4. Статистические гипотезы и их проверка

Цель – научить студентов методам проверки статистических гипотез.

В биологии часто возникает необходимость провести сравнение генеральных параметров различных совокупностей по разности, наблюдаемой между сравниваемыми выборками. О преимуществе той или иной из сопоставляемых совокупностей судят по разности между средними долями и другими выборочными показателями. В области биометрии широкое применение получила так называемая нулевая гипотеза (). Сущность ее сводится к предположению, что разница между генеральными параметрами сравниваемых групп равна нулю и имеющиеся различия носят случайный характер. Существует ряд статистических методов для проверки данной гипотезы.

Пример 4.1. Сравнивали массу взрослых индеек двух пород после одинакового откорма. По выборкам получены следующие сводные показатели:

Группа	Объем выборки, n	Средняя арифметическая,	Дисперсия,
Порода 1	20	4,0 ± 0,3	1,8
Порода 2	20	4,6 ± 0,4	3,2

Требуется установить, является ли наблюдаемые различия статистически достоверными или носят случайный характер, т.е. сравнить генеральные параметры совокупностей.

Решение задачи необходимо начинать со сравнения генеральных дисперсий, так как в зависимости от того равны они или нет используются разные подходы для сравнения генеральных средних.

Выдвигаем нулевую гипотезу :

Выбираем уровень доверительной вероятности P = 95%

Сравнение дисперсий производим следующим образом:, гдеF критерий Фишера. За всегда берется большее значение, т.е. критерий Фишера не может быть меньше единицы. Рассчитываем фактический критерий Фишера.

Находим для каждой дисперсии число степеней свободы: = 20 – 1= 19;= 20–1 =19. По таблице «Значение критерияF при различных доверительных уровнях» находим значение стандартного критерия Фишера , которое равно 2,21. Если>, то нулевая гипотеза остается в силе, в случае когда<опровергается. Так как 2,21 больше, чем 1,78 испытанные породы индюшек по изменчивости массы достоверно не различаются приP = 95% (вернее сказать, что разность между изменчивостью массы индюшек статистически не доказана).

Предположив, что генеральные дисперсии двух статистических совокупностей равны (или отличаются не значительно), переходим к сравнению средних арифметических.

Выдвигаем нулевую гипотезу :.

Достоверность разности между выборочными средними оценивается с помощью критерия Стьюдента по формуле:

, где – фактический критерий Стьюдента; и– сравниваемы выборочные средние арифметические;ивозведенные в квадрат статистически ошибки средних арифметических. Подставим имеющиеся значения в формулу. Получаем, что

Находим число степеней свободы для определения стандартного значения критерия Фишера, которое вычисляется по формуле k = . По таблице «Значения критерия Стьюдента» приP = 95% 2,021. Так как,<, нулевая гипотеза остается в силе. В ходе эксперимента не удалось статистически доказать разность между породами по массе. Осталось неизвестным, с чем связано различие между выборочными средними арифметическими (действительным различием между породами или случайными причинами).

Эта задача может быть решена и другим способом – путем сопоставления доверительных интервалов генеральных средних (смотри пример 3.1). В рассматриваемом случае доверительные интервалы для первой и второй генеральной средней равны: 3,374,63 и 3,765,44 соответственно. Поскольку они перекрываются, нулевая гипотеза остается в силе.

Пример 4.2. Предыдущее исследование было повторено на большем массиве особей. Полученные новые сводные показатели следующие:

Группа	Объем выборки, n	Средняя арифметическая,	Дисперсия,
Порода 1	100	4,1 ± 0,1	1,0
Порода 2	100	4,7 ± 0,1	1,0

Выдвигаем нулевую гипотезу :

Выбираем уровень доверительной вероятности P = 95%

Рассчитываем фактический критерий Фишера .

Находим для каждой дисперсии число степеней свободы: = 100 – 1= 99;= 100 -1 =99. По таблице «Значение критерияF при различных доверительных уровнях» находим значение стандартного критерия Фишера , которое равно 1,43. Так как>, нулевая гипотеза остается в силе.

Переходим к сравнению средних арифметических.

Выдвигаем нулевую гипотезу :.

Рассчитываем фактическое значение критерия Стьюдента по выше приведенной формуле .

