Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Electrodynamics

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

916.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

между щелями находится соленоид бесконечной длины, расположенный парал-

лельно плоскости экрана. Как известно, магнитное поле такого соленоида сосредоточено внутри него. Все электроны движутся вне соленоида, в области, где магнитное поле отсутствует. Тем не менее, пропускание электрического тока через соленоид приводит к смещению интерференционной картины на втором экране.

Попробуем разобраться, каким образом магнитное поле соленоида воздействует на пучок электронов. Вспомним, что уравнение Шредингера для свободной частицы

1				ˆ	2	E	(2.127)

			2m p
в присутствии магнитного поля запишется как
	1			e	2
		pˆ		c	A E .		(2.128)

	2m

Соответственно, волновая функция частицы с импульсом p приобретает зависимость от векторного потенциала

exp

p e A r .

(2.129)

Разность фаз при движении электрона по траекториям L1

и L2 :

L Adr

Adr

S rot AdS

HdS .

(2.130)

Разность фаз определяется интегралом по замкнутому контуру L, состоящему из траекторий L1 и L2 , который в соответствии с теоремой Стокса можно преобразовать в интеграл по поверхности S, охватываемой контуром L, и который представляет собой поток напряженности магнитного поля H через поверхность S. Очевидно, поток магнитного поля H не равен нулю, так как поверх-

ность S включает в себя область внутри соленоида. Это подразумевает, что век-

торный потенциал A не может быть равен нулю во всех точках контура L. С

другой стороны, во всех точках контура L

H rot A 0 ,	(2.131)
откуда следует, что
A grad .	(2.132)

В области, где магнитное поле отсутствует, векторный потенциал является, как говорят, чистой калибровкой. Казалось бы, векторный потенциал можно подвергнуть калибровочному преобразованию (2.7) с функцией r, t , подобранной таким образом, чтобы потенциал A обратился в нуль. Однако, это вступает в противоречие с уже сделанным выводом о том, что он не может быть равен нулю во всех точках контура L. Это ограничивает возможность подвергнуть потенциал произвольному калибровочному преобразованию. Может оказаться, что введение потенциалов – не просто математический трюк, и они несут более глубокую информацию о структуре электромагнитного поля, чем напряженности. Тот факт, что в реальных физических экспериментах мы пока не наблюда-

ем указаний на нарушение калибровочной инвариантности, не значит, что они

не будут обнаружены на более глубоком уровне исследований структуры про-

странства-времени.

Часть II. Решения уравнений Максвелла

3.Свободное электромагнитное поле

3.1.Уравнения поля в отсутствие источников. Нашей следующей зада-

чей является анализ наиболее важных решений уравнений Максвелла. Мы нач-

нем с рассмотрения свободного электромагнитного поля, т. е. поля в отсутствие источников. При этом система уравнений Максвелла примет вид:

rot E r, t	1		H r, t		;
	c		t

div H r, t 0;					(3.1)
rot H r, t 1		E r, t
				;
			t
c

divE r, t 0.

Применим операцию взятия ротора к первому из уравнений Максвелла. Ис-

пользуя соотношение (1.44), второе и третье уравнения, получим:

rot

rot E 1

rot H ;

(3.2)

c t

grad

divE E

1 2E

;

(3.3)

c2 t

1 2E

(3.4)

Аналогично, применяя операцию взятия ротора к третьему уравнению Максвелла, получаем:

rot rot H		1	rot E ;				(3.5)

		c t
grad div H H				1 2 H		;	(3.6)
				c2	t2

H	1 2 H		0 .				(3.7)
	c2	t2

Таким образом, напряженности электрического и магнитного полей удовлетво-

ряют уравнению д'Аламбера (волновому уравнению). Такому же уравнению

удовлетворяют потенциалы поля в отсутствие источников в калибровке Лорен-

ца (см. (2.116), (2.117)):

A	1 2 A		0 ;	(3.8)
	c2	t2

	1	2	0 .	(3.9)
	c2	t2

3.2. Решение уравнения д'Аламбера для плоских волн. Обратимся к частному случаю, когда поле зависит только от одной координаты x и от времени t. Рассмотрим уравнение

2 f c2 2 f 0.t2 x2

Его можно переписать следующим образом:

t c x t c x f 0 .

Сделаем замену переменных

	t		x	,	t			x	;
			c					c

t	1	,			x	c	.
	2
					2

Тогда

t xt x

1			c				;

2	t
2	t			x
1			c
						.
2		t				.
2		t			x

Уравнение (3.11) принимает вид:
	2 f	0 .

