Докажем, что функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Зафик-

сируем произвольное число ε > 0. Так как f R[a,c] и f R[c,b], то, согласно условию 5) теоремы 1.9 5), существуют разбиения

τ = τ0 τ00 = {xk}nk=0+m — разбиение отрезка [a, b] и, если ωkf — колебание функции f на отрезке [xk−1, xk], k = 1, 2, . . . , n + m, то

Из условия 5) теоремы 1.9 следует, что функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b].

Cледствие. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и

Пусть c1 < c2 < c3. Тогда равенство (1.20) справедливо в силу теорем 1.15 и 1.16. Докажем, что формула (1.20) справедлива и для случая, когда

1.5.3 Свойства, связанные с неравенствами

Теорема 1.18. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b] (a < b) и f(x) ≤ g(x), x [a, b], то

Zb Zb

f(x) dx ≤ g(x) dx.

20

ции, интегрируемой на отрезке [a, b], для любого числа ε > 0 существует

число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех τ = {xk}nk=0 N[a, b] с диаметром d(τ) < δ и для любой выборки ξ выполняются неравенства

Откуда, в силу произвольности ε > 0, получаем, что I(f) ≤ I(g).

Cледствие 1. Если функция g интегрируема на отрезке [a, b] и

Zb

g(x) ≥ 0, x [a, b], то g(x) dx ≥ 0.

a

Cледствие 2. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], и числа m и M таковы, что m ≤ f(x) ≤ M для всех x [a, b], тогда справедливы неравенства

Zb

m(b − a) ≤ f(x) dx ≤ M(b − a).

a

Cледствие 3. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b] то справедливо неравенство

Так как функция f(x) интегрируема на [a, b], то по теореме 1.14 функция |f(x)| также интегрируема на [a, b]. По свойству функции модуля действительного числа

−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|, x [a, b],

откуда по теореме 1.18 получаем

Zb

Так как |f(x)| ≥ 0, x [a, b], то |f(x)| dx ≥ 0. Следовательно,

21