1.3. Фундаментальная система уравнений

Фундаментальная система уравнений (ФСУ) включает в себя уравнения непрерывности для электронного и дырочного потоков и уравнение Пуассона для электростатического потенциала. ФСУ лежит в основе всех программ математического моделирования полупроводниковых приборов. В рассматриваемых нами одномерных случаях

, ,,

где – скорость генерации,– скорость рекомбинации,– объемная плотность заряда,– относительная диэлектрическая проницаемость,Ф/см.

Знак минус для дырочного потока обусловлен тем, что при совпадении направлений тока и потока срабатывает хорошо известное из гидродинамики и диффузии условие непрерывности потока

,

где – концентрация частиц, а– плотность потока.

В трехмерном случае непрерывность потока электронов обеспечивается соотношением

Без учета генерационно-рекомбинационных процессов в стационарных условиях, например, для двумерного случая току разрешено только поворачивать, т. е. означает. В одномерном случае,и уравнения непрерывности упрощаются до диффузионно-дрейфовых уравнений, описывающих связь между пространственными распределениями потенциалов и концентраций при постоянной плотности тока. Например, для электронов

.

Даже в таком простом варианте постоянного тока имеем нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка для зависимостей иот координаты. В равновесиии

. (1.2)

Используя соотношение Эйнштейна, возвращаемся к стандартному больцмановскому распределению электронов в поле с потенциалом

, где при. В отсутствие тока изменение потенциала намВ вызывает почти трехкратное изменение концентрации электронов. Это прямое следствие нелинейности диффузионно-дрейфового уравнения, а именно, дрейфового сомножителя.

Уравнение Пуассона представляет собой уравнение непрерывности потока вектора электрической индукции

, где – объемная плотность заряда,,и– концентрации неподвижных носителей заряда, доноров и акцепторов соответственно. Если результирующая плотность объемного заряда равна нулю, то в одномерном случае напряженность поля сохраняется постоянной, а в двумерном – вектор напряженности поля может только разворачиваться. Постоянная положительная плотность объемного заряда вызывает линейный рост напряженности поля. Последнее соответствует хорошо известному из элементарной физики правилу, что вектор напряженности электрического поля начинается на положительном и оканчивается на отрицательном заряде. Рис. 3 иллюстрирует это положение.

а б

Рис. 3. Изменение потока вектора электрической индукции при прохождении слоев положительных (а) и отрицательных зарядов (б).

На рис. 3а показано, что поток вектора электрической индукции увеличивается на два вектора при прохождении двух положительных зарядов. На рис. 3б правом рисунке окончание векторов на отрицательных зарядах соответственно уменьшает поток при прохождении слоя отрицательного заряда.

Аналогия между потоками векторов электрической индукции и электронного потока имеет и важные практические последствия. Например, в условиях электронейтральности и из уравнения Пуассона. И точно также сохранение электрического токав условиях чисто дрейфового токаи постоянной проводимостидает то же самое уравнение Лапласа, решение которого целиком зависит от граничных условий.