Metodichka_sistemy_schislen
.pdf
возможность применения аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации. Кроме того, арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются наиболее просто.
Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи больших чисел. Этот недостаток не имеет существенного значения для ЭВМ. Если же возникает необходимость кодировать информацию «вручную», например, при составлении программы на машинном языке, то используют восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в 3 (восьмеричная) и в 4 (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (числа 8 и 16 – соответственно 3-я и 4-я степени числа 2), а перевод их в двоичную систему счисления и обратно осуществляется гораздо проще в сравнении с десятичной системой счисления.
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему осуществляется путем замены каждой цифры эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр) соответственно.
Например:
537,18 = 101 011 111, 0012
5 3 7 1 1А3,F16 = 1 1010 0011, 11112
1 A 3 F
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной), и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.
Например:
10101001,101112 = 10 101 001, 101 1102=251,568
2 |
5 |
1 |
5 |
6 |
19
10101001,101112 = 1010 1001, 1011 10002=A9,B816
A 9 B 8
Правила выполнения арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, будут такими же, как и в десятичной системе, только надо пользоваться особыми для каждой системы таблицами сложения и умножения.
Рассмотрим примеры выполнения арифметических операций в данных системах счисления.
3.1. СЛОЖЕНИЕ В ДВОИЧНОЙ, ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
Таблицы сложения для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления представлены на рисунке 4.
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Пример 11. Сложить десятичные числа 15 и 6 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
Двоичная: 11112 +1102
1111 + 0110 10101
Восьмеричная: 178 +68
17
+ 6
25
Шестнадцатеричная: F16+616
F
+ 6
15 Ответ: 15+6=2110=101012=258=1516
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному
виду:
101012=24+ 22+ 20=16 + 4 + 1=21 258=2 81 + 5 80=16 + 5 = 21 1516=1 161 + 5 160=16 + 5=21
20
+ |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
10 |
а)
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
5 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
6 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
7 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
б)
+ |
0 1 2 3 4 5 6 7 |
8 9 A B C D E F |
||||||||||
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 9 A B C D E F |
|||
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 A B C D E F |
10 |
||
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A B C D E F 10 11 |
|||
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A B C D E F 10 11 12 |
||||
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A B C D E F 10 11 12 13 |
|||||
5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A B C D E F 10 11 12 13 14 |
||||||
6 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D E |
F |
10 11 12 13 14 15 |
||
7 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E F |
10 11 12 13 14 15 16 |
|||
8 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F 10 11 12 13 14 15 16 17 |
||||
9 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 |
|||||
A |
A |
B |
C |
D |
E |
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
||||||
B |
B |
C |
D |
E |
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A |
|||||||
C |
C |
D |
E |
F |
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B |
|||||||
D |
D |
E |
F |
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C |
||||||||
E |
E |
F |
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D |
|||||||||
F |
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E |
|||||||||||
в)
Рисунок 4 – Таблицы сложения для двоичной (а), восьмеричной (б) и шестнадцатеричной (в) систем счисления
Пример 12. Сложить десятичные числа 141,5 и 59,75 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
Двоичная: 10001101,12 +111011,112 10001101,1
+ 111011,11 11001001,01
Восьмеричная: 215,48 +73,68
21
215,4 + 73,6
311,2
Шестнадцатеричная: 8D,816+3B,C16
8D,8 + 3B,C
C 9,4
Ответ: 141,5+59,75=201,2510=11001001,012=311,28= C9,416
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному
виду:
11001001,012=27+26+23+20+2-2=201,25 311,28=3 82+1 81 + 1 80 + 2 8-1=201,25
C9,416=12 161 + 9 160 + 4 16-1 =201,25.
3.2. ВЫЧИТАНИЕ В ДВОИЧНОЙ, ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
Пример 13. Вычесть единицу из чисел 102, 108 и 1016. Двоичная: 102–12
10
-1
1
Восьмеричная: 108–18
10
-1
7
Шестнадцатиричная: 1016–116
10
- 1
F
Пример 14. Вычесть число 59,75 из числа 201,25.
