Electrodynamics

уравнения Максвелла стремится к нулю, за исключением случая, когда на границе раздела сред сосредоточена поверхностная плотность заряда (например, на поверхности проводника). Если f r 0 – уравнение поверхности раздела сред, плотность заряда может иметь вид

(7.111)

где r – регулярная функция, r – поверхностная плотность заряда, определенная в каждой точке границы раздела сред. При интегрировании (7.111) по объему интеграл от r стремится к нулю при h 0 , интеграл от второго слагаемого дает произведение поверхностной плотности заряда на площадь основания цилиндра (мы пренебрегаем изменением поверхностной плотности внутри бесконечно малого цилиндра):

В отсутствие заряда на границе нормальная составляющая вектора электрической индукции непрерывна, если же на границе сосредоточен заряд, она претерпевает скачок.

Второе уравнение Максвелла позволяет выявить связь между нормальными составляющими вектора магнитной индукции. Вновь рассматривая бесконечно малый цилиндр на границе раздела сред (рис. 6) и рассуждая так же, как в предыдущем случае, приходим к выводу о непрерывности нормальных составляющих вектора магнитной индукции:

(7.114)

Третье уравнение Максвелла позволяет определить связь между тангенциальными составляющими напряженности магнитного поля. при этом необходимо учесть, что, в принципе, плотность тока может иметь особенность на границе раздела сред:

111

(7.115) i r – плотность поверхностного тока, которая отлична от нуля в микроскопи-

чески малом слое вблизи границы. Тогда, рассматривая бесконечно малый прямоугольный контур в плоскости, перпендикулярной границе раздела сред (рис. 5), получаем:

В отсутствие поверхностного тока тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля непрерывна, если в микроскопически малом слое вблизи границы протекает ток, она претерпевает скачок.

Электромагнитное поле в вакууме описывается системой уравнений Максвелла в интегральной форме (1.70). Из первого уравнения в (1.70) следует непрерывность тангенциальных составляющих напряженности электрического поля (7.109). Из второго уравнения следует непрерывность нормальных состав-

Из третьего уравнения вытекает соотношение (7.117) для тангенциальных составляющих напряженности магнитного поля, справедливое, наряду с (7.109), как в вакуумной электродинамике, так и в электродинамике сплошных сред. Наконец, из четвертого уравнения следует соотношение для нормальных составляющих напряженности электрического поля:

Как мы видим, в электродинамике сплошных сред уравнения Максвелла не дают нам соотношений между нормальными составляющими напряженностей электрического и магнитного поля, а также между тангенциальными составляющими векторов электрической и магнитной индукции. Получить их

112

можно лишь используя уравнения связи между E и D, H и B. В отсутствие поверхностных зарядов и токов в случае линейных изотропных сред, используя уравнения связи (7.42), (7.44) получаем:

113

8.Краткий обзор физических свойств сплошных сред

8.1.Электропроводность среды. Закон Ома. Закон Джоуля – Ленца.

Основными характеристиками сплошной среды в электродинамике являются ее диэлектрическая и магнитная проницаемость, введенные ранее (см. (7.42), (7.44), (7.51), (7.52)), а также проводимость (электропроводность) среды. Последняя величина входит в соотношение между напряженностью электрического поля и протекающим в проводнике током (закон Ома). Если проводник однороден и изотропен, а электрическое поле является достаточно малым, закон Ома выражен в простой форме:

– проводимость.

На границе раздела двух проводящих сред нормальная составляющая

Как было показано выше, из уравнений Максвелла вытекает, что на границе раздела сред должна быть непрерывна также тангенциальная составляющая напряженности электрического поля (см. (7.109)). Для нормальной составляющей напряженности электрического поля будем иметь:

Электрическое поле производит работу над заряженными частицами проводника. Работа, произведенная в единице объема проводника в единицу времени приводит к выделению количества тепла Q:

Последняя формула выражает закон Джоуля – Ленца.

114

В анизотропной среде направления векторов j и E могут не совпадать. Закон Ома обобщается следующим образом:

ji ij Ej , (8.6)

ij – тензор проводимости (не путать с тензором напряжений). Как и тензор ди-

электрической проницаемости ij , он является симметричным: ij ji .

