Metodichka_sistemy_schislen

два разряда, в четверичной – три разряда, а в двоичной – шесть разрядов.

Все известные позиционные системы счисления являются аддитивно-мультипликативными. Особенно отчетливо аддитивно-

мультипликативный способ образования чисел из базисных выражен в числительных русского языка, например пятьсот шестьдесят восемь (т.е. пять сотен плюс шесть десятков плюс восемь).

1.3 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛАМИ В ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном основании р системы счисления.

Отметим, что во всех позиционных системах счисления с любым основанием Р умножения на числа вида Рт, где т – целое число, сводится просто к перенесению запятой у множимого на т разрядов вправо или влево (в зависимости от знака т) так же, как и в десятичной системе.

Рассмотрим в качестве примера выполнение арифметических операций в троичной и пятеричной системах счисления, таблицы сложения и умножения для которых представлены соответственно на рисунке 1 и на рисунке 2.

а) б)

Рисунок 1 – Таблицы сложения (а) и умножения (б) в троичной системе счисления

Пример 1. Выполните действия в троичной системе счисле-

ния: а) 2113+1013; б) 2013-1223; в)1213 103.

9

Рисунок 2 – Таблицы сложения (а) и умножения (б) в пятеричной системе счисления

Пример 2. Выполните действия в пятеричной системе счис-

ления: а) 3245+1025; б) 4315-1225; в)1425 135.

Пример 3. Выполните действия в пятеричной системе счис-

ления: а) 3245+1025; б) 4315-1225; в)1425 135.

10

2 ПЕРЕВОД ЧИСЛА ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Рассмотрим задачу перевода числа из одной системы счисления в другую в общем случае. Пусть известна запись числа А в системе счисления с основанием р:

n

Ар=апрп+ап-1рп-1+…+а1р1+а0р0+а-1р-1+…+а-тр-т= ak p k , (5) k m

При этом можно ограничиться случаем положительных чисел, так как перевод любого числа сводится к переводу его модуля и приписыванию числу нужного знака.

При переводе чисел из р-ричной системы счисления в d- ричную (Ар Ad) нужно учитывать, средствами какой арифметики должен быть осуществлен перевод, т.е. в какой системе счисления (р-ричной или d-ричной) должны быть выполнены все необходимые для перевода действия.

Пусть перевод Ар Ad должен осуществляться средствами d-ричной арифметики. В этом случае перевод произвольного числа А, заданного в системе счисления с основанием р, в систему счисления с основанием d выполняется по правилу замещения, предусматривающему вычисление полинома (5) в новой системе счисления. Другими словами, для получения d-ричного изображения выражения (5) необходимо все цифры аi, и число р заменить d- ричными изображениями и выполнить арифметические операции в d-ричной системе счисления.

Правило замещения чаще всего используется для преобразования чисел из любой системы счисления в десятичную. Правило перевода для этого случая можно конкретизировать.

Перевод в десятичную систему числа А, записанного в р- ричной системе счисления в виде Ар=(апап-1…а0,а-1а-2…а-т)р сводит-

11

ся к вычислению значения многочлена A10=апрп+ап-1рп-1+…+ а0р0+ а-1р-1+ а-2р-2+…+а-тр-т средствами десятичной арифметики.

Пример 4:

Разряды 3 2 1 0 -1

Число 1 0 1 1 12 =1 23+1 21+1 20+1 2-1=11,510

Пример 5:

Разряды 2 1 0 -1

Число 2 7 6 58 =2 82+7 81+6 80+5 8-1=190,62510

Пример 6:

Разряды 2 1 0

Число 1 F 316 =1 162+15 161+3 160=49910

При переводе следует придерживаться правила сохранения точности изображения числа в разных системах, причем под точностью понимается значение единицы самого младшего (правого) разряда, используемого в записи числа в той или иной системе счисления.

Пусть перевод Ар Ad должен осуществляться средствами p-ричной арифметики. В этом случае для перевода любого числа используют правило деления – для перевода целой части числа и правило умножения – для перевода его дробной части.

Перевод целых чисел. Выражения (5) и (6) для целых чисел будут иметь следующий вид соответственно:

ло d, причем в левой части произведем деление, пользуясь правилами р-ричной арифметики (так как запись числа Ар в р-ричной си-

12

стеме счисления известна). Выделим в частном [Ар/d] целую и дробную части:

Таким образом, младший коэффициент b0 в разложении (8) определяется соотношением:

Тогда Ар1 будет целым числом и к нему можно применить ту же самую процедуру для определения следующего коэффициента

b1 и т.д.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока неполное частное не станет равным нолю:

Поскольку все операции выполняются в системе счисления с основанием р, то в этой же системе будут получены искомые коэффициенты bi поэтому их необходимо записать d-ричной цифрой. Правило деления чаще всего используется для преобразования целых чисел из десятичной в любую другую систему счисления

Таким образом, правило перевода целых чисел из р-ричной системы счисления в d -ричную средствами р-ричной арифметики может быть сформулировано в следующем виде.

13

Для перевода целого числа Ар из р-ричной системы счисления в систему счисления с основанием d необходимо Ар разделить с остатком («нацело») на число d, записанное в той же р-ричной си-

стеме. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на d и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нолю. Представлением числа Ар в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных d-ричной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Пример 7. Переведем число А10=47 в двоичную систему с использованием десятичной арифметики. Применяя формулы

(9) – (15) при d=2, имеем:

47:2=23(1);

23:2=11(1);

11:2=5(1);

5:2=2(1);

2:2=1(0); 1:2=0(1).

