5. Расчет показателей корреляции

Цель – научить студентов основным способам расчета показателей корреляции.

В отличие от функциональной связи, когда одному значению аргумента (х) соответствует определенное значение функции (у), при корреляционной связи – одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное, или некоторое множество значений функции. Близость этого множества значений функции друг к другу соответствует понятию силы или тесноты корреляционной связи.

Биологические объекты всегда в той или иной степени неоднородны по своим наследственным особенностям и, кроме того, в любом, даже тщательно спланированном эксперименте его объекты испытывают не учитываемые воздействия факторов внешней среды.

При изучении корреляционных связей возникают два основных вопроса – о тесноте связи и о форме связи. Для измерения тесноты и формы связи используют специальные статистические методы, называемые корреляцией и регрессией. По форме корреляция может быть линейной и криволинейной, по направлению прямой и обратной. В пособии рассматривается только случай линейной корреляции как наиболее простой.

Под линейной корреляцией между двумя признаками X и Y понимают такую зависимость, которая носит линейный характер и выражается уравнением прямой линии Y = a + bX. Это уравнение называется уравнением регрессии Y по X, а соответствующая ему прямая линия – выборочной линией регрессии.

Пример 5.1. Изучали зависимость между массой тела гамадрилов-матерей и их новорожденных детенышей. Под наблюдением находилось 20 обезьян. Результаты наблюдений приведены в первых двух столбцах таблицы.

Масса тела матерей , кг	Масса тела детенышей , кг
10,0	0,70	–1,87	0	0
10,8	0,73	–1,07	0,03	–0,0320
11,3	0,75	–0,57	0,05	–0,0285
10,0	0,70	–1,87	0	0
10,1	0,65	–1,77	–0,05	0,0885
11,1	0,65	–0,77	–0,05	0,0385
11,3	0,70	–0,57	0	0
10,2	0,61	–1,67	–0,09	0,1503
13,5	0,70	1,63	0	0
12,3	0,63	0,43	–0,07	–0,0301
14,5	0,70	2,63	0	0
11,0	0,65	–0,87	–0,05	0,0435
12,0	0,72	0,13	0,02	0,0026
11,8	0,69	–0,07	–0,01	0,0070
13,4	0,78	1,53	0,08	0,1224
11,4	0,70	–0,47	0	0
12,0	0,60	0,13	–0,10	–0,0130
15,6	0,85	3,73	0,15	0,5595
13,0	0,80	1.13	0,10	0,1130
12,1	0,75	0,23	0,05	0,0115
= 237,4	14,06			+1,0332

Необходимо установить тесноту и направление связи между этими признаками.

Для этого наиболее приемлемой статистикой является коэффициент корреляции, который вычисляется по формуле:

Коэффициент вариации это отвлеченное число, лежащее в интервалах от – 1 до + 1. При независимом варьировании признаков, когда связь между ними полностью отсутствует, = 0. Чем сильнее сопряженность между признаками, тем выше значение коэффициента корреляции. При положительной или прямой связи, когда большим значениям одного признака соответствует большее же значение другого, коэффициент корреляции имеет положительный знак, при отрицательной или обратной связи, когда большим значениям одного признака соответствуют меньшие значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным знаком.

Для расчета коэффициента корреляции нам необходимо найти значения средних арифметических для анализируемой пары признаков. Они равны = 11,87 и= 0,70.

Далее находим значения средних квадратических отклонений, по формулам известным из предыдущих модулей задачника. Они равны = 1,516 и= 0,063.

Рассчитаем значение . Оно равно + 1,0332. Подставим полученные промежуточные статистики в формулу:

Таким образом, полученная величина эмпирического коэффициента вариации указывает на наличие положительной средней силы корреляционной связи между массой тела гамадрилов матерей и массой тела их детенышей.

