Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Electrodynamics

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
916.32 Кб
Скачать

 

Edl 1

d

HdS;

 

 

 

L

c dt

S

 

HdS 0;

 

 

 

S

 

 

 

 

 

(1.70)

 

 

d

 

 

 

Hdl 1

EdS

4 jdS;

 

L

c dt

S

 

c S

EdS 4 dV.

S

V

1.7. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля. Из урав-

нений Максвелла вытекают законы сохранения энергии и импульса для системы заряженных частиц в электромагнитном поле. Для получения закона сохранения энергии третье из уравнений Максвелла (1.1) умножим скалярно на E, первое уравнение – на H, после чего первое уравнение вычитается из третьего:

E,rot H H,rot E

1

E

 

H

 

4

j,E ,

c

E,

 

H,

 

c

 

 

t

 

t

 

 

В соответствие с еще одной формулой векторного анализа,

b,rot a a,rot b div a,b .

Деля уравнение на 4 и умножая на c, получим:

1

E

 

H

 

c

 

 

 

E,

 

H,

 

div

 

E,H

j,E ;

 

4

4

t

 

t

 

 

 

1

 

2

 

2

 

c

 

 

 

 

 

E

 

H

 

div

 

E,H

j,E .

8 t

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

Введем обозначения

w 81 E2 H 2 ,

P 4c E, H ,

так что уравнение (1.74) примет вид

w div P jE .

t

21

(1.71)

(1.72)

(1.73)

(1.74)

(1.75)

(1.76)

(1.77)

Проинтегрируем его по объему V, ограниченному поверхностью S:

w dV div P dV jE dV ,

(1.78)

V

t

V

 

V

 

 

d

wdV PdS jE dV .

(1.79)

 

dt

 

V

S

V

 

Для интерпретации последнего члена в (1.79) подставим в это выражение плотность тока в виде (1.27):

 

 

 

 

dV ea va ,E .

(1.80)

j,E dV

ea va r ra ,E

V

V

a

 

a

 

Используем еще один экспериментальный факт – выражение для силы Лоренца, которая действует на частицу с зарядом e, движущуюся в электромагнитном полк со скоростью v:

F eE e

v, H .

(1.81)

c

 

 

Как известно, магнитная составляющая силы Лоренца не совершает работы над частицей, поскольку она всегда направлена перпендикулярно к скорости движения частицы. Работу совершает только электрическая составляющая, F eE (см. (1.49)). Следовательно, ea va ,E есть работа, совершаемую электромагнитным полем над заряженной частицей в единицу времени. По закону сохранения энергии, эта работа должна производиться за счет убыли энергии поля. Соответственно, произведение j,E представляет собой работу электромагнитного поля над заряженными частицами в единице объема в единицу време-

ни.

 

 

Для каждой заряженной частицы справедливы уравнения движения

 

 

dpa

Fa .

(1.82)

 

dt

 

 

 

Рассмотрим изменение кинетической энергии частицы Ta :

22

 

 

d

 

2

 

 

 

 

dpa

 

 

dTa

 

 

pa

 

 

 

pa

,

 

va , Fa

 

 

 

 

 

dt

 

dt

2ma

ma

 

dt

(1.83)

 

 

 

 

 

ea

 

 

 

 

 

 

ea va ,E

 

va , va ,H ea va ,E .

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Совершение работы над заряженной частицей приводит к изменению ее кинетической энергии.

Если в (1.78) интегрирование ведется по всему пространству, то интеграл по поверхности S в (1.79) равен нулю (поверхность S в таком случае является бесконечно удаленной, поля на бесконечности обращаются в нуль). Тогда урав-

нение (1.79) с учетом (1.80) и (1.83) примет вид:

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

wdV Ta

0 .

(1.84)

 

 

 

dt V

a

 

 

 

Для замкнутой системы, состоящей из электромагнитного поля и находящихся в нем частиц, сохраняется величина в скобках в (1.84). Второй член в скобках представляет собой кинетическую энергию частиц, следовательно, первый член следует интерпретировать как энергию электромагнитного поля. Изменение кинетической энергии частиц должно компенсироваться изменением энергии электромагнитного поля. Выражение (1.75) является плотностью энергии электромагнитного поля.

При интегрировании по конечному объему интеграл по поверхности в (1.79), вообще говоря, не равен нулю. Уравнение можно записать в виде:

d

 

 

 

 

 

 

 

wdV Ta

PdS .

