Последняя квадратичная форма отрицательна в R\{0}, потому функция f имеет в точке M0 локальный условный максимум и f(M0) = 2.

2.20 Задания для самостоятельной работы

1.Для евклидовой метрики ρ(x, y) в Rn доказать следующие утверждения:

(a)ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y), x, y, z Rn;

(b)ρ(λx, λy) = |λ|ρ(x, y), x, y Rn, λ R;

(c)ρ(λx, µx) = |λ − µ|ρ(x, 0), x R, λ, µ R;

(d)ρ(x + a, y + b) ≤ ρ(x, y) + ρ(a, b), x, y, a, b Rn.

2.Доказать, что, наряду с евклидовой метрикой ρ(x, y), метрику в n- мерном координатном пространстве можно ввести следующими формулами:

при этом выполняются неравенства

ρ00(x, y) ≤ ρ0(x, y) ≤ n ρ00(x, y) и ρ00(x, y) ≤ ρ(x, y) ≤ √n ρ00(x, y) .

3.Доказать, что A ×B — открытое множество в Rnx,y+m, если множества A Rnx и B Rmy являются открытыми множествами.

4.Доказать, что множество {a} × (c, d), где a, b, c R и c < d, не является открытым и не является замкнутым в R2.

5.Доказать, что граница любого подмножества в Rn является замкнутым множеством.

6.Доказать, что фундаментальность последовательности {Mk}∞k=1, в которой Mk Rn, k N, эквивалентна фундаментальности всех её координатных последовательностей в R1.

7.Доказать, что объединение двух линейно связных в Rn множеств, имеющих общую точку, является линейно связным множеством.

8.Пусть f : G R2x,y → R, причём функция f раздельно непрерывна на G и монотонна по y при каждом фиксированном x. Доказать, что функция f непрерывна на G.

9.Доказать, что образ компакта G Rn при непрерывном отображении есть компакт в R1.

140

10.Пусть функция f : G R2x,y → R равномерно непрерывна на открытом ограниченном множестве G, M0— предельная точка G, M0 / G.

Доказать, что lim f(x, y) R.

(x,y)→M0

11.Пусть функция f : G R2x,y → R непрерывна по переменной x и удовлетворяет условию Липшица по переменной y в некоторой

области G, то есть L > 0 : |f(x, y1) − f(x, y2)| ≤ L|y1 − y2|, где (x, y1), (x, y2) G. Доказать, что f непрерывна на G.

12.Пусть функция f(x, y) непрерывна по переменной x и равномерно непрерывна по y в некотором открытом множестве G. Доказать, что f непрерывна на G.

13.Доказать, что образ линейно связного в Rn множества X при непрерывном отображении f : X Rn → Rm является линейно связным в Rm множеством.

14.Пусть функция f(x, y) непрерывна по переменной x при каждом фиксированном y и имеет ограниченную частную производную ∂f∂y в области G. Доказать, что функция f непрерывна на G.

∂f

15. Пусть функция f : R2x,y → R имеет на R2 частные производные ∂x и ∂f∂y . Доказать, что если ∂f∂x(x, y) = ∂f∂y (x, y) = 0, для всех (x, y) R2, то функция f является постоянной.

16. Пусть G — выпуклое множество в Rn, то есть вместе с любыми точками x и y из G оно содержит и прямолинейный отрезок, соеди-

няющий эти точки. Доказать, что если функция f : G → R имеет в

∂f , k = 1, . . . , n, то f равно- ∂xk

17.Доказать, что если функция f : G Rnx → R непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности Ua(δ0) точки a, то

X

n ∂f

x Ua(δ0) \ {a} θx [a, x] : f(x) = f(x0) + k=1 ∂xk (θx)(xk − ak).

18.Может ли непрерывно дифференцируемая функция f(x, y) иметь бесконечное множество строгих локальных максимумов и ни одного минимума? Ответ подтвердить примером.

19.Верно ли утверждение: если непрерывно дифференцируемая на R2 функция f(x, y) имеет только одну стационарную точку (x0, y0), в

141

которой она имеет локальный минимум, то для всех (x, y) R2 справедливо неравенство f(x, y) ≥ f(x0, y0) ?

20.Пусть функция f(x, y) дважды непрерывно дифференцируема в неко-

торой окрестности UM0 (δ0) точки M0, f(M0) = 0 и dfM0 (dx, dy) = 0 в R2. Доказать, что если M > 0: (x, y) UM0 (δ0) \ {M0}

|fx002 (x, y)| ≤ M, |fxy00 (x, y)| ≤ M, |fy002 (x, y)| ≤ M,

∂f

ществует ∂x(x0, y0) = c.

22.Пусть функция f : G R2x,y → R удовлетворяет в некоторой окрестности U(0,0) точки (0, 0) условию |f(x, y)| ≤ x2 + y2. Доказать, что функция f дифференцируема в точке (0, 0).

23.Пусть функция F : G R2x,y → R дважды непрерывно дифференцируема на открытом множестве G, F (M0) = 0 и Fy0(M0) 6= 0. Доказать, что в некоторой окрестности точки M0 уравнение F (x, y) = 0 определяет дважды непрерывно дифференцируемую неявную функцию y = f(x) и

142