Находим число степеней свободы для определения стандартного значения критерия Фишера, которое вычисляется по формуле k = 100 + 100 – 2 = 198. По таблице «Значения критерия Стьюдента» при P = 95% 1,96, а при P = 99,9% (наивысшем уровне доверительной вероятности) 3,291.

Так как, >даже при наивысшем уровне доверительно вероятности, нулевая гипотеза опровергается.

Решим задачу вторым способом – через доверительные интервалы, взяв за уровень доверительной вероятности P = 95%. При k = 99, = 1,982. В рассматриваемом случае доверительные интервалы для первой и второй генеральной средней равны: 3,904,30 и 4,504,90 соответственно. В отличие от примера 14 они не перекрываются. Совершенно очевидно, что увеличение выборки привело к значительному увеличению точности эксперимента. Полученная разность оказалась достоверна с высшей надежность, значит, можно с уверенностью заключить, что индейки второй породы в среднем имеют большую массу, чем индейки первой породы.

Пример 4.3. Требуется сравнить урожайность двух сортов нута за десять лет наблюдений. Результаты наблюдений и их первичная статистическая обработка приведены в таблице.

Год	Урожайность в ц/га		Разница
	Сорт 1	Сорт 2
1956	28,0	25,7	2,3	-1,3	1,69
1957	21,3	12,2	9,1	5,5	30,3
1958	30,0	15,0	15,0	11,4	129,96
1959	15,0	18,0	-3,0	-6,6	43,56
1960	22,0	16,7	5,3	1,7	2,89
1961	18,1	17,1	1,0	-2,6	6,76
1962	16,6	17,0	-0,4	-4,0	16
1963	18,0	16,0	2,0	-1,6	2,56
1964	22,1	19,2	2,9	-0,7	0,49
1965	22,0	20,0	2,0	-1,6	2,56
Сумма	213,1	176,9	36,2	–	236,77
Среднее	21,3	17,7	3,6	–	–

В таблице приведены выборки с попарно связанными вариантами – несомненно каждый год имел свои специфические условия, которые одинаково влияли на урожай нута обоих сортов. В этом случае оценкой разности между генеральными средними будет средняя разность, определяемая из суммы разностей между попарно связанными вариантами сравниваемых выборок, т.е.

Оценкой генеральной дисперсии разности генеральных средних будет выборочная дисперсия

; = 5,13

Ошибка средней разности равна:

Находим критерий . Находим число степеней свободы для определения стандартного значения критерия, которое вычисляется по формулеk = n – 1 = 10 – 1 = 9. По таблице «Значения критерия Стьюдента» при P = 95% 2,26. Так как,<нулевая гипотеза остается в силе.

Таким образом нам не удалось доказать наличие статистически достоверной разности между урожайностью испытанных сортов нута по годам.

Пример 4.4. Изучалось влияние обработки сернистым газом на степень заражения фомозом корнеплодов моркови. При обработке сернистым газом заболело 82 из 1098 корнеплодов, без обработки – 639 из 1008. Таким образом, в опыте n = 1098 p = 7%, в контроле = 1008,= 63%. Требуется оценить разность между долями в контроле и опыте.

Оценкой разности между генеральными долями служит разность между выборочными долями. Ошибка разности между долями рассчитывается по формуле, гдеq = 1 – p или q = 100% – p. Отношение этой разности к своей ошибке дает величину критерия Стьюдента .– гипотезу, или предположение о том, чтоотвергается, если, для, при принятом уровне доверительной вероятности.

В рассматриваемом примере d = 63 – 7 = 56%. Ошибка разности между долями равна . Фактический критерий Стьюдента равенСтандартный критерий Стьюдента приk = 1098 + 1008 – 2 = 2104 и уровне доверительной вероятности 99,9% равен 3,291.

Так как, при наивысшем уровне доверительной вероятности нулевая гипотеза отвергается. Обработка сернистым газом статистически достоверно снижает уровень заболеваемости фомозом корнеплодов моркови.

Пример 4.5.Определение урожайности озимой пшеницы на 10 пробных площадях фермерского хозяйства дала следующие результаты: 35, 41, 39, 37, 45, 43, 36, 40, 42, 44 ц/га. Можно ли ожидать урожайность по всему хозяйству 43 ц/га, и какова вероятность этого события.