Поскольку числа ноль и единица в обеих системах счисления обозначаются одинаковыми цифрами 0 и 1, то в процессе деления сразу получим двоичные изображения искомых цифр: А2=101111.

Пример 8. Переведем число А10=75 в 16-ричную систему счисления с использованием десятичной арифметики. Применяя формулы (9) – (15) при d=16, имеем:

75:16=4(11); 4:16 = 0(4).

Первый остаток 1110 в 16-ричной системе счисления обозначается шестнадцатеричной цифрой B16 поэтому окончательно по-

лучим: А16= 4В.

Перевод правильных дробей. Выражения (5) и (6) для пра-

вильной дроби будут иметь следующий вид соответственно:

14

Для определения b-1, умножим обе части равенства (18) на число d, причем в левой части произведем умножение, пользуясь правилами р-ричной арифметики (так как запись числа Ар в р- ричной системе счисления известна). Выделим в произведении [Ар d] целую и дробную части:

Учитывая, что 0<bi<d, приравняем между собой полученные целые и дробные части равенства (20):

Тогда Ар1 будет правильной дробью и к нему можно применить ту же самую процедуру для определения следующего коэф-

фициента b-2 и т.д.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нолю:

или не будет достигнута требуемая точность представления числа. При переводе приближенных дробей из одной системы счис-

ления в другую необходимо придерживаться следующего правила. Если единица младшего разряда числа А, заданного в р-ричной системе счисления, есть р-k, то в его d-ричной записи следует сохранить j разрядов после запятой, где j удовлетворяет условию: d-j>р- k/2>d-(j+1), округляя последнюю оставляемую цифру обычным способом.

Поскольку все операции выполняются в системе счисления с основанием р, то в этой же системе будут получены искомые ко-

15

эффициенты bi, поэтому их необходимо записать d-ричной цифрой. Правило умножения чаще всего используется для преобразования правильных дробей из десятичной в любую другую систему счисления.

Таким образом, правило перевода правильных дробей из р- ричной системы счисления в d -ричную средствами р-ричной арифметики может быть сформулировано в следующем виде.

Для перевода правильной дроби Aр из р-ричной системы счисления в систему счисления с основанием d необходимо Ар умножить на d, записанное в той же р-ричной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на d и т.д. до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нолю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа Ар в d-ричной системе.

Представлением дробной части числа Ар в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных d-ричной цифрой. Если требуемая точность перевода числа Ар составляет j знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется d-(j+1)/2.

Пример 9. Переведем число А10=0.2 в двоичную систему счисления с использованием средств десятичной арифметики. Применение формул (20)-(22) приводит к такой последовательности действий:

0.2 2 = 0.4 = 0 + 0.4 b-1=0; 0.4 2 = 0.8 = 0 + 0.8 b-2=0; 0.8 2 = 1.6 = 1 + 0.6 b-3=1;

0.6 2 = 1.2 = 1 + 0.2 b-4=1 и т.д.

Если десятичная дробь А10=0.2 является точным числом, то в результате перевода в двоичную систему счисления получена периодическая дробь А2=0.(0011) (в скобках указан период дроби).

Пример 10. Переведем число А10=0.36 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления с использованием средств десятичной арифметики. Применив формулы (20) – (22), получим:

0.36 8 = 2.88 = 2 + 0.88 b-1=2; 0.88 8 = 7.08 = 7 + 0.08 b-2=7; 0.08 8 = 0.64 = 0 + 0.64 b-3=0 и т.д.

16

Таким образом, А8=0.270, при этом предельная абсолютная погрешность равна 8-4/2=2-13.

0.36 16 = 5.76 = 5 + 0.76 b-1=5;

0.76 16 = 12.16 = 12 + 0.16 b-2=12 и т.д.

Число 1210 в десятеричной системе счисления обозначается цифрой С16, поэтому окончательно получим А16=0.5С, при этом предельная абсолютная погрешность равна 16-3/2=2-13.

Особого внимания заслуживает случай перевода чисел из одной системы счисления в другую, когда основания данных систем пения р и d связаны равенством р=dК, где К – целое положительное число. В этом случае перевод из d-ричной в р-ричную систему счисления может быть осуществлен последующему правилу.

В исходной d-ричной записи числа разряды объединяются вправо и влево от точки в группы длины К (добавляя в случае необходимости левее старшей или правее младшей значащих цифр соответствующее количество нолей), и каждая такая группа записывается одной цифрой р-ричиой системы счисления. Для обратного перевода из р-ричной в d-ричную систему счисления каждая цифра числа, заданного в р-ричной системе счисления, заменяется ее d-ричным изображением. Например,

01 21 21 124 =199616

199616 = 0001 1001 1001 01102

01 22.11 023 = 18.429

5259 = 12 01 123

17

3 ДВОИЧНАЯ, ВОСЬМЕРИЧНАЯ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Примеры изображения чисел в данных системах счисления представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Соответствие чисел в различных системах счисления

Как было отмечено выше, в современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи используется в основном двоичная система счисления, что обусловлено рядом преимуществ данной системы счисления перед другими системами. Так, для ее реализации нужны технические устройства лишь с двумя устойчивыми состояниями, например материал намагничен или размагничен (магнитные ленты, диски), отверстие есть или отсутствует (перфолента и перфокарта). Этот метод обеспечивает более надежное и помехоустойчивое представление информации, дает

18