Общее решение этого уравнения есть

f , f1 f2 ;

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

f t, x f

Рассмотрим одно из решений,

В каждой плоскости

(3.18)

x const поле

изменяется с течением времени, и в каждый момент времени поле различно для разных значений x. Поле имеет одинаковые значения для координат x и момен-

тов времени t. связанных соотношением

t	x	const	(3.19)

	c
или
x x0 ct .			(3.20)
Если в некоторый момент t 0 в некоторой точке пространства			x x0 поле

имело определенное значение, то через промежуток времени t поле будет иметь

то же самое значение на расстоянии ct от точки x x0 вдоль оси x. Таким образом, поле распространяется в пространстве вдоль оси x со скоростью, равной

		x
скорости света c. Решение f1	t		представляет собой волну, распростра-

		c

		x
няющуюся в положительном направлении оси x. Соответственно, f2	t

		c

представляет собой волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси x.

Напомним, что фазой называется состояние колебательного процесса в определенный момент времени. Из сказанного выше следует, что точки с координатами x и t, связанными соотношением (3.20), колеблются в одинаковой фа-

зе. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. В данном случае волновой поверхностью является вся

бесконечная плоскость, перпендикулярная направлению распространения вол-

ны, поэтому волна называется плоской. Геометрическое место точек, которых достигают колебания к моменту времени t, называется фронтом волны. Оче-

видно, волновой фронт также является волновой поверхностью, Дифференци-

руя соотношение (3.20) по времени, найдем скорость перемещения в пространстве точки с определенным значением фазы – фазовую скорость волны:

vph dx	c .	(3.21)
dt

Как мы видим, фазовая скорость электромагнитной волны совпадает со скоро-

стью света.

3.3. Свойство поперечности электромагнитных волн. Как обсуждалось ранее, дополнительное калибровочное условие не полностью фиксирует значения потенциалов поля. Так, калибровка Лоренца (2.106) не будет нарушена, ес-

ли скалярный потенциал положить равным нулю, а векторный потенциал удов-

летворяет калибровке Кулона (2.105):
0 ,	(3.22)
div A 0 .	(3.23)

В случае плоской волны, когда поле зависит только от t и x, условие (3.23) сво-

дится к уравнению

Ax	0 .		(3.24)
x
Из уравнения (3.8) следует
2 A	0		(3.25)
x	0		(3.25)
t2
или
Ax const .			(3.26)
t
В соответствии с (2.5) при условии (3.22) производная		A	определяет электри-
В соответствии с (2.5) при условии (3.22) производная		t	определяет электри-
		t

ческое поле. Если компонента Ax отлична от нуля, соотношение (3.26) подразумевает наличие постоянной составляющей электрического поля вдоль оси x –

продольного электрического поля. Эта составляющая не имеет отношения к

электромагнитной волне, и поэтому мы можем положить

Ax 0. (3.27)

Таким образом, векторный потенциал всегда может быть выбран перпендикулярным к направлению распространения плоской волны.

Покажем, что из этого следует свойство поперечности электромагнитных волн. Пусть

	x
A A t		A .
A A t		A .
	c
Тогда
E grad	1 A		1 dA .
	c t		c d

(3.28)

(3.29)

Используя метод оператора набла, находим:

H rot A , A ei eijk j Ak

ei eijk

k j t

(3.30)

,E .

grad t

ex ,

Применяя оператор к векторному потенциалу, мы учли правила дифферен-

		x
цирования сложной функции и тот факт, что	grad t		имеет единственную

		c

составляющую вдоль направления распространения волны:
grad	t	x	1 e		.	(3.31)

		c	c	x

Из (3.29), (3.30) следует, что напряженности электрического и магнитного полей E и H перпендикулярны к направлению распространения волны (свойство

поперечности электромагнитных волн). В самом деле, выше было показано (с учетом (3.26)), что продольная составляющая напряженности электрического поля может быть только постоянной и не имеет отношения к электромагнитной волне. Из (3.30) вытекает, что вектор напряженности магнитного поля является

перпендикулярным не только к направлению распространения волны, но также

к вектору напряженности электрического поля. Из (3.30) также видно, что

E				H		,	(3.32)

поэтому плотность энергии электромагнитной волны

w	1	E	2	H	2	E2	H 2	(3.33)
							4 ,
	8					4

а вектор плотности потока энергии электромагнитной волны (вектор Пойнтинга)

E, H

E, ex ,E

ex E2 E ex ,E

(3.34)

E2e

H 2e

cwe

(Электромагнитное поле распространяется со скоростью света.)