В данном случае требуется провести сравнение среднего арифметического выборки с гипотетическим значением генеральной средней. Предполагаем, что генеральная средняя равна конкретному числу а (в нашем случае 43), т.е. .

Фактический критерий Стьюдента рассчитывается по формуле: , где– выборочная средняя арифметическая;а – конкретное число, которому равна гипотетическая генеральная средняя; – статистическая ошибка средней арифметической.

Рассчитываем значение средней арифметической = 40,2 ц/га

Находим значение дисперсии и среднего квадратического отклонения = 11,73;= 3,42.

Ошибка средней арифметической равна = 1,08 ц/га

Находим фактический критерий Стьюдента .

По таблице «Значения критерия Стьюдента» для доверительных вероятностей P = 95%; 99%; 99,9% при k = 10–1 = 9 находим соответствующие значения критерия =. Получаем, что>приР = 95%, однако при Р = 99% <.

Таким образом, в целом по фермерскому хозяйству можно ожидать урожай озимой пшеницы равный 43 ц/га с доверительной вероятностью 95%.

Пример 4.6. Собранный с шести опытных делянок урожай зерна ржи варьировал следующим образом: 21,9; 24,6; 20,8; 25,1; 30,8; 23,2. Из приведенных данных выделяется варианта = 30,8. необходимо проверить гипотезуо принадлежности сомнительной варианты к данной генеральной совокупности.

Находим характеристики выборки: = 24,4;= 62,14;= 3,53.

Рассчитываем фактический критерий Стьюдента =, гдесомнительная варианта (дата).=. В таблице дляР= 95% при k = 5 находим = 2,57.

Так как, <нулевая гипотеза остается в силе и сомнительная варианта не может быть выбракована из выборочной совокупности.

Вопросы для самоконтроля

1. Как формулируется нулевая гипотеза при сравнении двух средних арифметических?

2. Что такое критерий F?

3. В чем заключается нулевая гипотеза при сравнении дисперсий?

4. Можно ли считать достоверным различие между дисперсиями, если фактическое значение F больше табличного? Если оно меньше табличного?

Задачи для самостоятельного решения.

1. У серебристо-черных лисиц в одной из подмосковных звероферм в течение ряда лет подсчитывалось количество желтых тел в яичниках:

1935 г.	5	3	8	4	6	4	5	9	5
	5	4	3	5	5	5	5	7	4
	5	7	5	3	3	5	4	5	4
1962 г.	6	7	4	5	5	6	7	5	6	8
	7	7	5	6	4	5	7	5	6	4
	5	7	6	5	5	5	6	6	6	5
	6	8	7	7	6	6	6	7	7	6
	5	9	8	8	5	8	5	6	7

Можно ли утверждать, что различие по числу желтых тел на самку по годам достоверно? (30 баллов).

2. Были получены следующие данные о массе тушканчиков (Dipus aegiptis):

Масса самцов, г	186	190	165	182	182	182	180
	173	157	179	164	146	173	144
	156	156	165	160	160	161	144
	153	152	151	173
Масса самок, г	162	163	190	188	147	146	145
	157	162	186	157	147	145	145
	155	174	180	148	175	145	144
	153	165	141	164

Отличаются ли достоверно (Р= 0,99) самки от самцов по массе? Можно ли считать, что средняя масса самцов не превышает 200 г, а самки – 190 г? (35 баллов).

3. Был проведен опыт по подкормке 32 свиноматок препаратом афаромом, содержавшим железо и медь, в целях уменьшения процента мертворожденных поросят. От каждой матки получили один опорос, когда добавляли в корм афаром, и один опорос контрольный, когда добавки препарата не было. Маток скрещивали всегда с одними и теми же производителями. Получены следующие результаты:

№	Мертворожденных поросят, %		№	Мертворожденных поросят, %
	Опыт	Контроль		Опыт	Контроль
1	0	8,3	12	11,1	0
2	0	12,5	13	11,1	0
3	0	9,1	14	0	25,0
4	18,2	22,2	15	0	9,1
5	0	10,0	16	0	14,3
6	25,0	33,3	17	0	35,7
7	10,0	0	18	0	63,6
8	11,0	0	19	0	9,1
9	0	16,7	20	0	10,0
10	0	28,6	21	22,2	40,0
11	0	25,0	22-32	0	0

