3 Уровень сложности

1. Получить последовательность d_k,d_k-1,…,d₀десятичных цифр числа2²⁰⁰, т. е. такую целочисленную последовательность, в которой каждый член d_iудовлетворяет условию0≤d_i≤9 и, дополнительно, d_k*10^k+d_k-1*10^k-1+…+d₀= 2²⁰⁰.

2. Получить последовательность d_-1,d_-2,…,d_-kдесятичных цифр числа 2^-200, т. е. такую целочисленную последовательность, в которой каждый член d_iудовлетворяет условию0≤d_i≤9 и, дополнительно, d_-1*10^-1+d_-2*10^-2+…+d-_k*10^-k=2^-200.

3. Получить последовательность d_k, d_k-1,…,d₀десятичных цифр числа 100!, т. е. такую целочисленную последовательность, в которой каждый член d_iудовлетворяет условию0≤d_i≤9 и, дополнительно, d_k10^k+d_k-110^k-1+…+d₀= 100!

4. Дано натуральное количество n (n≥5). Получить все пятерки натуральных чисел x₁, x₂, x₃, x₄, x₅такие, что x₁≥x₂≥x₃≥x₄≥x₅и x₁+…+x₅= n.

5. Дано натуральное число m. Вставить между некоторыми цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, записанными именно в таком порядке, знаки +, - так, чтобы значением получившегося выражения было число m. Например, если m = 122, то подойдет следующая расстановка знаков: 12+34–5–6+78+9. Если требуемая расстановка знаков невозможна, то сообщить об этом.

6. Даны одновременно не равные 0 целые f и g. Найти НОД(|f|,|g|) и целые u, v такие, что fu+gv=НОД (|f|,|g|).

7. Даны целые k, l, m такие, что k и l одновременно не равны 0, а m делится на НОД(|f|,|g|). Найти какое-нибудь целочисленное решение уравнения kx+ly=m.

8. Показать, что если x₁, y₁и x₂, y₂– два целочисленных решения уравнения kx+ly=m, то x₁–x₂, y₁–y₂– целочисленное решение уравнения kx+ly=0. Вывести отсюда, что если ¯x,¯y – какое-нибудь целочисленное решение уравнения kx+ly=m, то все целочисленные решения этого уравнения описываются формуламиx=¯x + l’t,y=¯y – k’t, где k’ = k/НОД(k,l), l’ = l/НОД(k,l) (t=0, ±1, ±2,…).

9. Написать программу, которая позволяет проверить, обладает ли уравнение kx + ly = m решением в целых неотрицательных числах, и если обладает, то позволяет построить какое-то одно такое решение.

10. Даны натуральные взаимно простые числа n, p. Используя алгоритм (Даны одновременно не равные 0 целые f и g. Найти НОД(|f|,|g|) и целые u, v такие, что fu+gv = НОД (|f|,|g|).) найти натуральное m такое, что, во-первых, m < p и, во-вторых, nm при делении на p дает остаток 1.

11. Дано натуральное число k и одновременно не равные 0 целые числа n₁,…,n_k. Найти НОД(|n₁|,…,|n_k|) и целые u₁,…,u_kтакие, что u₁n₁+…+u_kn_k= НОД(|n₁|,…,|n_k|).

12. Даны натуральные числа a₁,…,a₁₀. Предположим, что имеется десять видов монет достоинством a₁,…,a₁₀. Обозначим через b_kчисло решений уравнения a₁x₁+…+a₁₀x₁₀= k, где x_iможет принимать целые неотрицательные значения. Получить b₀,…,b₂₀.

13. Дано натуральное число n. Как наименьшим количеством монет можно выплатить n копеек? Предполагается, что в достаточно большом количестве имеются монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20 и 50 коп.

14. Дано четное число n>2. Проверить для этого числа гипотезу Гольдбаха. Эта гипотеза (на сегодняшний день не опровергнутая и полностью не доказанная) заключается в том, что каждое четное n, большее двух, представляется в виде суммы двух простых чисел.

15. Известно, что любое натуральное число можно представить в виде суммы не более чем четырех квадратов натуральных чисел или, что то же самое, в виде суммы четырех квадратов неотрицательных целых чисел (теорема Лагранжа). Дано натуральное n. Указать такие неотрицательные целые числа x, y, z, t, что n = x+ y+ z+ t.

16. Дано число 14567 в 5-ричной системе счисления и число 10101 в двоичной системе счисления. Необходимо подсчитать сумму этих двух чисел. Сумму вывести в 9-ричной системе счисления.

17. Дано число 3214 в 8-ричной системе счисления и число 123 в 3-ичной системе счисления. Необходимо найти разность этих чисел. Результат разности вывести в 7-ричной системе счисления.

18. Получить последовательность d_k, d_k-1,…,d₀десятичных цифр числа:

100!+2¹⁰⁰;

100!–2¹⁰⁰, т. е. такую целочисленную последовательность, в которой каждый член d_iудовлетворяет условию0≤d_i≤9 и, дополнительно, d_k10^k+d_k-110^k-1+…+d₀равно 1000!+2¹⁰⁰или соответственно 100!–2¹⁰⁰.

19. Даны действительное число x, натуральное число q (0≤x<1,q≥2). Получить пять цифр q-ичного представления числа x, т. е. получить последовательность целых неотрицательных a_-1,…,а_-5такую, что x = a_-1q^-1+…+a_-5q^-5+r,0≤a_i≤q-1,r<q^-5.

20. Дано натуральное число p. Получить последовательность a₀,…,a_n, каждый член которой равен -1, 0 или 1, такую, что p = a_n3ⁿ+…+a₁3+a₀(a_n≠0).

21. Даны натуральное число n, целые числа a₀,…,a_nтакие, что каждое a_iравно нулю или единице и a_n≠0. Последовательность a₀,…,a_nзадает двоичное представление некоторого целого числаp=a_n2ⁿ+…+a₁2+a₀. Получить последовательность нулей и единиц, задающую двоичное представление:

числа p+1;

числа p–1;

числа 3p.

Ряды