Metodichka_sistemy_schislen

Факультет информационных технологий Кафедра информационных технологий в металлургии

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Новокузнецк

2011

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Кафедра информационных технологий в металлургии

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Методические рекомендации к выполнению практических работ

по дисциплине «Информатика»

Новокузнецк

2011

3

1 СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Система счисления – совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, позволяющих установить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде конечного числа символов.

Влюбой системе счисления выбирается алфавит, представляющий собой совокупность некоторых символов (слов или знаков), с помощью которого в результате каких-либо операций можно представить любое количество. Изображение любого количества называется числом, а символы алфавита – цифрами. Символы алфавита должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно.

Всовременном мире наиболее распространенной является десятичная система счисления, происхождение которой связано с пальцевым счетом. Она возникла в Индии и в XIII в. была перенесена в Европу арабами. Поэтому десятичную систему счисления стали называть арабской, а используемые для записи чисел цифры, которыми мы теперь пользуемся – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, – арабскими.

С давних времен для подсчетов и вычислений применялись различные системы счисления. Например, на Древнем Востоке довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки и т. д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году – двенадцать. Эта система счисления сохранилась в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймов) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсов).

ВДревнем Вавилоне существовала весьма сложная 60ричная система. Она, как и 12-ричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1ч = 60 мин, 1 мин = 60 с, аналогично в системе измерения

углов: 1 = 60 мин, 1 мин = 60 с).

Первые цифры (знаки для обозначения чисел) появились у египтян и вавилонян. У ряда народов (древние греки, сирийцы, финикияне) цифрами служили буквы алфавита. Аналогичная система до XVI в. применялась и в России. В Средние века в Европе пользовались системой римских цифр, которые и сейчас часто применяют для обозначения глав, частей, разделов в различного рода документах, книгах, для обозначения месяцев и т. д.

4

Все системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные.

1.1 НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Непозиционная система счисления – система, в которой символы, обозначающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от местоположения (позиции) в изображении числа.

Запись числа А в непозиционной системе счисления D можете быть представлена выражением:

Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какоголибо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. Например, запись числа 12 в такой системе счисления будет иметь вид: I I I I I I I I I I I I. Эта система неэффективна, так как форма записи очень громоздка.

К непозиционной системе счисления относится и римская, символы алфавита которой и обозначаемое ими количество представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Римская система счисления

Запись чисел в этой системе счисления осуществляется по следующим правилам:

1.Если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой (IV: 1<5, следовательно, 5-1=4, XL: 10 < 50, 50-10=40).

2.Если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти складываются (VI: 5+1=6, VIII: 5+1 + 1 + 1=8, XX: 10+10=20).

Так, число 1964 в римской системе счисления имеет вид: MСМLXIV (М – 1000, СМ – 900, LX – 60, IV – 4), здесь «девять-

5

сот» получается посредством вычитания из «тысячи» числа «сто», «шестьдесят» – посредством сложения «пятидесяти» а «десяти», «четыре» – посредством вычитания из «пяти» «единицы».

В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. В настоящее время все наиболее распространенные системы счисления относятся к разряду позиционных.

1.2 ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Систему счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа, называют

позиционной.

Упорядоченный набор символов (цифр) {a0, a1,..., aп}, используемые для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления, называют ее алфавитом, число символов (цифр) алфавита р=п+1 – ее основанием, а саму систему счисления называют р-ричной.

Основание позиционной системы счисления – количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Самой привычной для нас является десятичная система счис-

ления. Ее алфавит – {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, а основание р = 10, т.е. в

этой системе для записи любых чисел используется только десять разных символов (цифр). Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а все последующие числа, начиная с 10 и т.д., обозначаются уже без использования новых цифр. Десятичная система счисления основана на том, что 10 единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Следовательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10. Например, в изображении числа 222.22 цифра 2 повторяется 5 раз, при этом первая слева цифра 2 означает количество сотен (ее вес равен 102); вторая – количество десятков (ее вес равен 10), третья – количество единиц (ее вес равен 100), четвертая

– количество десятых долей единицы (ее вес равен 10-1) и пятая

6

цифра – количество сотых долей единицы (ее вес равен 10-2), т.е. число 222.22 может быть разложено по степеням числа 10:

222.22=2 102+2 101+2 100+2 10-1+2 10-2.

Аналогично:

725=7 102+2 101+5 100;

1304.5=1 103+3 102+0 101+4 100+5 10-1.

Таким образом, любое число А можно представить в виде полинома путем разложения его по степеням числа 10:

последовательность из коэффициентов которого представляет собой десятичную запись числа А10:

Точка, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации конкретных значений каждой позиции в этой последовательности цифр и является началом отсчета.

В общем случае для задания р-ричной системы счисления необходимо определить основание р и алфавит, состоящий из р различных символов (цифр) аi, i = 1,..., р.

За основание системы можно принять любое натуральное число – 2, 3, 4 и т.д. Обычно в качестве алфавита берутся последовательные целые числа от 0 до (р-1) включительно. Для записи произвольного числа в двоичной системе счисления используются цифры 0, 1, троичной – 0, 1, 2, пятеричной – 0, 1, 2, 3, 4 и т.д. В тех случаях, когда общепринятых (арабских) цифр не хватает для обозначения всех символов алфавита системы счисления с основанием р> 10, используют буквенное обозначение цифр а, b, с, d, e, f. В таблице 2 приведены алфавиты некоторых систем счисления.

Таким образом, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием р означает сокращенную запись выражения:

n

Ар=апрп+ап-1рп-1+…+а1р1+а0р0+а-1р-1+…+а-тр-т= ak p k , (4) k m

7

Изображением числа А в р-ричной системе счисления является последовательность цифр ak.

Например, десятичное число 35 в системах счисления с основанием р=12, 10, 8, 4, 3, 2 будет иметь вид:

Разряды 1 0

Число 2 В12=2 121+В 120

Разряды 1 0

Число 3 510=3 101+5 100

Разряды 1 0

Число 4 38=4 81+3 80

Разряды 2 1 0

Число 2 0 34=2 42+8 41+3 40

Разряды 3 2 1 0

Число 1 0 2 23=1 33+0 32+2 31+2 30

Разряды 5 4 3 2 1 0

Число 1 0 0 0 1 12=1 25+0 24+0 23+0 22+1 21+1 20

Из приведенных примеров видно, что с уменьшением основания системы счисления уменьшается число используемых цифр, но возрастает количество разрядов. Так, в двенадцатеричной, десятичной и восьмеричной системах для записи числа 35 требовалось

8