Установите, достоверно (Р= 0,99) ли влияние препарата афарома на процент мертворожденных поросят? (50 баллов)

4. В опыте по откорму 16 баранов получали ежедневно в качестве подкормки по 5 грамм фосфорной муки, 16 других баранов примерно того же возраста, веса и происхождения были контрольными. Суточный привес был следующим (в граммах):

Опыт	234	277	214	201	174	167	184	157
Контроль	183	154	175	159	157	189	198	165
Опыт	173	190	191	141	150	191	173	196
Контроль	124	173	182	204	151	147	124	176

Влияет ли подкормка на вес баранов достоверно (Р= 0,99)? Можно ли считать, что в опытной группе прибавку в 350 г ожидать не обосновано? (35 баллов).

5. При изучении суточных привесов 30 ягнят происходящих от двух разных производителей были получены следующие результаты:

Масса ягнят от производителя А, гр.	124	151	196	141	174	201	147	157
	183	150	198	191	154	173	157	159
Масса ягнят от производителя В, гр.	234	167	189	165	175	190	176
	173	184	277	214	182	191	204

Можно ли утверждать, что разные отцы достоверно (Р= 0,99) влияют на массу тела потомков? (30 баллов)

6. Температура тела у самцов и самок тушканчиков оказалась следующей:

Температура самцов, °С	37,5	37,9	37,4	37,8	36,8	37,8	37,5
Температура самок, °С	37,8	38,1	37,0	37,5	37,7	37,8	37,6

Можно ли утверждать, что отличие по температуре тела самцов от самок достоверно? (30 баллов).

7. У баранов мериносной породы были произведены промеры длины рогов:

Длина рогов годовалых баранов, см	47	53	50	56	49	52	51	58	55
	50	48	51	51	48	60	51	57	57
	51	54	52	58	50	51	51	58	53
	52	49	59	61	50	52	51	63	62
	51	54	52	58	50	51	51	58	53
	52	49	59	61	50	52	51	63	62
	54	53	54	68	54	63	64	57	57
	60	57	60	69	57	56	54	54	55
	61	59	57	70	58	57	55
Длина рогов трехлетних баранов, см	83	87	89	77	80	78	82	75	73
	71	76	86	90	84	88	72	73	68
	72	75	74	81	91	85	79	78	69
	68	73	68	71	75	71	76	72	66
	63	65	66	69	73	69	71	72	67
	70	64	51	67	70	66	62	65

Можно ли считать, что бараны годичного и трехлетнего возраста достоверно различаются по длине рогов? (30 баллов).

8. Были проведены замеры количества молока за лактацию у 12 черно-пестрых коров и их потомства полученного от одного производителя. Получены следующие данные о количестве молока за лактацию и его жирности у коров-матерей и коров-дочерей:

Коровы-матери		Коровы-дочери
Количество молока, кг	Жирность, %	Количество молока, кг	Жирность, %
1983	3,25	3509	5,29
3674	3,81	3110	6,04
3976	2,96	3181	5,24
3391	3,24	2997	5,25
4344	2,82	2991	5,14
3784	2,83	3720	4,72
3628	2,79	3268	4,54
3957	3,08	3595	4,97
2185	3,01	2939	5,13
4980	3,23	3213	4,98
2709	3,68	3240	5,58
2807	2,96	3388	4,81

Сравните удои и жирность молока коров-дочерей и коров-матерей при помощи t-критерия Стьюдента (30 баллов).

9. Для 7 коров известны следующие данные об их убойной массе (в кг) в теплом состоянии (x) и после охлаждения (y):

х	322,6	250,6	287,3	408,1	338,0	213,5	323,3
у	318,9	247,0	279,7	403,0	334,7	209,3	319,2

Определите, приводит ли охлаждение туш коров к достоверному снижению их массы? (30 баллов).

