- •Определенный интеграл
- •Определение интеграла Римана
- •Суммы Дарбу и их свойства
- •Классы интегрируемых функций
- •Свойства определенного интеграла
- •Свойства, связанные с операциями над функциями
- •Свойства, связанные с отрезками интегрирования
- •Свойства, связанные с неравенствами
- •Интегрируемость кусочно непрерывной функции
- •Первая интегральная теорема о среднем
- •Свойства интеграла с переменным верхним пределом
- •Методы вычисления определенного интеграла
- •Метод замены переменной
- •Метод интегрирования по частям
- •Вторая интегральная теорема о среднем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функции многих переменных
- •Пространство Rn и его подмножества
- •Сходящиеся последовательности в Rn
- •Компактные множества в Rn
- •Функции многих вещественных переменных и их предел
- •Непрерывность функции многих переменных
- •Отображения из Rn в Rp
- •Принцип сжимающих отображений
- •Частные производные и дифференциал
- •Дифференцируемость отображения и суперпозиции
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производная по направлению, градиент
- •Частные производные и дифференциалы старших порядков
- •Дифференциалы старших порядков суперпозиции
- •Формула Тейлора для функций многих переменных
- •Локальный экстремум функции многих переменных
- •Функциональная зависимость
- •Условный экстремум функции многих переменных
- •Задания для самостоятельной работы
- •Литература
1.4 Классы интегрируемых функций
Как было показано выше, существуют функции, как интегрируемые по Риману на отрезке [a, b], так и неинтегрируемые на нем. Естественно возникает вопрос об выделении классов функций, интегрируемых по Риману.
Теорема 1.10 (об интегрируемости монотонной функции). Если функция f : [a, b] → R монотонна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.
Положим для определенности, что функция f(x) не убывает на отрезке [a, b]. Тогда
f(a) ≤ f(x) ≤ f(b), x [a, b],
и значит функция f(x) ограничена на отрезке [a, b].
Ранее было показано, что функция, являющаяся постоянной на отрезке [a, b], интегрируема на этом отрезке. Поэтому будем считать, что f(x) отлична от постоянной на [a, b], и потому f(a) < f(b). Выберем про-
извольное ε > |
и произвольное разбиение τ |
= |
{ |
x |
n |
отрезка |
[ |
a, b |
] |
с |
||||||
|
|
ε 0 |
|
|
|
|
|
k}k=0 |
|
|
|
|
||||
d(τ) < |
|
|
. Так как функция f не убывает на каждом отрезке |
|||||||||||||
f(b) − f(a) |
||||||||||||||||
разбиения [xk−1, xk], то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Mkf = f(xk), mkf = f(xk−1), k = 1, 2, . . . , n. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
xk < |
|
|
||
Sf (τ) − sf (τ) = k=1(Mkf − mkf )Δxk = k=1 f(xk) − f(xk−1) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
ε |
· f(xn) − f(x0) = |
ε |
· f(b) − f(a) = ε. |
|
|
||||||||||
f(b) f(a) |
f(b) f(a) |
|
|
|||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И в силу произвольности ε > 0 по критерию Дарбу 1.8 функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b].
Теорема 1.11 (об интегрируемости непрерывной функции). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.
Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то по теореме Кантора (см. теорему 3.18 первой части курса) она равномерно непрерывна на этом отрезке, то есть,
ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : |f(x0) −f(x00)| < b −ε a, x0, x00 [a, b] : |x0 −x00| < δ.
Пусть τ = {xk}nk=0 — разбиение отрезка [a, b] с диаметром d(τ) < δ. В силу непрерывности функции f(x) на каждом отрезке разбиения [xk−1, xk]
15