из второй теоремы Вейерштрасса (см. теорему 3.8 первой части курса) следует, что

pk, qk [xk−1, xk] : f(pk) = Mkf , f(qk) = mfk , k = 1, 2, · · · , n.

Из последнего неравенства, как и в теореме 1.10, получаем интегрируемость функция f(x) на отрезке [a, b].

Еще одна теорема, но об интегрируемости функций, имеющих конечное число точек разрыва, будет доказана после того, как будут рассмотрены основные свойства интегрируемых функций (см. теорему 1.19).

Замечание. Пример 1.1 показывает, что интегрируемая на отрезке функция не обязана быть непрерывной: функция Римана φ непрерывна во всех иррациональных точках и точке x = 0, имеет разрыв второго рода в каждой рациональной точке, но интегрируема на [0, 1].

1.5 Свойства определенного интеграла

1.5.1Свойства, связанные с операциями над функциями

Теорема 1.12. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то для любых действительных чисел α и β функция (αf + βg)(x) также интегрируема на отрезке [a, b] и справедливо равенство

Так как функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a, b], то положим

Пусть Sαf+βg(τ, ξ), Sf (τ, ξ), Sg(τ, ξ) — интегральные суммы для функций (αf + βg)(x), f(x) и g(x), составленные по заданному разбиению τ отрезка [a, b] и фиксированной выборке ξ. Имеет место равенство

Sαf+βg(τ, ξ) = αSf (τ, ξ) + βSg(τ, ξ).

Если диаметр разбиения τ стремится к нулю, то правая часть этого равенства, в силу интегрируемости функций f(x) и g(x) на отрезке [a, b],

16

имеет конечный предел, равный αI(f) + βI(g). А поэтому существует предел левой части, значением которого является число

αf(x) + βg(x) dx.

a

В силу единственности предела справедливо равенство (1.14).

Теорема 1.13. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b], то функция f · g также интегрируема на этом отрезке.

Из интегрируемости функций f и g на отрезке [a, b] следует, что эти функции ограничены на [a, b], то есть

Следовательно, |(f · g)(x)| = |f(x) · g(x)| ≤ M2, x [a, b], что означает ограниченность функции f · g на отрезке [a, b].

Так как функции f и g интегрируемы на [a, b], то по теореме 1.8

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : τ = {xk}nk=0, d(τ) < δ,

ственно.

Выберем разбиение τ = {xk}nk=0 отрезка [a, b] с диаметром d(τ) < δ. Пусть x и y — произвольные точки отрезка [xk−1, xk], тогда из равенства

f(x)g(x) − f(y)g(y) = f(x) g(x) − g(y) + g(y) f(x) − f(y)

согласно условию (1.15) получаем неравенство

|f(x)g(x) − f(y)g(y)| ≤ M |g(x) − g(y)| + |f(x) − f(y)| .

По теореме 1.8 функция f · g интегрируема на отрезке [a, b].

17

Теорема 1.14. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b] то функция |f| также интегрируема на нем.

Из интегрируемости функции f на отрезке [a, b], следует ее ограниченность на нем, а поэтому функция |f| ограничена на отрезке [a, b]. По свойству модуля действительного числа

Тогда из леммы 1.2 следует, что для любого разбиения τ = {xk}nk=0 отрезка [a, b] на каждом отрезке разбиения [xk−1, xk]

Из неравенств (1.16), учитывая интегрируемость функции f на отрезке [a, b], согласно теореме 1.8 получаем, что

Отсюда, по теореме 1.8 получаем интегрируемость функции |f| на отрезке [a, b].

Замечание. Утвержение, обратное теореме 1.14, неверно. Подтверждением является функция (аналог функции Дирихле из примера 1.2)

Она не интегрируема на отрезке [a, b], но |f(x)| = 1 на [a, b], а поэтому функция |f| интегрируема на отрезке [a, b].

1.5.2 Свойства, связанные с отрезками интегрирования

До сих пор рассматривался интеграл Римана на отрезке [a, b] в предположении, что a < b. Расширим определение интеграл Римана и на те ситуации, когда последнее неравенство не имеет места.

Определение 1.5. Когда функция f : [a, b] → R интегрируема на отрезке [a, b], по определению полагаем, что

Когда функция f(x) определена в точке a, по определению полагаем,

что

Za

a

18

Теорема 1.15. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она интегрируема на любом отрезке [c, d] [a, b].

В силу интегрируемости функции f(x) на отрезке [a, b] из теоремы 1.8 следует, что

Здесь, как и раньше, ωkf — колебание функции f на отрезке [xk−1, xk]. Зафиксируем произвольное разбиение τ = {xk}nk=0 с d(τ) < δ такое, что xk0 = c, xk0+m = d, 0 ≤ k0 ≤ n − 1, 1 ≤ m ≤ n − k0. Тогда система точек

τ0 = {xk}k0+m является разбиением отрезка [c, d], и выполняется условие

k=k0

Следовательно, ε > 0 τ0 N[c, d] : Sf (τ0) − sf (τ0) < ε, и по условию 5) теоремы 1.9 функция f(x) интегрируема на отрезке [c, d].

Интегралы в правой части равенства (1.19) существуют по теореме 1.15. Выберем произвольное разбиение τ = {xk}nk=0 N[a, b] такое, что c

является точкой деления, то есть c = xk0 , 1 ≤ k0 < n. Тогда τ0 = {xk}kk0=0 и τ00 = {xk}nk=k0 являются разбиениями отрезков [a, c] и [c, b] соответствен-

но. Пусть ξ = (ξ1, ξ2, · · · , ξn) — произвольная выборка для разбиения τ, тогда ξ0 = (ξ1, · · · , ξk0 ), ξ00 = (ξk0+1, · · · , ξn) являются выборками для разбиений τ0 и τ00, соответственно, и для интегральных сумм справедливо

равенство

d(τ) → 0,. В силу существования интегралов, существуют пределы соответствующих интегральных сумм Sf (τ, ξ), Sf (τ0, ξ0), Sf (τ00, ξ00) при d(τ) → 0 и справедливо равенство (1.19).

Теорема 1.17. Если a < c < b (a, b R) и функция f(x) интегрируема на отрезках [a, c] и [c, b], то f(x) интегрируема на отрезке

[a, b].

19