Electrodynamics

Знаки "±" соответствуют двум направлениям вращения волны. Из (3.56), (3.57) получим:

В каждой точке пространства вектор напряженности электрического поля вра-

щается в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, при этом его конец описывает эллипс (3.58). Волна называется эллиптически поляризованной.

Если b1 b2 , уравнение эллипса (3.58) становится уравнением окружности. Вектор E вращается, оставаясь постоянным по модулю. В таком случае волна является поляризованной по кругу. Двум направлениям вращения соот-

ветствует левая и правая поляризации волны.

Если b1 0 или b2 0 , направление вектора E всегда одно и то же. Этот случай соответствует линейной поляризации волны. Эллиптически поляризованную волну можно рассматривать как суперпозицию двух линейно поляризованных волн.

3.5. Частично поляризованные волны. Тензор поляризации. Гораздо

чаще, чем с монохроматическими волнами, приходится иметь дело с волнами,

содержащими набор частот в некотором малом интервале. Рассмотрим волну,

которая имеет набор частот в интервале , , т. е. набор частот, близких к определенной частоте . Такая электромагнитная волна называется

частично поляризованной.

Интенсивность электромагнитной волны характеризует плотность ее

энергии. Более точно, интенсивность волны определяется как модуль усредненного по времени плотности потока энергии, переносимой волной:

Введем тензор поляризации

Значения компонент поля берутся в определенной точке пространства, а усреднение производится по времени. Поскольку вектор E всегда лежит в плоскости,

перпендикулярной направлению распространения волны, он имеет всего две компоненты, поэтому индексы , пробегают значения 1, 2 (или y, z). Таким образом, тензор J имеет всего четыре компоненты. Сумма диагональных

компонент тензора представляет собой среднее значение квадрата модуля век-

тора E:

причем его диагональные компоненты действительны.

В естественном, или полностью неполяризованном, свете присутствуют

Действительно, поскольку проекции Ey t , Ez t независимы, недиагональные компоненты тензора, которые получаются усреднением проекций Ey t , Ez t

по времени (или, что в данном случае то же самое, усреднением по всем на-

правлениям вектора E в пространстве) равны нулю. Диагональные компоненты

Поскольку экспоненты сокращаются, усреднение по времени здесь не требуется. Тензор (3.66) описывает волны с эллиптической поляризацией и двумя воз-

можными направлениями вращения, чему соответствуют знаки " ". Волнам с

круговой поляризацией (b1 b2 ) соответствует тензор

В случае частично поляризованных волн тензор J можно представить в

Степенью поляризации волны называется отношение интенсивности полностью поляризованной части волны I p к полной интенсивности волны:

( In – интенсивность неполяризованной части волны). Аналогично можно опре-

делить степень деполяризации волны:

Поскольку вид тензора J n известен (см. (3.64)), зная компоненты полного тен-

зора J и принимая во внимание равенство нулю определителя тензора J p ,

можно найти интенсивности поляризованной и неполяризованной частей волны, а также степень ее поляризации.

64

4. Запаздывающие потенциалы

После рассмотрения свободного электромагнитного поля (электромагнитных волн) обратимся к решению уравнений поля с источниками. Как мы видели выше, если на потенциалы поля наложена калибровка Лоренца, они удов-

летворяют неоднородным уравнениям д'Аламбера:

Поскольку уравнения (4.1) и (4.2) имеют одинаковую структуру, Достаточно рассмотреть уравнение для скалярного потенциала (4.2). Общее решение неоднородного уравнения (4.2), как известно, можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения для свободного поля и частного реше-

ния неоднородного уравнения. Следовательно, наша задача заключается в оты-

скании частного решения неоднородного уравнения.

4.1. Функция Грина неоднородного уравнения д'Аламбера. Определим

по координатам r, t, оператор действует только на находящуюся под интегралом функцию Грина, и мы получаем:

65

Не сложно доказать, что функция Грина G r, t; r , t зависит лишь от разностей R r r , t t :

Если заряд находится в точке с координатой r , то R r r представляет собой радиус-вектор, проведенный из точки, где находится заряд, в точку наблюдения. Учитывая, что поле заряда обладает сферической симметрией, удобно переписать уравнение (4.7) в сферических координатах:

66

Подставляя эти выражения в (4.10) и умножая на R, получаем уравнение:

2 2 12 2 2 4 К R . (4.14)

R c

При R 0 правая часть равна 0, и мы получаем известное нам волновое уравнение вида (3.10), его общее решение

Поскольку мы ищем частное решение, для нас достаточно выбрать одну из функций f1 , f2 . Итак, получаем:

В этом решении функция все еще не определена. Она должна быть выбрана таким образом, чтобы получить верное решение уравнения (4.7) также при R=0. Заметим, что при R→0 функция (4.16) обращается в бесконечность, так что ее производные по R растут быстрее, чем производные по . Тогда при R→0 мы

можем пренебречь в уравнении (4.7) членом 1 2G , и уравнение принимает

c2 2

(напомним, что R r r ). Тогда, чтобы удовлетворить уравнению (4.18), мы можем положить

67

Попутно заметим, что, в соответствии с общим определением функции Грина, функция

является функцией Грина уравнения Пуассона (1.18). (В уравнении для функ-

4.2. Общее решение уравнений поля с источником. Физический смысл запаздывающих потенциалов. Общее решение можно записать как

где 0 r, t – общее решение уравнения для свободного электромагнитного поля.

Поскольку уравнение (4.1) содержит в себе три одинаковых уравнения для различных компонент векторного потенциала, каждое из которых совпада-

можно показать, что этот корень является единственным. Производная функции (4.33) по переменной t