точки его границы ∂Y не принадлежат Y, а значит, они принадлежат X, то есть ∂Y X. Но, так как ∂X = ∂Y , то ∂X X.

Если же ∂X X, то ∂X = ∂Y 6 Y , поэтому Y открыто, а значит X замкнуто.

Определение 2.13. Множество G Rn называется ограниченным, если существует такое число M > 0, что G S0(M).

Примерами ограниченных множеств являются введенные ранее множества Sa(ε), Va(ε), Sa(ε), V a(ε), Πa(ε), Π(a, b), Π(a, b). (Предлагаем доказательство этих фактов провести самостоятельно.) Мы же только отметим, что в силу леммы 2.3, в определении 2.13 можно шар S0(M)

заменить прямоугольником Π0(M).

Очень удобным, сокращающим запись при проведении различных выкладок, является следующее обозначение: k x k= ρ(x, 0), x Rn. Это число называется нормой элемента x. Из определения 2.2 следует, что kλxk ≤ |λ| kxk, λ R.

В пространстве R1 k x k= |x|, x R.

Например, пользуясь тем, что ρ(x, y) = ρ(x−y, 0), для всех x, y Rn, и определением нормы, множество Sa(ε) можно записать в виде

{x Rn : k x − a k< ε} .

Используя определение скалярного произведения, неравенство Ко- ши—Буняковского можно переписать в виде:

| < x, y > | ≤ k x k k y k , x, y Rn.

вольную точку пространства Rn обозначаем через x = (x1, x2, . . . , xn). В частности, если в пространстве R2 произвольную точку обозначать (x, y), а в R3 — (x, y, z), то двумерное евклидово пространство естественно обозначать R2x,y, а трехмерное евклидово пространство — R3x,y,z.

2.2 Сходящиеся последовательности в Rn

Если каждому натуральному числу k ставится в соответствие точка x(k) из пространства Rn, то говорят, что определена последовательность точек пространства Rn, которую обозначают {x(k)}.

Определение 2.14. Будем говорить, что точка a из Rn есть пре-

дел последовательности {x(k)}, если lim ρ(x(k), a) = 0. В этом случае

k→∞

еще говорят, что последовательность {x(k)} сходится в Rn к точке

a, и пишут: lim x(k) = a, lim x(k) = a, или x(k) → a.

k→∞

48

Это определение предела последовательности {x(k)} точек из Rn сформулировано через определение предела числовой последовательности {ρk} = {ρ(x(k), a)}. Если выписать последнее определение в терминах ”ε − N”, то получим эквивалентное определению 2.14

Определение 2.15. Говорят, что последовательность {x(k)} сходится к точке a в Rn, если

ε > 0 N = N(ε) N : ρ(x(k), a) < ε, k > N.

Определение, эквивалентное предыдущим, можно сформулировать и в терминах окрестностей.

Определение 2.16. Говорят, что последовательность {x(k)} сходится к точке a в Rn, если

Ua, N = N(Ua) N : x(k) Ua, k > N.

По произвольной последовательности {x(k)} из Rn можно построить, кроме числовой последовательности ρ(x(k), a), еще n числовых последовательностей: {x(1k)}, {x(2k)}, . . . , {x(nk)}, которые являются последовательностями одноименных координат точек x(k) и называются координатны-

Определение 2.17. Говорят, что последовательность {x(k)} поко-

ординатно сходится к точке a = (a1, a2, . . . , an) из Rn, если lim x(jk) =

k→∞

aj для любого j = 1, . . . , n; другими словами, если каждая координатная последовательность сходится к соответствующей координате точки a.

Теорема 2.5. Определения 2.14 и 2.17 эквивалентны, то есть последовательность {x(k)} точек пространства Rn сходится к точке a этого пространства тогда и только тогда, когда она сходится покоординатно к точке a.

Пусть lim x(k) = a, то есть

k→∞

ε > 0 N = N(ε) N : ρ(x(k), a) < ε, k > N.

