Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Lecture-matAn2.pdf
Скачиваний:
179
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
1.04 Mб
Скачать

1.4 Классы интегрируемых функций

Как было показано выше, существуют функции, как интегрируемые по Риману на отрезке [a, b], так и неинтегрируемые на нем. Естественно возникает вопрос об выделении классов функций, интегрируемых по Риману.

Теорема 1.10 (об интегрируемости монотонной функции). Если функция f : [a, b] → R монотонна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.

Положим для определенности, что функция f(x) не убывает на отрезке [a, b]. Тогда

f(a) ≤ f(x) ≤ f(b), x [a, b],

и значит функция f(x) ограничена на отрезке [a, b].

Ранее было показано, что функция, являющаяся постоянной на отрезке [a, b], интегрируема на этом отрезке. Поэтому будем считать, что f(x) отлична от постоянной на [a, b], и потому f(a) < f(b). Выберем про-

извольное ε >

и произвольное разбиение τ

=

{

x

n

отрезка

[

a, b

]

с

 

 

ε 0

 

 

 

 

 

k}k=0

 

 

 

 

d(τ) <

 

 

. Так как функция f не убывает на каждом отрезке

f(b) − f(a)

разбиения [xk−1, xk], то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mkf = f(xk), mkf = f(xk−1), k = 1, 2, . . . , n.

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

xk <

 

 

Sf (τ) − sf (τ) = k=1(Mkf − mkf )Δxk = k=1 f(xk) − f(xk−1)

 

 

 

 

 

 

 

X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

ε

· f(xn) − f(x0) =

ε

· f(b) − f(a) = ε.

 

 

f(b) f(a)

f(b) f(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И в силу произвольности ε > 0 по критерию Дарбу 1.8 функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b].

Теорема 1.11 (об интегрируемости непрерывной функции). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то по теореме Кантора (см. теорему 3.18 первой части курса) она равномерно непрерывна на этом отрезке, то есть,

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : |f(x0) −f(x00)| < b −ε a, x0, x00 [a, b] : |x0 −x00| < δ.

Пусть τ = {xk}nk=0 — разбиение отрезка [a, b] с диаметром d(τ) < δ. В силу непрерывности функции f(x) на каждом отрезке разбиения [xk−1, xk]

15

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]