Electrodynamics

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра теоретической и вычислительной физики

Т. П. Шестакова

Электродинамика

Курс лекций

Ростов-на-Дону

2011 г.

Шестакова Т.П.

Электродинамика: Курс лекций. Ростов-на-Дону, 2011. 132 с.

2

Содержание

Часть I. Уравнения Максвелла……………………………………………………...6

1.Вывод уравнений электромагнитного поля в вакууме………………………....6

1.1.Начало изучения электромагнитных явлений. Работы Фарадея и Максвелла………………………………………………………………....6

1.2.Представление об электрическом поле. Уравнения электростатики…8

1.3.Уравнения магнитостатики…………………………………………….11

1.4.Связь электрических и магнитных явлений. Закон электромагнитной индукции………………………………………………………………...14

1.5.Закон сохранения электрического заряда……………………………..17

1.6.Окончательная форма уравнений поля. Физический смысл уравнений Максвелла………………………………………………………………..20

1.7.Закон сохранения энергии для электромагнитного поля………….....21

1.8.Закон сохранения импульса для электромагнитного поля……….…..24

2.Потенциалы электромагнитного поля……………………………………….....28

2.1.Связь между потенциалами и напряженностями электромагнитного поля………………………………………………………………..……..28

2.2.Неоднозначность определения потенциалов. Калибровочные преобразования………………………………………….………………28

2.3.Четырехмерная формулировка электродинамики. Тензор электромагнитного поля………………………………………..………29

2.4.Теорема единственности для системы уравнений Максвелла…….…38

2.5.Уравнения движения заряженных частиц……………………………..39

2.6.Присутствие уравнения связи в числе уравнений поля и калибровочная инвариантность………………………………………..45

2.7.Калибровочные условия. Калибровки Кулона и Лоренца…………...47

2.8.Эффект Ааронова – Бома……………………………………………….50

Часть II. Решения уравнений Максвелла…………………………………………53

3.Свободное электромагнитное поле……………………………………………..53

3

3.1.Уравнения поля в отсутствие источников…………………………….53

3.2.Решение уравнения д'Аламбера для плоских волн…………………...54

3.3.Свойство поперечности электромагнитных волн………………….....56

3.4.Монохроматическая волна. Поляризация волн……………………..58

3.5.Частично поляризованные волны. Тензор поляризации…………..…61

4.Запаздывающие потенциалы…………………………………………………....65

4.1.Функция Грина неоднородного уравнения д'Аламбера……………...65

4.2.Общее решение уравнений поля с источником. Физический смысл запаздывающих потенциалов…………………………………………..68

4.3.Потенциалы Лиенара – Вихерта……………………………………….69

Часть III. Электромагнитные поля на больших расстояниях…………………....72

5.Поля статических систем зарядов и токов……………………………………72

5.1.Разложение скалярного потенциала в ряд по малым параметрам…...72

5.2.Дипольный момент системы зарядов……………………………….…73

5.3.Тензор квадрупольного момента системы зарядов………………...…74

5.4.Разложение векторного потенциала в ряд по малым параметрам…...76

5.5.Магнитный момент системы зарядов……………………………...…..78

6.Излучение электромагнитных волн…………………………………………….80

6.1.Разложение запаздывающих потенциалов в ряды по малым параметрам……………………………………………………..………..80

6.2.Интенсивность излучения……………………………………...………83

6.3.Дипольное излучение…………………………………………………...84

6.4.Квадрупольное и магнито-дипольное излучение……………………..86

6.5.Краткая характеристика других видов излучения………………...….89

Часть IV. Электромагнитное поле в сплошных средах……………………….....91

7.Уравнения электродинамики сплошных сред…………………………………91

7.1.Особенности описания электромагнитного поля в веществе. Необходимость усреднения уравнений Максвелла……………….….91

7.2.Вектор электрической поляризации……………………………...……92

4

7.3.Вектор магнитной поляризации………………………………………..94

7.4.Система уравнений Максвелла в сплошной среде……………………97

7.5.Уравнения Максвелла в линейных средах. Классификация сред...…98

7.6.Закон сохранения энергии в сплошной среде…………………………99

7.7.Закон сохранения импульса в сплошной среде………………...……101

7.8.Принцип взаимности Лоренца………………………………………..105

7.9.Принцип взаимности Грина……………………………………..……107

7.10.Условия на границе раздела двух сред…………………………...…109

8.Краткий обзор физических свойств сплошных сред………………………...114

8.1.Электропроводность среды. Закон Ома. Закон Джоуля – Ленца…..114

8.2.Электростатика проводников. Емкость. Емкостные и потенциальные коэффициенты……………………………………………………..…..115

8.3.Электростатическая энергия проводников…………………..………116

8.4.Электрострикция и электрокалорический эффект……………..……118

8.5.Механизмы поляризации диэлектриков……………………………...119

8.6.Вещества со спонтанной поляризацией (пироэлектрики). Прямой и обратный пьезоэффект………………………………………………...119

8.7.Сегнетоэлектрики и их основные свойства………………………….121

8.8.Магнитные свойства веществ. Парамагнетики и диамагнетики…...122

8.9.Ферромагнетики и антиферромагнетики…………………………….123

9.Электромагнитное поле в среде с пространственной и временной

дисперсией……………………………………………………………….…125

9.1.Общая связь между напряженностью электрического поля и электрической индукцией. Пространственно-временная дисперсия……………………………………………………………....125

9.2.Дисперсионное уравнение…………………………………………….128

Литература…………………………………………………………………………132

5

Часть I. Уравнения Максвелла

1. Вывод уравнений электромагнитного поля в вакууме

Весь круг электромагнитных явлений, по крайней мере, в классических проявлениях, полностью описывается системой уравнений Максвелла:

divE r, t 4 r, t .