Двоичная: 11001001,012 – 111011,112 11001001,0 1
- 00111011,1 1 10001101,10
Восьмеричная: 311,28 – 73,68
311,3 - 73,6
215,5
22
Шестнадцатеричная: C9,4 – 3B,C16
C9,4
-3B,C
8D,8
Ответ: 201,2510-59,7510=141,510=10001101,12=215,48= 8D,816
Проверка. Преобразуем полученные выражения к десятичному виду:
10001101,12=27+23+22+20+2-1=141,5 215,48=2 82+1 81 + 5 80 + 4 8-1=141,5 8D,816=8 161 + 13 160 + 8 16-1 =141,5.
3.3. УМНОЖЕНИЕ |
В |
ДВОИЧНОЙ, |
ВОСЬМЕРИЧНОЙ |
И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо брать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения (рисунок 5).
Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.
Пример 15. Перемножим числа 5 и 6. Двоичная: 1012 1102
101 х 110 1013 101
11110
Восьмеричная: 58 68
5
х6
36
Шестнадцатеричная: 516 616
Ответ: 5 6=3010=111102=368=1Е16
23
х |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
а)
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
10 |
12 |
14 |
16 |
3 |
0 |
3 |
6 |
11 |
14 |
17 |
22 |
25 |
4 |
0 |
4 |
10 |
14 |
20 |
24 |
30 |
34 |
5 |
0 |
5 |
12 |
17 |
24 |
31 |
36 |
43 |
6 |
0 |
6 |
14 |
22 |
30 |
36 |
44 |
52 |
7 |
0 |
7 |
16 |
25 |
34 |
43 |
52 |
61 |
б)
х |
0 1 2 3 4 |
5 |
6 7 8 9 A B C D E F |
|||||||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 4 |
5 |
6 7 8 9 A B C D E F |
||||||||||
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
A |
C |
E 10 12 14 16 |
18 1A 1C 1E |
|||||||
3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
C F |
12 |
15 |
18 |
1B 1E 21 |
24 27 |
2A 2D |
|||||
4 |
0 |
4 |
8 |
C |
10 14 |
18 |
1C |
20 24 |
28 |
2C |
30 34 |
38 |
3C |
|||
5 |
0 |
5 |
A |
F |
14 19 |
1E 23 |
28 2D |
32 37 |
3C 41 |
46 |
4B |
|||||
6 |
0 |
6 |
C 12 |
18 1E |
24 |
2A |
30 36 |
3C 42 |
48 |
4E 54 |
5A |
|||||
7 |
0 |
7 |
E 15 |
1C 23 2A 31 |
38 3F |
46 |
4D |
54 |
5B 62 |
69 |
||||||
8 |
0 |
8 |
10 18 |
20 28 |
30 |
38 |
40 48 |
50 58 |
60 68 |
70 |
78 |
|||||
9 |
0 |
9 |
12 1B |
24 2D |
36 |
3F |
48 51 5A 63 |
6C 75 |
7E 87 |
|||||||
A |
0 |
A 14 1E |
28 32 |
3C 46 |
50 5A |
64 6E 78 |
82 |
8C |
96 |
|||||||
B |
0 |
B 16 21 |
2C 37 |
42 |
4D |
58 63 6E 79 |
84 |
8F |
9A A5 |
|||||||
C |
0 |
C 18 24 |
30 3C |
48 |
54 |
60 6C |
78 84 |
90 |
9C A8 |
B4 |
||||||
D |
0 |
D 1A 27 |
34 41 |
4E 5B |
68 75 |
82 8F |
9C A9 B6 |
C3 |
||||||||
E |
0 |
E 1C 2A |
38 46 |
54 |
62 |
70 7E 8C 9A A8 B6 C4 |
D2 |
|||||||||
F |
0 |
F 1E 2D 3C 4B 5A 69 |
78 87 96 A5 B4 C3 D2 |
E1 |
||||||||||||
в)
Рисунок 5 – Таблицы умножения для двоичной (а), восьмеричной (б) и шестнадцатеричной (в) систем счисления
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102=24+23+22+21=30 368=3 81 + 6 80 =30 1Е16=1 161 + 14 160 =30.