Важнейшими техническими задачами являются: расчет разветвленных электрических цепей с помощью законов Кирхгофа (законы Кирхгофа представляют собой прямые следствия закона Ома и закона сохранения электрического заряда); расчет потерь энергии вследствие выделения тепла при передаче электроэнергии на большие расстояния.

8.2. Электростатика проводников. Емкость. Емкостные и потенци-

альные коэффициенты. Отдельный предмет составляет электростатика проводников, изучающая электрические поля, создаваемые заряженными проводниками. Статическое распределение зарядов в проводниках возможно лишь в случае, когда напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю, в противном случае по проводнику протекал бы электрический ток. Более того, свободные заряды внутри проводника могут распределяться только на его поверхности. Действительно, если внутри проводника E 0 , то из четвертого уравнения Максвелла divE 4 следует, что плотность зарядов внутри проводника также равна нулю.

В электростатике проводников важная роль отводится величинам, называемым емкостными коэффициентами. Поскольку распределение зарядов и потенциалов проводников подчиняется уравнениям электростатики, оно не может быть задано произвольным образом. В силу линейности уравнений поля связь между зарядами и потенциалами должна быть линейной:

115

Емкостные коэффициенты Cab зависят от формы и взаимного расположения проводников. Емкостью уединенного проводника C называется отношение заряда проводника к его потенциалу (предполагается, что потенциал выбран таким образом, что он обращается в нуль на бесконечности):

q C . (8.8)

Емкость конденсатора (напомним, что конденсатором называется система из двух или более проводников – обкладок конденсатора, которые разделены диэлектрической средой, – способная накапливать электрический заряд) определяется отношением заряда на одной из его обкладок к разности потенциалов между обкладками:

(8.9)

(8.10)

Величины Sab называются потенциальными коэффициентами. Они составляют матрицу, обратную матрице Cab :

Поскольку внутри проводников напряженность электрического поля равна нулю, мы интегрируем в (8.12) по всему объему пространства вне проводников. Предполагаем, что в пространстве вне проводников отсутствуют сторонние заряды ( 0), и поэтому divE 0 . Таким образом, последний интеграл в (8.12)

116

равен нулю. Первый интеграл в (8.12) может быть преобразован в интеграл по поверхности, которая складывается из поверхностей всех проводников и бесконечно удаленной поверхности. Воспользовавшись неопределенностью в выборе потенциала, потребуем, чтобы он обращался в нуль на бесконечности. Тогда первый интеграл в (8.12) сведется к сумме интегралов по поверхностям проводников:

Очевидно, потенциал одинаков в каждой точке поверхности проводника, поэтому его можно вынести из-под знака интеграла по поверхности. Далее, на границе раздела "проводник – диэлектрическая среда" нормальная составляющая вектора электрической индукции удовлетворяет граничному условию (7.113). Вновь учитывая, что внутри проводника E 0 , условие (7.113) примет вид:

Будем считать, что диэлектрическая проницаемость окружающей проводники среды 1 (проводники находятся в вакууме). Тогда имеем:

(8.15)

здесь – поверхностная плотность заряда, En – составляющая электрического поля, определяемая по отношению ко внешней нормали к поверхности проводника. В то же время при интегрировании в (8.13) мы должны выбрать нормаль, внешнюю по отношению к области пространства вне проводников, по которой изначально проводилось интегрирование. Эта последняя направлена внутрь проводника. Учитывая это обстоятельство, мы должны изменить знак перед интегралом в (8.13). Интеграл от поверхностной плотности заряда по поверхности проводника даст полный заряд проводника:

Используем теперь соотношения (8.7) и (8.10).

Электростатическая энергия системы проводников может быть представлена в виде квадратичной формы потенциалов или зарядов проводников.

В электростатике проводников используется ряд специальных методов решения задач: метод изображений, метод инверсии, метод конформного отображения, метод интегральных преобразований, метод разделения переменных

вкриволинейных координатах и другие.