Тогда для k > N и всех j = 1, . . . , n, |x(jk) − aj| ≤ ρ(x(k), a) < ε. Согласно определению предела числовой последовательности, последнее означает,

что lim x(jk) = aj для всех j = 1, 2, . . . , n.

k→∞

49

Обратно, пусть lim x(jk) = aj для всех j = 1, . . . , n. Пользуясь тео-

k→∞

ремами об арифметических операциях с пределами числовых последовательностей и непрерывностью функций возведения в степень и извлече-

то есть lim ρ(x(k), a) = 0 и, по определению 2.14, lim x(k) = a.

k→∞ k→∞

Доказанная теорема позволяет легко вычислять пределы последовательностей точек из Rn опираясь только на вычисление пределов координатных последовательностей. Так, например, если x(k) = (1/k, e−k), то

lim x(k) = (0, 0). Так как числовая последовательность {(−1)k} не имеет

k→∞

предела, то последовательность x(k) = (1/k, (−1)k) не имеет предела в R2. Теорема 2.5 позволяет без труда переформулировать и доказать для последовательностей точек пространства Rn аналоги теорем о сходящихся числовых последовательностях.

Определение 2.18. Последовательность {x(k)} точек пространства Rn называется ограниченной, если существует такое число M > 0, что для всех k N выполняется неравенство ρ(x(k), 0) ≤ M.

Иными словами, ограниченность последовательности {x(k)} означает, что все точки этой последовательности принадлежат замкнутому шару радиуса M с центром в начале координат.

Лемма 2.3, очевидно, позволяет дать следующее определение, равносильное определению 2.18.

Определение 2.19. Последовательность точек x(k) = x(1k), . . . , x(nk) пространства Rn называется ограниченной, если все её координатные последовательности ограничены, то есть существуют такие числа Mi > 0, i = 1, 2, . . . , n, что для всех k N и всех i = 1, 2, . . . , n

выполняются неравенства |x(ik)| ≤ Mi .

Таким образом, последовательность {x(k)} ограничена в Rn, если все точки x(k) её принадлежат замкнутому параллелепипеду Π0(M), M = (M1, . . . , Mn), с центром в начале координат.

Теорема 2.6. Если последовательность {x(k)} сходится в Rn, то

1)предел единственен;

2){x(k)} — ограниченная в Rn последовательность;

50

3) любая подпоследовательность {x(kj)}∞j=1 сходится в пространстве

Rn и lim x(kj) = lim x(k).

j→∞ k→∞

Докажем, например, утверждение 2). Так как последовательность {x(k)} сходится в Rn, то она покоординатно сходится. Следовательно, ее координатные последовательности ограничены в R, что означает ограниченность последовательности {x(k)} в Rn.

Определение 2.20. Последовательность {x(k)} в Rn называется фундаментальной, если

ε > 0 N = N(ε) N : ρ(x(k), x(s)) < ε, k, s > N.

Теорема 2.7 (критерий Коши). Последовательность {x(k)} сходится в Rn тогда и только тогда, когда она фундаментальна в Rn.

Теорема 2.8 (об арифметических операциях с пределами). Если

{x(k)}, {y(k)} — сходящиеся последовательности в Rn, {λk} — сходящаяся последовательность в R, то последовательности {x(k) ± y(k)}, {λkx(k)} сходятся в Rn и

Теорема 2.9 (критерий предельной точки). Пусть X Rn. Точка a из Rn является предельной точкой множества X тогда и только тогда, когда существует последовательность {x(k)} точек из X

такая, что

x(k) 6= a, k = 1, 2, . . . , lim x(k) = a.

k→∞

Доказательство этих теорем студент может провести самостоятельно, опираясь на соответствующий материал из теории числовых последовательностей и теорему 2.5. Мы же ограничимся одним важным для дальнейшего примером.

Пример 2.1. Шар Sa(r) = {x Rn | ρ(x, a) ≤ r} является замкнутым в Rn множеством.

Пусть c = (c1, . . . , cn) — предельная в Rn точка множества Sa(r). По теореме 2.9 {x(k)} : x(k) Sa(r)\{c}, lim x(k) = c. Поскольку в Rn

сходимость равносильна покоординатной, то lim x(ik) = ci, i = 1, . . . , n.

k→+∞

Но x(k) Sa(r), поэтому (x(1k) − a1)2 + . . . + (x(nk) − an)2 ≤ r2. Переходя в последнем неравенстве к пределу при k → +∞, получим

(c1 − a1)2 + . . . + (cn − an)2 ≤ r2.

51