(1.85)

 

dt V

a

 

S

 

Интеграл в правой части следует рассматривать как поток энергии поля через поверхность, ограничивающую данный объем, а выражение (1.76) – как вектор плотности потока энергии электромагнитного поля, также называемый век-

тором Пойнтинга. Уравнение (1.77), выражающее закон сохранения энергии,

иногда называют уравнением баланса энергии или теоремой Пойнтинга. По

своей структуре это уравнение непрерывности с источником. Если источник

23

(плотность тока j) в уравнении (1.79) равен нулю, мы получаем, что изменение энергии может происходить только за счет ее вытекания или втекания через поверхность S (уравнение непрерывности без источника).

1.8.Закон сохранения импульса для электромагнитного поля. Наряду

сзаконом сохранения энергии, должен выполняться закон сохранения импульса электромагнитного поля. Умножим третье из уравнений Максвелла векторно на H, первое уравнение – векторно на E, второе уравнение умножим скалярно на H, четвертое – скалярно на E. Сложим первое и третье уравнения и вычтем из них второе и четвертое:

H,rot H E,rot E H div H EdivE

 

1

 

E

 

 

 

H

 

4

H, j 4 E;

c

H,

 

 

E,

 

c

 

 

 

 

t

 

 

 

t

 

 

1

 

H

 

 

E

 

 

1

j,H E

 

E,

 

 

 

 

t

,H

c

 

 

4 c

 

t

 

 

 

 

 

 

1 H,rot H H div H E,rot E EdivE 0; 4

(1.86)

(1.87)

Попытаемся разобраться, какой смысл имеют отдельные члены в (1.87). Начнем с членов, содержащих плотность тока j и заряда частиц. Проинтегрируем (1.87) по объему V и, используя формулы

ea r ra ,

(1.88)

a

 

j ea va r ra ,

(1.89)

a

 

преобразуем:

24

 

1

j,H E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ea r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ea va r ra

,H

 

ra E dV

 

V c

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

(1.90)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

va ,H r ra dV E r ra

dV

 

 

ea

 

 

 

 

 

a

 

c V

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e E r

1 e v

a

,H r

 

 

 

F

 

dpa

dp .

 

 

a

 

a

c

a

 

a

 

 

 

a

dt

 

dt

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

Интеграл по объему от этих членов сводится к сумме сил, действующих на каждую частицу со стороны электромагнитного поля (сил Лоренца). В свою очередь, сила, действующая на частицу, представляет собой изменение ее импульса в единицу времени. Суммируя по всем частицам, мы получаем изменение полного импульса системы частиц в единицу времени.

В электродинамике мы делим физические объекты на поля и источники. Наряду с изменением полного импульса частиц в законе сохранения импульса должно присутствовать также изменение импульса поля. В первых двух членах в (1.87) может быть выделена полная производная от величины, которая с точ-

ностью до множителя

1

 

совпадает с вектором плотности потока энергии элек-

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тромагнитного поля (вектором Пойнтинга (1.76)):

 

 

1

 

H

 

E

 

 

d

 

 

1

 

 

 

 

E,

 

 

 

 

 

 

,H dV

 

 

 

 

E,H dV ,

(1.91)

 

 

 

t

 

dt

4 c

 

4 c V

t

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

Π

 

1

E,H

1

 

P .

 

 

(1.92)

 

 

 

 

 

 

4 c

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, величина (1.92) должна быть отождествлена с плотностью импульса электромагнитного поля. Одновременно мы выявили связь между плотностью импульса и плотностью потока энергии электромагнитного поля.

Рассмотрим оставшиеся члены.

25

E,rot E EdivE ei eijk Ej eklm l Em Ei j Ejei il jm im jl Ej l Em Ei j Ej

ei Ej i Ej Ej j Ei Ei j Ej

 

1

i Ej Ej

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

ij Ei Ej

 

ei

2

j Ei Ej ei

j

2

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H,rot H

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

H div H ei j

2

H

ij Hi H j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E,rot E EdivE H,rot H H div H

 

 

 

 

 

1

E

2

H

2

 

 

 

 

 

 

 

 

4 ei j ij

 

ei j

2

 

 

ij Ei Ej Hi H j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

E

2

 

2

ij Ei Ej

 

 

 

 

 

 

 

ij

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

Hi

H j

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.93)

(1.94)

(1.95)

(1.96)

тензор плотности потока импульса, его компоненты (взятые с противопо-

ложным знаком) составляют так называемый тензор напряжений. Соотношение (1.87) после интегрирования по объему принимает вид:

d

 

 

 

 

 

pi i dV

j ij dV 0 .

(1.97)

 

dt

V

 

V

 

Вводя плотность импульса частиц i , запишем закон сохранения импульса в дифференциальной форме:

d

 

 

 

 

 

 

 

i

i dV

j ij dV 0 ;

(1.98)

 

dt V

 

V

 

 

 

 

 

i i j ij 0

(1.99)

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

Последний интеграл в (1.98) может быть преобразован в интеграл по поверхности S, ограничивающей объем V:

d

 

 

 

 

 

 

i i dV

ij dS j 0 .