10. Изучали влияние кобальта на массу тела кроликов. Опыт проводили на двух группах животных: опытной и контрольной. Были исследованы кролики в возрасте от полутора до двух месяцев, массой тела 500-600 г. Опыт продолжался полтора месяца. Животных обеих групп содержали на одном и том же кормовом рационе. Однако опытные кролики в отличие от контрольных ежедневно получали добавку к рациону в виде водного раствора по 0,06 г. хлористого кобальта на 1 кг массы тела. За время опыта животные дали следующие прибавки живой массы тела:

Привес, г
Опыт	Контроль
580	504
692	560
700	420
621	600
640	580
561	530
680	490
630	580
	470

Можно ли утверждать, что кобальт достоверно влияет на массу тела кроликов? Можно ли ожидать прибавку массы у кроликов в контрольной группе 800 гр.? (35 баллов).

11. В опыте по изучению биологической ценность белков земляного ореха в зависимости от его термической обработки использовалось 10 пар крыс из разных пометов. Одной крысе из пары скармливались сырые орехи, другой – жареные. В возрасте 4 месяцев масса тела у питавшихся сырыми и жареными орехами крыс по парам была следующая: 61 и 55; 60 и 54; 56 и 47; 63 и 59; 56 и 51; 63 и 61; 59 и 57; 56 и 54; 44 и 63; 61и 58. Достоверна ли разница в массе тела крыс, имевших разный пищевой рацион? Какой метод можно применить для установления ошибки разности? На сколько изменятся результаты, если исключить резко отличающуюся от остальных пару данных 44 и 63? Достаточны ли полученные данные для того, чтобы можно было сделать какой-либо вывод? (45 баллов).

12. На двух группах лабораторный мышей – опытной (n₁= 9) и контрольной (n₂= 11) изучали воздействие на организм нового препарата. После месячных испытаний масса тела животных варьировала следующим образом:

Масса опытных мышей, гр.	80	76	75	64	70	68	72	79	83
Масса контрольных мышей, гр.	70	78	60	80	62	68	73	60	71	66	69

Оцените, влияет ли новый препарат на массу тела мышей? (35 баллов).

13. При определении рН почвы РН-метром применяли 2 типа электродов. При использовании первого, показания рН были: 5,78; 5,74; 5,84; 5,80 при использовании второго – 5,82; 5,87; 5,96; 5,89 соответственно. Зависит ли точность измерения рН от типа электрода РН - метра? (30 баллов).

14. Проверяли устойчивость к раздавливанию зрелых зерен кукурузы двух сортов. Для первого сорта были получены следующие данные (в усл. единицах давления): 42, 50, 36, 34, 45, 56, 42, 53, 25, 65, 33, 40, 39, 43, 42; для второго – 43, 44, 51, 40, 29, 49, 39, 59, 43, 48, 67, 44, 46, 54, 64. Проверьте, достоверна ли разность по этому признаку между двумя сортами?(25 баллов).

15. Для изучения влияния рационов с добавкой 10 мкг витамина В₁₂на рост свиней было составлено попарно 8 групп, в каждой из которых было по 6 голов. Средние суточные привесы в фунтах (на 100 фунтов живого веса) представлены в следующей таблице:

Рационы	Группа
	1	2	3	4	5	6	7	8
cВ12	1,6	1,68	1,75	1,64	1,75	1,79	1,78	1,77
без В12	1,56	1,52	1,52	1,49	1,59	1,56	1,60	1,56

Оцените, влияет ли витаминная добавка на рост свиней? Какова достоверность разницы? Можно ли ожидать суточную прибавку массы тела у свиней равной 2 фунта в группе с витаминной добавкой? (30 баллов).

16. Имеются следующие данные об удоях 12 коров-матерей и их дочерей по полновозрастным лактациям (в кг):

Коровы-матери	3770	3817	2450	3463	3500	5544
	3112	3150	3118	3018	4291	3463
Коровы-дочери	2991	4593	3529	4274	3103	3947
	3491	3559	2916	4580	4510	4144

Можно ли утверждать, что удои коров-матерей и коров-дочерей различаются достоверно? Какой метод сравнения можно применить? (50 баллов).