8.4.Электрострикция и электрокалорический эффект. На проводники

идиэлектрики, находящиеся в электрическом поле, со стороны поля действуют силы, которые могут приводить к деформации проводника или диэлектрика. Это явление называется электрострикцией. Действительно, как было показано раньше, электромагнитное поле обладает импульсом, плотность потока импульса определяется тензором напряжений ij (7.79). Сила, действующая на

проводник со стороны электрического поля, получается интегрированием по всей поверхности проводника (см. (7.82)):

Если полная сила, действующая на проводник, равна нулю, проводник остается неподвижным, а действие сил на поверхность проводника приводит к изменению его объема. Направление силы совпадает с внешней нормалью n к поверхности проводника и приводит к его растяжению. Это связано с тем, что внутри проводника напряженность электрического поля равна нулю, а у поверхности проводника направлено по нормали к поверхности. Если проводник находится в вакууме ( 1), на элемент его поверхности dS будет действовать сила

118

В отличие от электрострикции проводников, изменение объема диэлектриков во внешнем электрическом поле может быть как положительным, так и отрицательным (электрострикция диэлектриков может приводить как к растяжению, так и к сжатию диэлектрика).

В диэлектриках наблюдается также электрокалорический эффект – поглощение диэлектриком количества тепла Q при изотермическом включении внешнего электрического поля при постоянном внешнем давлении. Если же диэлектрик теплоизолирован, наложение внешнего электрического поля приводит

кизменению его температуры.

8.5.Механизмы поляризации диэлектриков. Как мы знаем, наложение внешнего электрического поля приводит к перераспределению плотности электрического заряда внутри диэлектрика, т. е. к его поляризации. Поляризация диэлектриков может быть обусловлена различными механизмами, в частности, ионная поляризация является результатом смещения ионов друг относительно друга в ионных кристаллах, электронная поляризация является результатом деформации электронных оболочек. В полярных диэлектриках молекулы представляют собой электрические диполи, которые в отсутствие электрического поля ориентированы хаотически, а при наложении поля приобретают преимущественную ориентацию. Такой механизм поляризации называется ориентационным и характерен для жидкостей и газов.

8.6.Вещества со спонтанной поляризацией (пироэлектрики). Прямой и обратный пьезоэффект. Рассмотренная выше (см. (7.51)) связь между электрической индукцией и напряженностью электрического поля в анизотропной диэлектрической среде не является самой общей. Наиболее общий вид такой зависимости есть

где D0 – постоянный вектор. Если D0 отличен от нуля, это означает, что диэлектрик спонтанно поляризован даже в отсутствие внешнего электрического

119

поля. Вещества, обладающие этим свойством, называют пироэлектриками. Значения D0 , характеризующие величину спонтанной поляризации, невелики, в противном случае внутри диэлектрика существовали бы сильные поля, что является энергетически невыгодным. В большинстве кристаллов D0 0 , и зависимость (8.20) сводится к (7.51).

Тензор диэлектрической проницаемости ij может быть приведен к диа-

гональному виду с помощью соответствующего преобразования координат и определяется тремя своими главными значениями. В кристаллических диэлектриках симметрия кристалла определяет, сколько различных главных значений имеет тензор ij . Так, например, в кристаллах кубической системы все три главных значения тензора ij одинаковы, а направления главных осей произ-

вольны. Тензор диэлектрической проницаемости имеет вид ij ij , иными словами, в отношении своих диэлектрических свойств кристаллы кубической симметрии не отличаются от изотропных тел. Однако нужно отметить, что направления главных осей тензора не всегда однозначно связано с кристаллографическими направлениями.

Пироэлектрическими свойствами может обладать лишь такой кристалл, в котором существует направление, остающееся неизменным при всех преобразованиях симметрии. В этом направлении лежит постоянный вектор D0 .

Кристаллические вещества, в которых при сжатии или растяжении в определенных направлениях возникает поляризация даже в отсутствие электрического поля, называются пьезоэлектриками, а возникновение поляризации в этом случае называется прямым пьезоэффектом. Наблюдается также обратный пьезоэффект – появление механической деформации под действием электрического поля. Этот эффект следует отличать от явления электрострикции, которая наблюдается в ряде кристаллов. В случае электрострикции возникающие в диэлектрики силы квадратичны по полю, а в пьезоэлектриках вследствие

120