(1.100)

 

dt V

 

S

 

 

 

 

 

26

 

Он представляет собой поток импульса через поверхность S. Уравнение (1.100) представляет собой интегральную форму закона сохранения импульса.

27

2.Потенциалы электромагнитного поля.

2.1.Связь между потенциалами и напряженностями электромагнит-

ного поля. Ранее при отдельном рассмотрении электрических и магнитных явлений нами были введены скалярный и векторный потенциалы:

E r grad r ,

(2.1)

H rot A .

(2.2)

Соотношение (2.2) справедливо и в общем случае, поскольку следует из второго уравнения Максвелла, div H 0 , и известной формулы векторного анализа

(1.23).

Соотношение (2.1) и еще одна формула векторного анализа, (1.13), привели нас к уравнению (1.14), справедливому в случае электростатики. В общем же случае rot E 0 , согласно первому из уравнений Максвелла (1.56). Подставляя (2.2) в (1.56) и меняя порядок дифференциальных операций, получим:

 

1 A

0;

rot E

 

 

c t

 

E 1 A grad .

c t

E grad 1c At .

(2.3)

(2.4)

(2.5)

2.2. Неоднозначность определения потенциалов. Калибровочные пре-

образования. Отметим, что потенциалы и A определяются неоднозначно. В самом деле, значения напряженностей электрического и магнитного полей не изменятся, если выполнить преобразования

 

1

r, t

 

 

 

r, t r, t c

 

;

(2.6)

t

 

A r, t A r, t grad r, t .

(2.7)

Проверим:

28

E grad

1 A

 

1

 

1 A

1

 

c

t

grad c grad

t

c t

c

 

grad

 

t

(2.8)

grad 1 A

E;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H rot A rot A rot

grad r, t rot A H .

(2.9)

Так как в уравнения Максвелла входят только напряженности электрического и магнитного полей, система уравнений Максвелла инвариантна относительно преобразований (2.6), (2.7). Преобразования (2.6), (2.7) называются ка-

либровочными преобразованиями.

2.3. Четырехмерная формулировка электродинамики. Тензор элек-

тромагнитного поля. Для дальнейшего анализа роли потенциалов в электродинамике удобно использовать систему обозначений, принятую в специальной теории относительности, где пространство и время объединены в единый четырехмерный континуум с координатами t, x, y, z . Эти четыре координаты, включая временную, можно рассматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора

x : 0, 1, 2, 3 , x0 ct, x1 x, x2 y, x3 z . (2.10)

В специальной теории относительности интервал (расстояние) между двумя бесконечно близкими точками (событиями) в пространстве-времени оп-

ределяется как

 

ds2 c2 dt2 dx2 dy2 dz2 .

(2.11)

Соответственно, квадрат четырехмерного радиус-вектора есть

 

c2t2 x2 y2 z2 .

(2.12)

Для записи формул удобно ввести так называемые контравариантные (с индексами сверху) и ковариантные (с индексами снизу) компоненты 4-вектора:

x : x0 x0 ct, x1 x1 x, x2 x2 y, x3 x3 z . (2.13)

При этом

29

 

def

3

 

 

 

x x

 

x x c2t2 x2

y2

z2 .

(2.14)

0

(В дальнейшем всюду предполагается суммирование по повторяющимся индексам).

Эти определения обобщаются для произвольного 4-вектора, который имеет одну временную и три пространственных компоненты:

A , A :

A0 A0 ,

A1 A1 ,

A2

A2 ,

A3 A3 .

(2.15)

 

A A0 , A ,

A

A0 ,

A .

 

(2.16)

Для двух 4-векторов A , B

определяется скалярное произведение:

 

A B g A B A0 B0 A1B1

A2 B2 A3 B3 ,

(2.17)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

0

 

 

 

 

 

 

0

1

0

0

 

 

 

 

g

 

 

 

(2.18)

 

 

 

0

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

1

 

 

метрика пространства-времени Минковского.

Спомощью метрического тензора g производится поднятие и опуска-

ние индексов:

A g A ,

A g A .

g – обратная метрика по отношению к метрике g :

 

 

1

0

 

0

0

 

 

 

0

1

0

0

 

g

 

 

 

 

0

0

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

0

1

 

g g

,

 

 

(2.19)

(2.20)

(2.21)

Как мы увидим, скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля могут быть объединены в четырехмерный вектор-потенциал:

30

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]