Эмпирический коэффициент корреляции служит оценкой своего генерального параметра (генерального коэффициента корреляции ) и как величина случайная сопровождается ошибкой:

=0,198

Отношение выборочного коэффициента корреляции к своей ошибке служит критерием для проверки нулевой гипотезы – предположения, что в генеральной совокупности этот показатель равен нулю, т.е. = 0. Нулевую гипотезу отвергают на принятом уровне доверительной вероятности, если:

Рассчитаем фактический критерий Стьюдента:

.

По таблице значений критерия Стьюдента находим приk = 20 –1 = 18 и P = 95%, который равен 2,10.

Таким образом, нулевая гипотеза отвергается при доверительной вероятности P = 95%.

После того как установлено наличие корреляционной связи между двумя изученными признаками, можно установить закономерность количественного изменения одного из признаков (функция) при изменении другого (аргумент). С этой целью изучаемую связь выражают аналитически – в виде соответствующего уравнения регрессии и графически – с вычислением точек теоретической кривой по найденному уравнению.

Пример 5.2. Необходимо рассчитать уравнение линейной регрессии отражающую зависимость между массой тела гамадрилов-матерей и их новорожденных детенышей и выразить его графически (по данным примера 1).

Уравнение регрессии может быть записано следующим образом:

и , где– свободный член уравнения,b – коэффициент регрессии, определяющий наклон линии регрессии по отношению к осям прямоугольных координат. Коэффициент регрессии показывает, насколько в среднем величина одного признака изменяется на единицу меры другого. Этот показатель определяется по формуле:или.

Найдем значение .

Используя уравнение, найдем значение, подставив в формулу ранее найденные значения средних арифметических обоих признаков и значение коэффициента регрессии:откуда= 0,70 – 0,267 = 0,433

В результате уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом:

Графическое выражение рассчитанной регрессии представлено на рисунке.

На рисунке прямая – теоретическая линия прямолинейной регрессии расположена на фоне эмпирических значений функции.

Ошибка уравнения прямолинейной регрессии (ли криволинейной) вычисляется по формуле:, гдеy – эмпирическое значение функции;– теоретическое значение функции;n – число точек эмпирической линии регрессии; k – число коэффициентов уравнения, включая свободный член (для линейной регрессии 2).

Необходимые для определения ошибки регрессии, предварительные расчеты приведены в таблице

Масса тела матерей	Масса тела детенышей	Теоретические значения функции
10,0	0,70	0,658	0,002
10,8	0,73	0,676	0,003
11,3	0,75	0,687	0,004
10,0	0,70	0,658	0,002
10,1	0,65	0,660	0,0001
11,1	0,65	0,683	0,001
11,3	0,70	0,687	0,0003
10,2	0,61	0,663	0,003
13,5	0,70	0,737	0,001
12,3	0,63	0,710	0,006
14,5	0,70	0,759	0,004
11,0	0,65	0,681	0,001
12,0	0,72	0,703	0,0003
11,8	0,69	0,699	0,0001
13,4	0,78	0,735	0,002
11,4	0,70	0,690	0,0001
12,0	0,60	0,703	0,011
15,6	0,85	0,784	0,066
13,0	0,80	0,726	0,0006
12,1	0,75	0,705	0,002
			0,1115

Подставим полученные результаты в формулу.

Коэффициент регрессии – основной параметр уравнения прямой линии, поэтому необходимо оценивать достоверность отличия коэффициента b от нуля (:b = 0).

Критерий Стьюдента рассчитывается по формуле: , где– коэффициент при аргументе в уравнении прямой линии;– среднее квадратическое отклонение ряда аргумента;– ошибка уравнения регрессии;n – объем выборки (количество пар).

Фактическое значение коэффициента Стьюдента сравнивается спри числе степеней свободыk = n – 2; если вычисленная величина больше табличной, то связь между x, y и значение достоверны, а если вычисленная меньше табличной величины, то связь данных признаков и значениенедостоверны. Для данного примера

По таблице при P = 95% = 2,093, так как, нулевая гипотеза остается в силе. Действительно, для таких экспериментов выборка объемом 20 объектов является недостаточной.

