных выше учебно-методических задач. Материал указаний разбит на четыре параграфа. В параграфе «Основные понятия и теоремы» приводятся без доказательства основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения задач. В параграфе «Контрольные вопросы и задания» содержатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение. Назначение параграфа – дать возможность студенту самому проконтролировать усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику или конспекту лекций. В параграфе «Примеры решения задач» представлены решение типичных задач по изучаемой теме. Назначение параграфа «Задачи и упражнения для самостоятельной работы» отражено в его названии. Из этого раздела подбираются задачи для решения на практических занятиях, для домашних заданий по заданному разделу.

§ 1. Основные понятия и теоремы

Def: Множество V называется линейным (векторным) пространством над числовым полем K, если на множестве V корректно^*) заданы две операции: одна внутренняя, в дальнейшем именуемая сложением (обозначается или +), другая – внешняя над полем K, в дальнейшем именуемая умножением на скаляр (обозначается ⊙ или ^.), удовлетворяющие аксиомам:

А.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

В. ⊙ х

1) 1K; 1 ⊙ x = x 2)  ⊙ (⊙ x) = ()⊙ x.

С. Эти операции связаны соотношениями:

1. ⊙⊙⊙x;

2.  ⊙=  ⊙⊙y

Если поле K это R (поле вещественных чисел), то V называется вещественным линейным пространством. Если же поле K это С (поле комплексных чисел), то V называется комплексным линейным пространством.

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами.

Если множество и 1) , 2) ⊙, то множество W называется подпространством линейного пространства V.

Вектор называется линейной комбинацией векторов е₁, е₂, … , е_k.

Множество всевозможных линейных комбинаций векторов называется линейной оболочкой этих векторов и обозначается ℒ.

Если ℒ, то система векторов называется полной в пространстве V.

Система векторов называется линейно-независимой, если тогда и только тогда, когда .

В линейном пространстве V система векторов называется базисом пространства V, если система является:

а) минимальной полной в V или

б) максимальной линейно-независимой в V или

в) полной линейно-независимой в V.

Количество векторов в базисе называется размерностью пространства V и обозначается dim V.

Если в пространстве V задан базис , то такие, что . Такое представление называется разложением вектора х по базису , а числа – координатами вектора х в базисе .

Два линейных пространства V и V  называются изоморфными, если между их элементами установлено взаимно-однозначное соответствие , причем такое, что: если и , то и α ⊙ x ↔ α ⊙ x'.

Линейные пространства V и V  изоморфны тогда и только тогда, когда dim V = dim V .

Пусть L₁ и L₂ – подпространства V. Тогда суммой L и пересечением N этих подпространств называются:

1. ;

2. 

Сумма и пересечение подпространств есть подпространство.

Формула Грасмана: .

Сумма L = L₁ + L₂ подпространств называется прямой суммой (и обозначается ), если представление единственно .

Если L – подпространство V и х₀V, то множество М  { x | x = х₀⊕y, yL} называется линейным многообразием в V. Базис и размерность подпространства L называются базисом и размерностью линейного многообразия М, а вектор х₀V называется вектором сдвига.

Если х₀L (и только в этом случае) М является подпространством пространства V и при этом L  М.

Def: Линейное пространство V над числовым полем K называется алгеброй если на нем корректно введена еще одна операция ( или ) такая, что:

со свойствами:

1. ⊙(⊙ x)( ⊙ y);

2. ;

3. .

Матрицей порядка n  m называется прямоугольная таблица:

.

Здесь (числовое поле) и называются элементами матрицы А. Другое обозначение матричных элементов матрицы А: (А)_ij.

Def: Матрица А, для которой а_ij = a_ji называется симметрической, а а_ij = – a_ji называется кососимметрической (антисимметрической).

Любая квадратная матрица может быть однозначно разложена в сумму симметрической и кососимметрической матриц.

Операции над матрицами:

1. Умножение на скаляр из поля K: (А)_ij =  (А_ij);

2. Сложение матриц одного порядка: (А + В)_ij = (А)_ij + (В)_ij;

3. Умножение матриц А_{n x m} ^. В_{m x k}. (Вводится только для матриц у которых количество столбцов у 1^ой матрицы совпадает с количеством строк у 2^ой матрицы): . Это правило в обиходе называют: строка на столбец;

4. Транспонирование матрицы: ;

5. Операция комплексного сопряжения (для матриц с комплексными элементами): ;

6. Операция эрмитового сопряжения (для матриц с комплексными элементами, обозначается ^* или ⁺ ): .

Нетрудно понять, что по операциям 1), 2) и 3) множество квадратных матриц (т.е. матриц порядка n x n) для заданного n образуют алгебру.