§ 2. Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение беспорядка в данной перестановке чисел: 1, 2, 3, … , n. Чему равно число беспорядков в перестановке: ?

2. Сколько слагаемых содержит формула для вычисления определителя n^го порядка?

3. Известно, что А – матрица 44 и detA = 3. Чему равен det(5A)?

4. Дайте определение минора элемента a_ij и алгебраического дополнения элемента a_ij. Чем они отличаются?

5. Запишите формулы разложения определителя 5^го порядка по 3^му столбцу и по 2^ой строке.

6. Запишите формулы разложения определителя 4^го порядка по минорам, стоящим в 1^й и 2^й строках.

7. Устно вычислите определители: и .

§3. Примеры решения задач

Задача 1. Вычислить определитель: .

Решение. I способ. Вычислим определитель разложением по третьей (например) строке (свойство 10º):

.

Входящие сюда определители третьего порядка вычислены по правилу треугольников.

II способ. Вычислим определитель разложением по минорам 2^го порядка (например, стоящим в 1^й и 2^й строках исходного определителя, свойство 12º). Всего таких миноров будет шесть (1, 2 столбцы; 1, 3 столбцы; 1, 4 столбцы; 2, 3 столбцы; 2, 4 столбцы; 3, 4 столбцы). Получим:

.

III способ. Вычислим определитель методом приведения определителя к треугольному виду. Для этого воспользуемся свойством 8.

а) 1^ю строку прибавим к 3^й строке;

б) 1^ю строку, умноженную на (–2) прибавим к 4^й строке.

При этом определитель не изменится.

Далее: в) из 1^й строки вычтем 2^ю строку;

г) 2^ю строку, умноженную на 3, прибавим к 4^й строке, умноженной на 2. При этом определитель увеличится вдвое за счет умножения 4^й строки на 2

;

д) В последнем определителе 3^ю строку умножим на 2 и прибавим к 4^й строке. Определитель не изменится. Получим:

.

Определитель треугольного вида вычисляется как произведение диагональных элементов. Приходим к выводу, что исходный определитель равен –3.

Задача 2. Вычислить определитель: .

Решение. Для вычисления определителя воспользуемся методом выделения линейных множителей. Прежде всего, отметим, что исходный определитель является многочленом 4^й степени относительно х. Кроме того, при х=2 первая и вторая строки совпадают, т.е. определитель равен нулю. Следовательно, х = 2 является корнем многочлена. Далее замечаем, что при х = 6, х = 12, х = 20 первая строка совпадает с третьей, четвертой и пятой строкой соответственно. Значит, мы установили все четыре корня полинома, т.е.

detA = C(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Для нахождения C, заметим, что в определитель х⁴ входит с коэффициентом равным 1/24, а в многочлен, стоящий в правой части с коэффициентом равным 1. Тогда C = 1/24. Таким образом:

detA = (x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20.

Задача 3. Вычислить определитель: .

Решение. Ясно, что исходный определитель получится, если ко всем элементам определителя прибавить х = 4. Тогда воспользуемся методом изменения элементов определителя (свойство 13). Получаем:

.

Определитель диагонального вида равен произведению диагональных элементов (5! = 120). Алгебраические дополнения равны: А₁₁ = 5! = 120; А₂₂ = 3^.4^.5 = 60; А₃₃ = 2^.4^.5 = 40; А₄₄ = 2^.3^.5 = 30 и А₅₅ = 2^.3^.4 = 24. Все остальные А_ij = 0. Получаем:

detA = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4^.274 = 1216.

Задача 4. Вычислить определитель n^го порядка .

Решение. Раскроем определитель по 1^й строке:

, и последний определитель раскроем по 1^му столбцу. Получаем: _n = 5_{n – 1} – 4_{n – 2}. (*)

Записанное соотношение называется рекуррентным соотношением и позволяет выразить _n через такие же определители более низкого порядка. Из (*) получаем:

1. _n – _{n – 1} = 4(_{n – 1} – _{n – 2}) = 4²(_{n – 2} – _{n – 3}) = … = 4^{n – 2} (₂ – ₁) =

= 4^{n – 2} (21 – 5) = 4ⁿ .

2. _n – 4_{n – 1} = _{n– 1} – 4_{n – 2} = _{n– 2} – 4_{n – 3} = … = ₂ – 4₁ = 21 – 4^.5 = 1.

Имеем систему уравнений: . Вычитая из 1^го уравнения 2^е, получаем: 3_{n – 1} = 4ⁿ – 1. Таким образом: .