Пример 5.3. Требуется объективно подобрать из числа опытных специалистов группу экспертов для оценки сортов декоративных растений. Для этого двум специалистам предлагается оценить 13 сортов одной цветочной культуры. Оценка ведется по комплексу признаков и выражается в виде суммы балов.

В этом случае может быть использован показатель корреляции рангов по Спирмэну. Сила корреляционной связи между двумя признаками при помощи этого показателя измеряется в основном для небольших невзвешенных рядов, которые представляют собой качественные оценки признаков.

Необходимые данные для расчета показателя корреляции рангов между оценками двух экспертов приведены в таблице.

Сумма баллов первого эксперта, х	Сумма баллов второго эксперта, у	Ранг, х	Ранг, у	Разность рангов,
72	62	1	10	9	81
67	60	2	12	10	100
64	70	3,5	3,5	0	0
64	72	3,5	1	2,5	6,25
63	57	5	13	8	64
56	61	6	11	5	25
54	68	7	5	2	4
53	66	8,5	6	2,5	6,25
53	65	8,5	7	1,5	2,25
52	64	10	8	2	4
44	70	11	3,5	7,5	56,25
34	63	12	9	3	9
33	71	13	2	11	121

Показатель корреляции рангов по Спирмэну рассчитывается по формуле:

, где n – число пар вариант корреляционных рядов, – сумма квадратов попарных разностей рангов.

Последовательность действий при расчете показателя корреляции рангов следующая:

Ранжируем данные рядов Х и У от большего к меньшему, присваивая вариантам порядковый номер. Варианта 72 ряда Х получает ранг 1, варианта 67 – ранг 2, варианты 64 и 64 должны были бы получить ранги 3 и 4, но так как они имеют равное значение, то берется средний ранг для обеих вариант: (3+4)/2 = 3,5. Остальные ранги рядов присваиваются по аналогии и представлены в таблице;

Получаем разность рангов без учета их знаков;

Возводим разности в квадрат и суммируем, получаем = 479;

Подставляем полученные значения в формулу

= – 0,32.

Достоверность показателя корреляции рангов оценивается по формуле

.

Подставим имеющиеся данные и найдем . ПриР = 95% и k = n -- 2 = 13 – 2 = 11, =2,201.

Следовательно, полученный показатель корреляции рангов статистически недостоверен и кандидаты на должность эксперта не подходят или не подходит один из них.

Пример 5.4. Необходимо установить связь между плодовитостью самок кролика в системе «родители – дети»

Число детенышей в помете у «матерей», х	Число детенышей в помете у «дочерей», у	Ранг, х	Ранг, у	Разность рангов,
12	10	1	2	1	1
10	13	2	1	1	1
8	8	3	3	0	0
7	6	4	5	1	1
4	7	5	4	1	1

В этом случае показатель наследуемости может служить коэффициент корреляции рангов Спирмэна, способ расчета которого приведен в примере 3.

Подставим имеющиеся значения в формулу: == +0,80. Полученный коэффициент указывает на тесную и прямую зависимость между плодовитостью «матерей» и «дочерей».

Достоверность показателя наследуемости (корреляции рангов) оценим по формуле. Подставим имеющиеся данные и найдем. ПриР = 95% и k = n – 2 = 5 – 2 = 3, = 3,182. Так как, >, нулевая гипотеза отвергается и связь между плодовитостью «матерей» и «дочерей» считается статистически доказанной.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое корреляция?

2. Какая разница между корреляционной и функциональной зависимостью?

3. Какая разница между положительной и отрицательной корреляциями?

4. Что такое корреляционная решетка? Объясните как она строится. Можно ли судить о характере корреляции по расположению данных в корреляционной решетке?

5. Каковы возможные значения коэффициента корреляции? Какие значения коэффициента корреляции следует считать высокими, средними и почему?

6. Всегда ли при r= 0 корреляционная связь отсутствует?

7. Чему равен коэффициент корреляции при полной корреляционной связи?