что семейство {Uxk (δxk /2), k = 1, . . . , m} является конечным подпокрытием G. Положим δ = min{δx1 , δx2 , . . . , δxm} (очевидно, δ > 0). Зафиксируем любые две точки x0, x00 G, ρ(x0, x00) < δ/2. По определению покрытия

существует 1 ≤ k ≤ m такое, что x0 Uxk (δxk /2). Тогда ρ(x0, xk) < δxk /2

и

ρ(x00, xk) ≤ ρ(x00, x0) + ρ(x0, xk) < δ/2 + δxk /2 ≤ δxk /2 + δxk /2 = δxk .

Поэтому |f(x0) − f(xk)| < ε/2 и |f(x00) − f(xk)| < ε/2. Следовательно,

|f(x0) − f(x00)| ≤ |f(x0) − f(xk)| + |f(x00) − f(xk)| < ε,

что означает равномерную непрерывность функции f на G. Приведем определение точки разрыва функции.

Определение 2.36. Пусть функция f определена в окрестности точки x0 Rn, кроме быть может самой точки x0. Точку x0 называют точкой разрыва функции f, если либо f не определена в точке x0, либо определена в ней, но не является непрерывной.

Последнее возможно, если либо не существует lim f(x), либо этот

x→x0

предел существует, но не равен значению функции в точке x0.

2.6 Отображения из Rn в Rp

Перенося на функции многих переменных результаты, доказанные для функции одной переменной, мы пока не рассмотрели две очень важные теоремы: теорему о промежуточном значении и теорему о непрерывности суперпозиции. Чтобы провести эти обобщения наиболее естественным образом, введем новые понятия, полезные во многих приложениях математического анализа.

Определение 2.37. Пусть X Rnx и на X определены функции многих переменных fj, j = 1, 2, . . . , p (p ≥ 2). Закон, который каждой точке x X ставит в соответствие точку y = (f1(x), . . . , fp(x)), называют вектор-функцией или отображением из Rn в Rp.

Вектор-функцию обычно обозначают или f : X Rn → Rp, где f = (f1, . . . , fp), или y = f(x), или y = (f1(x), . . . , fp(x)). Учитывая, что y — точка Rp, можно сказать, что последнее равенство равносильно следующим

y1 = f1(x1, x2, . . . , xn), . . . , yp = fp(x1, . . . , xn).

Очевидно, что при p = 1 мы имеем дело с функцией многих переменных. Если n = 1, а p ≥ 2, то соответствующее отображение f из R в Rp

66

называют вектор-функцией скалярного аргумента. Для отображения f : X Rnx → Rp, всегда можно определить функцию fj = πj ◦ f, которая каждому элементу x из X ставит в соответствие j-координату точки f(x). Функцию fj, j = 1, . . . , p, называют j-той координатной функцией отображения f. Очевидно, что отображение f задано тогда и только тогда, когда задано p координатных функций.

Определение 2.38. Пусть f : X Rn → Rp, f = (f1, . . . , fp), a X.

Будем говорить, что отображение f непрерывно в точке a, если каждая его координатная функция fj, j = 1, . . . , p, непрерывна в точке a. Аналогично, будем говорить, что отображение f непрерывно на множестве X, если каждая его координатная функция непрерывна на множестве X.

Определение непрерывности отображения можно дать как в терминах "ε − δ,", так и терминах последовательностей и окрестностей.

Примером отображения из R2 в R2 может служить хорошо известное преобразование полярной системы координат в декартову систему координат, которое обозначается через pd(ρ, ϕ) и действует по правилу:

Определение 2.39. Пусть f : X Rnx → R, ϕ : T Rpt → X Rn,

причем ϕ(T ) X. Функцию F = f◦ϕ : T Rpt −→ R, ставящую в соответствие каждой точке t из T число

F (t) = f◦(ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn)(t) = f(ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t))

называют суперпозицией функций многих переменных.

Теорема 2.20 (о непрерывности суперпозиции функции многих переменных). Пусть заданы функция f : X Rnx → R и отображение ϕ : T Rpt → X. Если отображение ϕ непрерывно в точке t0 T, а функция f непрерывна в точке x0 = ϕ(t0), то функция F = f◦ ϕ непрерывна в точке t0.

Воспользуемся определением 2.30 и теоремой 2.13. Зафиксируем по-

следовательность {tk} точек множества T такую, что lim tk = t0. Рас-

k→+∞

смотрим числовую последовательность {F (tk)} = {f(ϕ(tk))} . Так как отображение ϕ непрерывно в точке t0, то его координатные функции

ϕj непрерывны в точке t0, поэтому lim ϕj(tk) = ϕj(t0), j = 1, . . . , p.

k→+∞

Поскольку ϕ(tk) = (ϕ1(tk), . . . , ϕp(tk)), то последовательность {ϕ(tk)} покоординатно сходится в Rp к точке

ϕ(t0) = (ϕ1(t0), . . . , ϕp(t0)) = x0.