24
Пример 16. Перемножим числа 115 и 51. Двоичная: 11100112 1100112
|
1110011 |
х |
110011 |
|
|
|
1110011 |
|
1110011 |
|
1110011 |
1110011
1011011101001
Восьмеричная: 1638 638
163
|
х |
63 |
|
|
|
|
|
|
|
531 |
|
1262 |
|
||
13351 |
|||
Шестнадцатеричная: 7316 3316
73
х |
33 |
|
|
|
|
|
159 |
|
|
159 |
|
|
16Е9 |
|
Ответ: 115 51=586510=10110111010012=133518=16Е916
Проверка. Преобразуем полученные произведения к деся-
тичному виду:
10110111010012=212+210+29+27+26+25+23+20=5865 133518=1 84 +3 83 + 3 82 + 5 81 + 1 80 =5865 16Е916=1 163 + 6 162 +14 161 + 9 160 =5865.
3.4. ДЕЛЕНИЕ В ДВОИЧНОЙ, ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
Деление в данных системах счисления, как и в любой другой позиционной системе счисления, производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, так как очередная цифра частного может быть только нолем или единицей.
25
Пример 17. Разделим число 5865 на число 115.
Двоичная: 10110111010012:11100112
10110111010 01 1110011 - 1110011 110011
10001000 - 1110011
10101100 - 1110011
1110011 - 1110011
0
Восьмеричная: 133518:1638
13331 163 - 163 63
531 - 531
0
Шестнадцатеричная: 16Е916 :7316
16Е9 73 -159 33
159 -159 0
Ответ: 5865 :115=5110=110012=638=3316
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному
виду:
1100112=25+24+21+20=51
638=6 81+3 80 =51 3316=3 161 + 3 160 =51.
Пример 18. Разделим число 35 на число 14. Двоичная: 1000112:11102
100011 |
11100 |
- 1110 |
10,1 |
1110 - 1110
0
26
Восьмеричная: 438:168
43 16 -34 2,4
70 -70
0
Шестнадцатеричная: 2316 :Е16
23 Е -1С 2,8
70 -70
0 Ответ: 35:14=2,510=10,12=2,48=2,816
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному
виду:
10,12=21+2-1=2,5 2,48=2 80+4 8-1 =2,5 2,816=2 160 + 8 16-1 =2,5.
27
4 ДВОИЧНО-ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Двоично-десятичная система счисления (ДДСС) широко используется в цифровых устройствах, когда основная часть операций связана не с обработкой и хранением вводимой информации, а с ее вводом и выводом на какие-либо индикаторы с десятичным представлением полученных результатов (микрокалькуляторы, кассовые аппараты и т. п.).
В двоично-десятичной системе десятичные цифры от 0 до 9 представляют 4-разрядными двоичными комбинациями от 0000 до 1001, т.е. двоичными эквивалентами десяти первых шестнадцатеричных цифр (см. таблицу 3). Преобразования из двоичнодесятичной системы в десятичную систему счисления (ДСС) (и обратные преобразования) не вызывают затруднений и выполняются путем прямой замены четырех двоичных цифр одной десятичной цифрой (или обратной замены). Например,
(0011 0111)2-10
(3 7)10
Две двоично-десятичные цифры составляют 1 байт. Таким образом, с помощью 1 байта можно представлять значения от 0 до 99, а не от 0 до 255, как при использовании 8-разрядного двоичного числа. Используя 1 байт для представления каждых двух десятичных цифр, можно формировать двоично-десятичные числа с любым требуемым числом десятичных разрядов.
Так, если число 1001 0101 0011 1000 рассматривать как двоичное, то его десятичный эквивалент (1001 0101 0011 1000)2=(38200)10 в несколько раз больше десятичного эквивалента двоично-десятичного числа
(1001 0101 0011 1000)2-10=(9538)10
Сложение двоично-десятичных чисел, имеющих один десятичный разряд, выполняется так же, как и сложение 4-разрядных двоичных чисел без знака, за исключением того, что при получении результата, превышающего 1001, необходимо производить коррекцию. Результат корректируется путем прибавления двоичного кода числа 6, т.е. кода 0110. Например:
28