1)f R[a,b],

2)f C[a, b],

3)функция F дифференцируема на [a, b], за исключением конечного

числа точек xk, k = 1, k0 и F 0(x) = f(x) в точках x [a, b] \ {xk}k00 .

0

Функция f(x) = x sgn(sin x) кусочно непрерывна на отрезке [0, 4π] (имеет на нем четыре точки разрыва первого рода), следовательно, интегрируема на этом отрезке в силу теоремы 1.19. Разобьем отрезок [0, 4π] на четыре отрезка:

[0, 4π] = [0, π] [π, 2π] [2π, 3π] [3π, 4π].

Тогда

1.9Методы вычисления определенного интеграла

1.9.1Метод замены переменной

Теорема 1.24. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b],

афункция ϕ : [α, β] → [a, b] обладает следующими свойствами:

1)ϕ(α) = a, ϕ(β) = b;

2)ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α, β], тогда справедлив о равенство

29

которое называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем (теорема 1.11) и имеет первообразную F : [a, b] → R (следствие теоремы 1.22). Тогда по формуле Ньютона - Лейбница (1.26)

потому интегрируема на отрезке [α, β].

Так как функция F (x) дифференцируема на отрезке [a, b], а функ-

ция ϕ дифференцируема на [α, β] и ϕ : [α, β] → [a, b] , то суперпозиция

функций F ◦ ϕ (t) дифференцируема на [α, β] и

0

F ◦ ϕ (t) = F 0 ϕ(t) ϕ0(t) = f ϕ(t) ϕ0(t), t [α, β].

Следовательно, функция F ◦ϕ (t) является первообразной для функции(f ◦ϕ) ϕ0 (t) на отрезке [α, β]. Применяя к функции (f ◦ϕ)ϕ0 (t) формулу

Ньютона - Лейбница и, учитывая, что ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, получаем:

непрерывно дифференцируема на отрезке [0, π2 ] и ϕ(0) = 0, ϕ(π/2) = R. Следовательно, выполнены все условия теоремы 1.24, поэтому, полагая x = R sin t, получим, что dx = R cos t dt и

1.9.2 Метод интегрирования по частям

Теорема 1.25. Если функции u и v непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b], то справедлива формула интегрирования по частям

30

Из дифференцируемости функций u(x) и v(x) на отрезке [a, b] следует дифференцируемость произведения u(x)v(x) на [a, b] и

u(x)v(x) 0 = u0(x)v(x) + u(x)v0(x), x [a, b].

Так как функции u0(x)v(x), u(x)v0(x) и u(x)v(x) 0 — непрерывны, а, следовательно, интегрируемы на отрезке [a, b], то из последнего равенства получаем, что

дела последовательности, если ее можно рассматривать как последовательность интегральных сумм некоторой интегрируемой функции.

Пример 1.3. Найти предел последовательности

31