1)если grad f(x0) 6= 0, то производная функции f в точке x0 по направлению, определяемому градиентом этой функции в точке x0, имеет максимальное значение по сравнению с производной этой функции в точке x0 по любому другому направлению;

2)значение производной функции f в точке x0 по направлению, определяемому градиентом grad f(x0), равно k grad f(x0)k, то есть равно длине вектора grad f(x0).

2.12Частные производные и дифференциалы старших порядков

Всюду далее, если не оговорены другие условия, множество G из Rn, на котором определена функция f, будем считать открытым множеством.

∂f

Пусть f : G Rnx → R и в каждой точке x G существует ∂xk (x), то

есть на G определена функция многих переменных ∂f (1 ≤ k ≤ n).

∂xk

Определение 2.54. Если существует частная производная по пе-

Если k 6= j, эту частную производную называют смешанной, а в случае k = j, например, первое из этих обозначений принимает вид

∂2f

∂x2j

(a).

Частные производные порядка выше 2-го определяются по индук-

ции.

92

если последняя частная производная существует. Если среди номеров jk найдутся два неравных, то частная производная называется смешанной частной производной указанного порядка в точке a.

Пример 2.1. Найти частные производные второго порядка функции

шанные частные производные второго порядка функции f в точке (x0, y0) из G не зависят от порядка дифференцирования.

Выберем число δ > 0 столь малым, что Π(x0,y0)(δ) G. Зафиксируем точку (x, y) в Π(x0,y0)(δ), отличную от (x0, y0). Рассмотрим число

W (x, y) = f(x, y) − f(x, y0) − f(x0, y) + f(x0, y0).

Так как W (x, y) = (f(x, y) − f(x, y0)) − (f(x0, y) − f(x0, y0)) , то W (x, y)

совпадает с приращением σ = σ(x) − σ(x0) дифференцируемой на интервале (x0 −δ, x0 +δ) функции σ(x) = f(x, y)−f(x, y0) одной переменной

σ применим теорему Лагранжа о конечных приращениях и в интервале с концами в точках x0 и x найдем точку η такую, что

93

Лагранжа о конечных приращениях к функции τ, в интервале с концами в точках y0 и y найдем точку ζ = y0 + θ2(y − y0), θ2 (0, 1), такую, что

∂2f

W (x, y) = ∂y ∂x(η, ζ)(y − y0)(x − x0) .

Поскольку число W (x, y) можно представить в виде

W (x, y) = (f(x, y) − f(x0, y)) − (f(x, y0) − f(x0, y0)),

аналогично предыдущему, найдутся точка µ из интервала с концами в точках y и y0, и точка λ из интервала с концами в точках x и x0 такие, что

Сократим на отличный от нуля множитель (x − x0)(y − y0), и получим:

пределу при (x, y) → (x0, y0), получим требуемое равенство.

Определение 2.56. Функция f : G Rnx −→ R называется p раз непрерывно дифференцируемой в открытом множестве G, если она имеет в G все частные производные до порядка p включительно и они непрерывны в G. Если функция f имеет в G непрерывные частные производные любого порядка, то функция f называется бесконечно дифференцируемой в G.

Класс p раз непрерывно дифференцируемых в G функций (бесконечно дифференцируемых в G функций) обозначается Cp(G) (соответственно, C∞(G)). Заметим , что класс C0(G) совпадает с классом непрерывных на G функций C(G).

Определение 2.57. Функция f : G Rn → R, G = int G называется p раз дифференцируемой в точке x G, если все ее частные производные порядка (p − 1) определены в некоторой окрестности точки x и дифференцируемы в этой точке. Функция, p раз дифференцируемая в любой точке x G, называется p раз дифференцируемой в G.

Очевидно, что если функция p раз непрерывно дифференцируема в точке x G, то она p раз дифференцируема в ней.

94

Определение 2.58. Отображение f = (f1, . . . , fm) : G Rnx → Rm

называется p раз дифференцируемым (p раз непрерывно дифференцируемым) в G, если таким свойством обладает каждая координатная функция отображения f.

Из теоремы 2.32 и определения 2.56 следует

Теорема 2.33. Если функция f дважды непрерывно дифференци-

Замечание 1. Из теоремы Шварца по индукции можно получить, что если функция n переменных p раз непрерывно дифференцируема в открытом множестве G, то в нем смешанные частные производные до p-го порядка включительно не зависят от порядка дифференцирования. Факт следует из того, что любые две смешанные частные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, можно перевести одну в другую конечным числом шагов, при каждом из которых меняется порядок дифференцирования только по двум переменным, а другие при этом остаются фиксированными.

Замечание 2. Равенство fxy00 (x0, y0) = fyx00 (x0, y0) возможно и в случае, если функция f дважды дифференцируема в точке (x0, y0). Непре-

рывность смешанных частных производных — это только достаточное условие их совпадения. Вообще же, значение смешанной частной производной в точке зависит от порядка, в котором проводится дифференцирование.

Пример 2.2. Показать, что fxy00 (0, 0) 6= fyx00 (0, 0) для функции

Прежде всего отметим, что

95

Обратимся к понятию дифференциалов старших порядков функции многих переменных. Пусть f : G Rnx → R, G = int G. Предположим, что f Cp(G), p ≥ 2. Тогда функция f дифференцируема в G и

X

n ∂f

j=1 ∂xj (x) dxj.

При фиксированном приращении dx = (dx1, dx2, . . . , dxn) последнее равенство определяет на G новую функцию многих переменных

X

n ∂f

df(dx) = j=1 ∂xj dxj.

В силу теорем 2.26 и 2.30 функции ∂f , j = 1, . . . , n, и df(dx) дифферен-

∂xj

цируемы в G, поэтому для любой точки a G и для любого приращения δx = (δx1, . . . , δxn) из Rn определена величина (d(df(dx)))a(δx) дифференциала в точке a от функции df(dx), соответствующая приращению δx n-мерной независимой переменной x. В случае δx = dx эту величину называют вторым дифференциалом функции f в точке a, соответствующим приращению dx, и обозначают (d2f)a(dx). Учитывая теорему 2.32,

продифференцируем в точке a функцию df(dx) = j=1 ∂xj dxj и получим

следующую формулу для вычисления второго дифференциала функции f в точке a:

96