Введение

Данные методические указания отражают многолетний опыт авторов по чтению лекций и ведению семинарских занятий по линейной алгебре на физико-техническом факультете Харьковского национального университета.

Трудно представить себе образование современного физика без знания и владения основными методами линейной алгебры. Линейной алгебре посвящена обширная литература, имеются прекрасно написанные учебники и задачники. Вместе с тем ощущается недостаток пособий, помогающих студентам выработать навыки решения задач по различным разделам линейной алгебры. Авторы данных указаний ставили перед собой цель в какой-то мере ликвидировать этот пробел.

Назначение указаний мы видим в том, чтобы активизировать самостоятельную работу студентов при изучении курса линейной алгебры, помочь активному и неформальному усвоению этого предмета.

Авторами разработан цикл методических указаний по различным разделам изучаемого курса «Высшая алгебра». Данные методические указания являются пятой частью этого цикла и посвящены теме «Полуторалинейные и билинейные формы. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах».

Структура методических указаний подчинена решению поставленных выше учебно-методических задач. Материал каждого раздела указаний разбит на четыре параграфа. В параграфе «Основные понятия и теоремы» приводятся без доказательства основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения задач. В параграфе «Контрольные вопросы и задания» содержатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение. Назначение параграфа – дать возможность студенту самому проконтролировать усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику или конспекту лекций. В параграфе «Примеры решения задач» представлены решение типичных задач по изучаемой теме. Назначение параграфа «Задачи и упражнения для самостоятельной работы» отражено в его названии. Из этого параграфа подбираются задачи для решения на практических занятиях, для домашних заданий по заданному разделу.

Раздел 1

БИЛИНЕЙНЫЕ (ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ) И

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

§ 1. Основные определения и теоремы

Def. ПустьV – комплексное линейное пространство их,уV,,C=B(x,y)Cтакое, что

1. В(х + у, z) = B(x, z) + B(y, z);

2. В(х, у +  z) = B(x, y) + B(x, z).

Тогда говорят, что в комплексном линейном пространстве V задана полуторалинейная форма В(х, у).

ПримечаниеВ вещественном линейном пространстве полуторалинейная форма становится билинейной.

Пусть в V задан базис . Тогдах, уV

. Матрица В с матричными элементами b_ij = B(e_i, e_j) называется матрицей полуторалинейной формы и .

Примечание В вещественном пространстве .

Т. Для любой полуторалинейной формы в унитарном пространстве V существует единственный линейный оператор А₁ и единственный линейный оператор А₂ такие, что: В(х, у) = (А₁х, у); В(х, у) = (х, А₂у).

Оператор А₁ называется оператором, присоединенным к полуторалинейной форме.

Примечание Та же теорема справедлива и для билинейных форм в евклидовых пространствах.

В ортонормированном базисе унитарного пространства V матрица полуторалинейной формы совпадает с транспонированной матрицей присоединенного оператора А₁ и с комплексно сопряженной матрицей линейного оператора А₂ (для А₁: а_ij = b_ji, для А₂: а_ij = ). Здесь также следует отметить, что матрица линейного оператораА₂ является эрмитово сопряженной к матрице линейного оператора А₁.

Примечание В евклидовом пространстве: для А₁: а_ij = b_ji, для А₂: а_ij = b_ij.

Полуторалинейная форма называется эрмитовой, если

.

Примечание В евклидовом пространстве билинейная форма, для которой x,yV B(x,y)=B(y,x) называется симметричной.

Т. Для того чтобы полуторалинейная форма В(х,у) была эрмитовой необходимо и достаточно, чтобы оператор А, присоединенный к ней, был эрмитовым.

Если в полуторалинейной форме положить у = х, то получим частный случай полуторалинейной формы  квадратичную форму В(х, х).

Т. Для того чтобы В(х, у) была эрмитовой необходимо и достаточно, чтобы В(х, х) была вещественной хV.

Каждая эрмитова полуторалинейная форма порождает квадратичную форму и каждой квадратичной форме соответствует эрмитова полуторалинейная форма. При этом соответствующая полуторалинейная форма называется полярной к заданной квадратичной.

Т. Если В(х, у) – эрмитова форма в n-мерном унитарном пространстве V, то в V существует ортонормированный базис {e_k}и существуют вещественные числа_k такие, что в этом базисе: ,

.

Этот базис может быть найден как собственный базис присоединенного оператора А, а числа _k при этом – собственные значения того же оператора.

Т. Если А(х,у) и В(х,у) – эрмитовы формы в линейном пространстве V и форме В(х,у) соответствует положительно определенная квадратичная форма В(х,х), то в V существует базис {e_k}, в котором;.

Для нахождения этого базиса следует сначала найти _k из характеристического уравнения det(A – В) = 0, а затем для каждого _k найти х как ненулевое решение системы (A – _kВ)х = 0. Полученную систему векторов следует ортонормировать, принимая за скалярное произведение (х, у) = В(х, у).