67

Учитывая непрерывность функции f в точке x0, получим, что

lim F (tk) = lim f(ϕ(tk)) = f(x0) = f(ϕ(t0)) = F (t0).

k→+∞ k→+∞

Поскольку tk — произвольная последовательность, обладающая свойствами: tk T, tk → t0, то функция F непрерывна в точке t0.

Одним из важных типов отображений являются вектор-функции скалярного аргумента, которые отображают отрезок R в Rn.

Определение 2.40. Непрерывное отображение ϕ : [α, β] → Rn называется кривой (непрерывной кривой, непрерывным контуром) в Rn. Множество точек

L = {x Rn : x = (ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t)) , t [α, β]}

называется линией (непрерывной линией) в Rn или носителем кривой в Rn. При этом точка A = ϕ(α) называется началом кривой (или линии L), а точка B = ϕ(β) — концом кривой (линии).

Определение 2.41. Пусть G Rn, A, B G. Будем говорить, что точки A и B можно соединить непрерывной кривой (или линией) в G, если существует непрерывное отображение ϕ : [α, β] → G такое, что ϕ(α) = A, ϕ(β) = B.

Примером непрерывной кривой в Rn, соединяющей в Rn точки

x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn),

является линейное отображение ξ : [0, 1] −→ Rn, координатные функции которого определяются правилами:

ξ1(t) = (1 − t)x1 + ty1, . . . , ξn(t) = (1 − t)xn + tyn, t [0, 1].

Пользуясь операциями сложения и умножения на число в Rn, точку ξ(t) из Rn можем представить в виде ξ(t) = (1−t)x+ty, t [0, 1]. Множество точек {z = (1 − t)x + ty Rn | t [0, 1]} (или соответствующую кривую) называют прямолинейным отрезком (или сегментом) в Rn, соединяющим точки x и y, и обозначают [x, y].

Определение 2.42. Множество G из Rn называется линейно связным, если любые две точки множества G можно соединить непрерывной кривой в G.

Определение 2.43. Открытое линейно связное множество в Rn называется областью.

Определение 2.44. Множество G из Rn называется выпуклым, если любые две точки множества G можно соединить в G прямолинейным отрезком.

68

Очевидно, что открытое выпуклое множество является областью (выпуклой областью).

Лемма 2.7. Шар S0(ε) является выпуклой областью в Rn.

Открытость шара доказывается в примере 2.1. Докажем его выпуклость и, одновременно, связность. Зафиксируем произвольные две точки x и y из S0(ε). Рассмотрим отрезок L, соединяющий точки x, y в Rn:

L = {ξ(t) = (1 − t)x + ty : t [0, 1]} .

Оценим сверху ρ(ξ(t), 0), t [0, 1]. В силу свойств расстояния ρ(x, y), учитывая, что ρ(x, 0) < ε, ρ(y, 0) < ε, получим для всех t из отрезка

[0, 1]:

ρ(ξ(t), 0) = ρ((1 − t)x + ty, 0) ≤ ρ((1 − t)x, 0) + ρ(ty, 0) =

= (1 − t)ρ(x, 0) + tρ(y, 0) < (1 − t)ε + tε = ε.

Последнее означает, что все точки отрезка L лежат в шаре S0(ε), а поэтому S0(ε) — связное в Rn множество.

Теорема 2.21 (Больцано–Коши о промежуточном значении).

Пусть функция многих переменных f непрерывна на линейно связном множестве G пространства Rn и принимает в двух его точках A и B различные значения (f(A) 6= f(B)) . Тогда для любого числа C, лежащего между f(A) и f(B), на любой непрерывной линии L, соединяющей точки A и B в G, найдется точка cL такая, что f(cL) = C.

Пусть L — некоторая непрерывная линия, соединяющая точки A и B в G, а ϕ : [α, β] → L G — соответствующая ей непрерывная кривая. Тогда ϕ C([α, β]), ϕ(α) = A, ϕ(β) = B. Пусть F = f ◦ ϕ. По теореме о непрерывности суперпозиции, функция F непрерывна на [α, β], при этом

F (α) = f(ϕ(α)) = f(A), F (β) = f(ϕ(β)) = f(B).

Применяя к F теорему о промежуточном значении функции одной переменной, получим, что для любого числа C, заключенного между F (α) и F (β), найдется такая точка γ (α, β), что F (γ) = C. Но F (γ) = f(ϕ(γ)), и потому в точке ϕ(γ) = cL L функция f принимает значение C.

2.7 Принцип сжимающих отображений

Определение 2.45. Пусть X — замкнутое подмножество в Rn и f : X → X, причем существует число α (0, 1) тaкое, что для любых x и y из X ρ(f(x), f(y)) ≤ αρ(x, y). Тогда отображение f называется сжимающим.

69