3.4. Монохроматическая волна. Поляризация волн. Еще один важный частный случай электромагнитных волн – монохроматическая волна, в которой поле является периодической функцией времени. В этом случае зависимость от времени потенциалов и напряженностей поля имеет вид

	cos t ,						(3.35)
где – частота волны. Соответствующая длина волны
				2 c .			(3.36)

В волновом уравнении
f			1 2 f			0	(3.37)
f		c2			t2	0	(3.37)
		c2			t2
имеем
	2 f		2 f ,				(3.38)
	t2		2 f ,				(3.38)
	t2

так что распределение поля в пространстве определяется уравнением

A A0 exp i t kr ,

E 1 A i A ikA , c t c

H n, E i kn, A i k, A .

f		2	f 0 .					(3.39)
f		c2	f 0 .					(3.39)
		c2
В монохроматической плоской волне, распространяющейся вдоль оси x,
поле является периодической функцией от t					x		. Тогда можно записать:
поле является периодической функцией от t							. Тогда можно записать:
					c
				x
A Re A0 exp			i t			.		(3.40)
A Re A0 exp			i t			.		(3.40)
				c
Здесь A0 – постоянный комплексный вектор. Введем волновой вектор
	k n ,							(3.41)
		c

n – единичный вектор в направлении распространения волны, в частности, в

нашем случае n ex . Учитывая,			что x r, n , получим:
A Re	A	0	exp i	t kr	.	(3.42)

Такая форма записи не зависит от выбора осей координат. Фазу волны в данном

случае определяет величина

t kr .

(3.43)

Часто, если над величинами производятся только линейные операции,

бывает удобно оперировать с комплексными величинами, беря действительную

часть только на заключительном этапе вычислений. До тех пор знак взятия дей-

ствительной части можно опускать. Таким образом мы находим:

(3.44)

(3.45)

(3.46)

Обратимся теперь к напряженности поля. Для определенности будем говорить о напряженности электрического поля, хотя то же самое справедливо по отношению к магнитному полю. Поскольку вектор напряженности совершает колебания в плоскости, перпендикулярной направлению распространения вол-

ны, его можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие,

лежащие в этой плоскости. Будем исходить из представления

E Re E0 exp i t kr . (3.47)

Здесь E0 , вообще говоря, – некоторый комплексный вектор, и его квадрат также представляет собой комплексный вектор:


E02	E0			2 e 2i .		(3.48)

Тогда мы можем ввести комплексный вектор b, такой, что
E0 be i ,						(3.49)
который имеет действительный квадрат. В самом деле,
E02 b2e 2i ,						(3.50)
b2		E0			2 .	(3.51)

С другой стороны,
b b1			ib2 ,			(3.52)

где b1 , b2 – два действительных вектора.

	b2		b12	b22		2i b1 ,b2			(3.53)
– действительная величина. Следовательно, векторы b1 , b2									взаимно перпенди-
кулярны,
			b1 ,b2 0 .						(3.54)
Возвращаясь к (3.47), мы можем записать:
E Re		b	ib	2	exp i		t kr	.	(3.55)
		1		2					(3.55)

Выбирая ось x вдоль направления распространения волны, мы теперь можем

выбрать ось y по направлению вектора b1 . Тогда направление оси z будет совпадать с направлением вектора b2 или будет противоположно ему.

Re b

exp i

t kr

b cos

t kr

(3.56)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.20152.76 Mб361Ekonomika_firmy.doc
#
13.02.2015438.25 Кб16Ekonomika_Lektsii10.pdf
#
21.04.2019352.33 Кб29Ekzamen_4.docx
#
27.09.201970.69 Кб7Ekzamen_po_pedagogike.docx
#
12.03.2016270.65 Кб337ekzamen_prava_cheloveka_1-55.docx
#
13.02.2015916.32 Кб39Electrodynamics.pdf
#
13.02.20154.62 Mб19Electrodynamics_slides.pdf
#
26.08.201978.6 Кб8Emotions.docx
#
16.08.201972.7 Кб1environnement.doc
#
01.12.2018344.06 Кб12espanol_1.doc
#
13.02.20155.7 Mб66Essential_Words_for_the_TOEFL.pdf