Арифметика

вая наука — это прикладная арифмети­ ка, вторая — теоретическая.

Прикладная арифметика изучает числа, поскольку они представляют исчисляемые предметы, количество ко­ торых нужно сосчитать, как, например, подсчет тел, людей, лошадей, динаров, дирхамов37 и иных вещей, подлежащих счету. Эта наука служит людям в торго­ вых и гражданских сношениях.

Что касается теоретической арифме­ тики, то она исследует числа только в абсолютном отношении, потому что они абстрагируются в представлении от тел и всего того, что поддается пересчету. Она действует посредством чисел, абст­ рагированных от всего, что исчисляется в чувственно воспринимаемых вещах, и того, что свойственно всем, как чувст­ венно воспринимаемым, так и чувствен­ но не воспринимаемым предметам. И это то, что входит в совокупность наук.

(Стр. 76) Теоретическая арифметика изучает числа в абсолютном отношении; [например], все, что присуще их само­ стоятельным сущностям, без отношения одних к другим, как четное и нечетное числа; [или] все, что присуще им при отношении одних к другим, как равен­ ство и неравенство; она изучает также числа, являющиеся частью или частя­ ми какого-нибудь числа, или числами

удвоенными, или равными ему, или большими, чем его часть или части, пропорциональными или непропорцио­ нальными, тождественными или нетож­ дественными, соизмеримыми или несо­ измеримыми. Затем ею рассматривается то, что присуще числам при прибавле­ нии одних к другим и сложении их; или при вычитании одних из других и как бы отделении их; или при умноже­ нии числа на несколько единиц других чисел; или при делении числа на части несколькими единицами другого числа. Например, когда число возведено в ква­ драт или из него извлечен квадратный корень, или возведено в куб, или оста­ ется целым, или нецелым. Она изучает все это и все, что присуще им при отно­ шении одних к другим; объясняет, ка­ ким образом извлекаются числа из из­ вестных чисел и вообще как получается то, что может быть выведено из чисел.

(Стр. 77)

Геометрия

Что касается этой науки, то под ее именем известны два подраздела: при­ кладная геометрия и теоретическая гео­ метрия. Прикладная геометрия рассма­ тривает линии и поверхности, например, деревянного тела, если ею пользуется

плотник; или железного, если ее при­ меняет кузнец; или каменного — в слу­ чае каменщика; или участки земли и поля, когда она служит землемеру.

Подобно этому, каждый овладевший прикладной геометрией представляет себе линии и плоскости, а также квадра­ ты, окружности и треугольники какоголибо тела как предметы этого практиче­ ского искусства3 8 .

Теоретическая [геометрия] рассма­ тривает линии и плоскости тела только в абсолютном и общем смыслах таким образом, что это относится к поверхно­ сти всех тел. И [теоретик] представляет себе линии в общем, не взирая на то, что это за тело. Он представляет себе плоскость, куб, сферу или пирамиду в общем, не обращая внимания на то, в каком теле они рассматриваются. Он представляет себе геометрические тела в общем, не вникая в то, каковы они, ка­ кова их субстанция, и в чем она позна­ ется чувствами, а лишь обобщенно, пред­ ставляя себе геометрическое тело не как воплощенные дерево, камень или желе­ зо, а как геометрическое тело вообще.

(Стр. 78) Эта наука является состав­ ной частью всех наук. Она изучает ли­ нии, поверхности и геометрические тела в абсолютном смысле; в общем — их формы, размеры, равенство и неравен-

ство, виды их положений, порядок и вое то, что им присуще. Например, точки, углы и т. п. Она изучает пропорциональ­ ные и непропорциональные [величины], данные и не данные3 9 , соизмеримые и несоизмеримые, рациональные и ирра­ циональные, и виды их. Объясняет, ка­ ким способом делается то, что можно сделать, и каким способом извлекается то, что можно извлечь. Объясняет при­ чины всего этого и почему это так путем доказательств, дающих нам достоверное знание, в котором не допускается сом­ нения. Вот все, что рассматривает гео­ метрия.

Эта наука состоит из двух подразде­ лов. Один подраздел рассматривает ли­ нии и плоскости, а другой — геометри­ ческие тела.

Тот (подраздел, который изучает гео­ метрические тела, делится, в соответст­ вии с видами геометрических тел, на­ пример, на куб, пирамиду4 0 , шар, ци­ линдр, призму, конус и рассматривает все это двояким образом:

1) рассматривает каждое из них са­ мо по себе; например, рассматривает линии сами по себе, плоскости сами по себе, кубы сами по себе и конусы сами по себе;

2) рассматривает их и то, что к ним от­ носится, в отношениях одних к другим: