Введение

Данные методические указания отражают многолетний опыт авторов по чтению лекций и ведению семинарских занятий по линейной алгебре на физико-техническом факультете Харьковского национального университета.

Трудно представить себе образование современного физика без знания и владения основными методами линейной алгебры. Линейной алгебре посвящена обширная литература, имеются прекрасно написанные учебники и задачники. Вместе с тем ощущается недостаток пособий, помогающих студентам выработать навыки решения задач по различным разделам линейной алгебры. Авторы данных указаний ставили перед собой цель в какой-то мере ликвидировать этот пробел.

Назначение указаний мы видим в том, чтобы активизировать самостоятельную работу студентов при изучении курса линейной алгебры, помочь активному и неформальному усвоению этого предмета.

Авторами задуман цикл методических указаний по различным разделам изучаемого курса «Высшая алгебра». Данные методические указания являются третьей частью этого цикла и посвящены теме «Определители. Системы линейных уравнений».

Структура методических указаний подчинена решению, поставленных выше учебно-методических задач. Материал указаний состоит из двух разделов.

Каждый из разделов разбит на четыре параграфа. В параграфе «Основные понятия и теоремы» приводятся без доказательства основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения задач. В параграфе «Контрольные вопросы и задания» содержатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение. Назначение параграфа – дать возможность студенту самому проконтролировать усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику или конспекту лекций. В параграфе «Примеры решения задач» представлены решение типичных задач по изучаемой теме. Назначение параграфа «Задачи и упражнения для самостоятельной работы» отражено в его названии. Из этого параграфа подбираются задачи для решения на практических занятиях, для домашних заданий по заданному разделу.

Раздел 1 теория и практика вычисления определителей

§ 1. Основные понятия и теоремы

Def: Пусть задана квадратная матрица А n^го порядка с элементами a_ij, где i определяет номер строки, j – номер столбца и при этом через х_j обозначены столбцы матрицы А, т.е. и .

Определителем (det A) квадратной матрицы А со столбцами х_j называется функционал (х₁, х₂,… , х_n) относительно столбцов этой матрицы который:

а) линеен по каждому аргументу (полилинеен):

(х₁, …, х_i1 + х_i2, … , х_n) = (х₁, … , х_i1, … , х_n) + (х₁, … , х_i2, … , х_n);

б) абсолютно антисимметричен (антисимметричен по любой паре аргументов): (х₁, … , х_i, … , х_j, … , х_n) = ­ – (х₁, … , х_j, … , х_i, … , х_n);

в) подчиняется условию нормировки: .

Тогда, учитывая общий вид полилинейного антисимметричного функционала, имеем:

, (1)

где N(j₁ j₂ … j_n) – количество беспорядков в перестановке .

Говорят, что в перестановке имеется беспорядок, если j_k > j_m и k < m.

Из формулы (1) для определителя второго порядка получаем .

О

а б

Рис. 1

пределитель третьего порядка равен сумме шести (3! = 6) слагаемых. Для их составления удобно использоватьправило треугольников. Произведение элементов, стоящих на главной диагонали а также произведения элементов, являющихся вершинами двух треугольников на рис. 1.а, берутся со множителем +1, а произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, а также произведения элементов, являющихся вершинами двух треугольников на рис. 1. б, берутся со множителем –1, т.е.

.

Свойства определителей:

1. det A = det A^T. Из этого свойства следует, что строки и столбцы определителя равноправны. В силу этого все свойства, сформулированные для столбцов, могут быть аналогично сформулированы и для строк определителя.

2. Если один из столбцов определителя равен нулю, то определитель равен нулю.

3. Общий множитель в столбце определителя можно выносить за знак определителя.

4. Если в определителе поменять два столбца местами, то определитель поменяет знак.

5. Определитель, имеющий два равных столбца, равен нулю.

6. Если столбцы определителя линейно зависимы, то определитель равен нулю.

7. .

8. Определитель не изменится, если к столбцу определителя добавить линейную комбинацию других столбцов.

9. Определитель произведения двух квадратных матриц n^го порядка равен произведению определителей этих матриц.

Def. Если у матрицы А порядка n вычеркнуть i строку и j столбец, то оставшиеся элементы образуют матрицу (n – 1)^го порядка. Ее определитель называется минором (n – 1)^го порядка, дополнительным к элементу a_ij матрицы А и обозначается М_ij, а величина А_ij = (–1) ^{i + j} М_ij называется алгебраическим дополнением к элементу a_ij матрицы А.

10. .(Раскрытие определителя по элементам j^го столбца и по элементам i^ой строки).

11. .

12. (Теорема Лапласа).

.

Здесь – минор составленный из элементов матрицы А, стоящих на пересечении строк i₁, i₂, … i_k и столбцов j₁, j₂, …j_k, а – алгебраическое дополнение к этому минору.

13. (О изменении элементов определителя).

Если , а , то .