Принято говорить, что уравнения Максвелла есть результат обобщения опытных данных. Попробуем, однако, разобраться, как анализ результатов экспериментов мог привести к такой достаточно сложной с математической точки зрения системе уравнений, как система уравнений Максвелла.

1.1. Начало изучения электромагнитных явлений. Работы Фарадея и Максвелла. Пожалуй, первым опытным фактом, касающимся электромагнитных явлений, является закон Кулона (1785 г.), определяющий величину силы притяжения между двумя зарядами q1 , q2 противоположных знаков (либо силы отталкивания между зарядами одинаковых знаков), находящихся на расстоянии r друг от друга:

(Английский физик Г. Кавендиш установил этот закон еще в 1773 году, но он не публиковал свои работы). В гауссовой системе единиц, которой мы будем пользоваться, коэффициент k = 1.

Конец XVIII и первая треть XIX века характеризуется интенсивным изучением различных явлений, связанных с прохождением электрического тока. В 1799 году Алессандро Вольта создает первый источник электрического тока (гальванический элемент). К этому времени относятся исследования Ома, Джо-

6

уля, Ампера. В 1820 году Х. Эрстед обнаруживает действие электрического тока на магнитную стрелку.

В 1834 году Майкл Фарадей вводит понятие о силовых линиях. Так возникает первоначальная форма теории поля. Необходимо отметить, что до этого времени, в том числе при изучении гравитационных явлений, понятие поля не возникало. Предполагалось, что одно тело воздействует на другое непосредственно, без участия какой-либо промежуточной среды (дальнодействие). Передача взаимодействия при этом происходит мгновенно.

По мнению Альберта Эйнштейна, идея поля была самым важным открытием со времен Ньютона. Он писал: "…надо иметь могучий дар научного предвидения, чтобы распознать, что в описании электрических явлений не заряды и не частицы описывают суть явлений, а скорее пространство между зарядами и частицами".

Судьба Фарадея, как и его идей, весьма поучительна. Он родился в 1791 году. Отец его был кузнецом, мать – горничной. Он получил только начальное образование. Затем он работает подмастерьем переплетчика в книжной лавке. В это время он получает возможность много читать, и сам повторяет многие из опытов, описанных в книгах. Лавку посещало большое число образованных людей того времени. Один из них, заметив увлеченно читающего серьезную научную литературу молодого переплетчика, пригласил его послушать цикл лекций сэра Гэмфри Дэви, известного физика и химика, члена Лондонского Королевского Общества. В 22 года Фарадей становится ассистентом Дэви, а через 11 лет, в 1824 году сам становится членом Лондонского Королевского Общества. Позднее Дэви говорил, что самое большое из его открытий – это "открытие" Фарадея.

Результаты исследований Фарадея изложены в серия его докладов, которые Фарадей представлял в Лондонское Королевское Общество на протяжении двадцати четырех лет – "Экспериментальные исследования по электричеству". В его докладах тщательно описаны проведенные им опыты. Однако Фарадей не

7

владел языком математики, и в его работах отсутствовали формулы, которые в огромном количестве присутствовали в статьях других ученых. Это вызвало упреки в "нематематичности" в адрес Фарадея и в определенной степени затруднило восприятие его идей, в том числе идеи о существовании электрического и магнитного полей, которые он считал безусловной реальностью.

Совершенно по-иному сложилась судьба Джеймса Клерка Максвелла. Он родился в 1831 году в семье шотландского землевладельца, получил прекрасное образование – сначала школа (она называлась Эдинбургская академия), затем Эдинбургский, а позднее и Кембриджский Университет, где математика преподавалась на самом высоком уровне. И тем не менее на Максвелла, который получил такую сильную математическую подготовку, особое впечатление производит именно книга Фарадея "Экспериментальные исследования по электричеству". Максвелл увидел, что упреки Фарадея в "нематематичности" были несправедливыми.

Максвелл писал: "Когда я стал углубляться в изучение работ Фарадея, я заметил, что метод его понимания тоже математичен, хотя и не представлен в условной форме математических символов. Я также заметил, что метод может быть выражен в обычной математической форме…". Максвелл указывал, что на силовые линии Фарадея не следует смотреть только как на абстракцию. Он дал следующее определение: "Электромагнитное поле – это та часть пространства, которая содержит в себе и окружает тела, находящиеся в электрическом или магнитном состоянии".

Постараемся понять, как представление об электромагнитном поле приводит к математической формулировке уравнений, описывающих его динамику.

1.2. Представление об электрическом поле. Уравнения электростати-

ки. Представление об электрическом поле позволяет ввести понятие напряженности поля как отношения силы, действующей электрический заряд, к величине этого заряда:

8

(Здесь поле E(r) создается точечным источником q0 ).

Важную роль играет принцип суперпозиции полей, согласно которому поле, создаваемое несколькими источниками, равно геометрической сумме полей, создаваемых каждым из объектов в отдельности, независимо от наличия других

электрического поля. Введем пространственную плотность заряда r . Если у

dV r , создает в точке с радиус-вектором r напряженность электрического поля

Проинтегрировав по всему распределению зарядов, получим:

Используя аппарат векторного анализа, можно показать, что

9

где совершенно формально был введен скалярный потенциал электрического поля

(здесь операция взятия градиента предполагает дифференцирование по пере-