Введение

Данные методические указания отражают многолетний опыт авторов по чтению лекций и ведению семинарских занятий по линейной алгебре на физико-техническом факультете Харьковского национального университета.

Трудно представить себе образование современного физика без знания и владения основными методами линейной алгебры. Линейной алгебре посвящена обширная литература, имеются прекрасно написанные учебники и задачники. Вместе с тем ощущается недостаток пособий, помогающих студентам выработать навыки решения задач по различным разделам линейной алгебры. Авторы данных указаний ставили перед собой цель в какой-то мере ликвидировать этот пробел.

Назначение указаний мы видим в том, чтобы активизировать самостоятельную работу студентов при изучении курса линейной алгебры, помочь активному и неформальному усвоению этого предмета.

Авторами задуман цикл методических указаний по различным разделам изучаемого курса «Высшая алгебра». Данные методические указания являются четвертой частью этого цикла и посвящены теме «Линейные операторы в линейных пространствах. Линейные и билинейные формы. Преобразования при изменении базиса».

Структура методических указаний подчинена решению, поставленных выше учебно-методических задач. Материал указаний разбит на четыре параграфа. В параграфе «Основные понятия и теоремы» приводятся без доказательства основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения задач. В параграфе «Контрольные вопросы и задания» содержатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение. Назначение параграфа – дать возможность студенту самому проконтролировать усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику или конспекту лекций. В параграфе «Примеры решения задач» представлены решение типичных задач по изучаемой теме. Назначение параграфа «Задачи и упражнения для самостоятельной работы» отражено в его названии. Из этого раздела подбираются задачи для решения на практических занятиях, для домашних заданий по заданному разделу.

Раздел 1 линейные операторы в линейных пространсТвАх

§1. Основные понятия и теоремы

Def: Закон по которому элементамxV₁однозначно ставится в соответствие элементуV₂, гдеV₁,V₂ линейные пространства над полемК, называется оператором изV₁ вV₂ (у=Ах).

Если V₁ =V₂ =V, то операторАназывается оператором заданным на линейном пространствеV.

Оператор А(у=Ах), заданный на линейном пространствеVназывается линейным, еслих,уV, выполняется:

1.А(х+у) =Ах+Ау(аддитивность);

2.А(х) =Ах(однородность).

Действия над линейными операторами.

Пусть АиВлинейные операторы наV.

1) А=ВхV Ах=Вх(равенство операторов);

2) С=А+ВСх= (А+В)х=Ах+Вх(сумма);

3) С=А Сх= (А)х=(Ах) (умножение на число);

Свойства 2), 3) определяют пространство линейных операторов, действующих из пространства V пространствоV(обозначаетсяL(V,V) ).

4) C=А^. ВСх= (АВ)х=А(Вх) (умножение);

5) (АВ)(х+у) =(АВ)х+(АВ)у– произведение линейных операто-

ров – линейный оператор;

6) (АВ) = (А)В; 7) А(ВС) = (АВ)С;

8) (А + В)С = А(В + С) = АВ + АС.