17. Был получен следующие интервальные вариационные ряды распределения по длине хвоста (мм) для двух выборок оленьих мышей Peromyscus maniculatus, взятых из географически отдаленных мест:

Классы	Выборка		Классы	Выборка
	Айова	Сев. Дакота		Айова	Сев. Дакота
52-53	1	0	66-67	2	11
54-55	3	1	68-69	1	10
56-57	11	2	70-71	0	5
58-59	18	2	72-73	0	7
60-61	21	3	74-75	0	2
62-63	20	8	76-77	0	2
64-65	9	25

Достоверна ли разница между мышами по длине хвоста из штатов Айова и Северная Дакота? (30 баллов).

18. Для определения содержания хлора (%) в химическом соединении были применены методы А и В. Результаты: при методе А – 27,5; 27,0; 27,3; 27,6; 27,8; при методе В – 27,9; 26,5; 27,2; 26,3; 27,0; 27,4; 27,3; 26,8. Примените критерий Фишера (F) для установления разницы между дисперсиями данных полученных этими методами (20 баллов)

19. Получены следующие данные о длине крыльев (мм) у представителей 3 видов скворцов (Sturnus) из Индии:

Sturnus contra	120	120	121	122	123	122	125	126	126	125	122
S. fuscus	122	127	125	128	127	122	129	127
S. ginginiamus	129	123	128	125	126	127	129	125	124	129	128
	127	127

Оцените, достоверна ли разница между средними длин крыльев трех видов скворцов? (30 баллов).

20. Для мужчин возраста от 25 до 30 лет среднее квадратическое отклонение их роста 4,5 см. Для выборочной группы спортсменов среднее квадратическое отклонение – 3,5 см. Случайно ли отклонение в величине выборочного среднего и квадратического отклонения по росту у спортсменов от генерального параметра популяции при P= 95%? (35 баллов).

21. Средний процент жира в молоке за лактацию коров холмогорских помесей был следующим: 3,4; 3,6; 3,2; 3,1; 2,9; 3,7; 3,2; 3,6; 4,0; 3,4; 4,1; 3,8; 3,4; 4,0; 3,3; 3,7; 3,5; 3,6; 3,4; 3,8. Можно ли ожидать, что средний процент жира в молоке коров холмогорских помесей при доверительной вероятности 95% будет равен 3,6%? (30 баллов).

22. Для взрослых мужчин в возрасте от 25 до 35 лет ранее рассчитано, что их средний рост равен 168,2 см, а среднее квадратическое отклонение 4,5 см. При обследовании 150 мужчин средний рост был равен 167 см, а среднее квадратическое отклонение 6 см. Случайно ли отклонение в росте и величине варьирования по росту у обследуемой группы (при P₁= 0,95,P₂= 0,99)? В каких пределах находитсяD[x]приP₁= 0,99 иP₂= 0,95? (40 баллов).

23. Распределение кальция в сыворотке крови обезьян характеризуется следующими выборочными показателями: = 11,94 мг%,σ= 1,27 мг%. При обследовании опытной группы (n= 30), = 11,00 мг%,σ= 1,1 мг%. Случайно ли отклонение по содержанию уровня кальция в крови у опытной группы в сравнении с популяцией (приP = 95%)? (35 баллов).

24. В отчете о проведении опыта по изучению роста телят сообщается, что был получен среднесуточный привес 560 г при величине статистической ошибки ±8 г. Известно также, что изменчивость телят по весу характеризуется коэффициентом вариации 10%. Можно ли на основе этих данных установить, количество телят участвующих в опыте? (25 баллов).

25. Процент жира в плодах орешника разных сроков сбора был следующий: Ранний срок – 62, 64, 66, 64; и поздний срок – 65, 63, 61, 63, 63. Установите, достоверно ли при Р= 0,99 влияние срока сбора орехов на жирность плодов? (25 баллов).

26. Скорость кровотока (сек.) у испытуемой группы спортсменов до и после 20 приседаний была следующей:

До приседаний
4,0	5,0	5,0	5,1	5,2	6,0	6,0	5,8	5,0	5,7	5,0	4,5	5,9
После приседаний
3,5	4,0	4,2	4,2	4,0	4,7	4,3	4,0	3,0	3,7	3,6	3,1	4,3

Установите, влияет ли небольшая нагрузка на скорость кровотока (при Р= 0,99). Можно ли ожидать, что скорость кровотока после приседаний не будет превышать 5 сек.? (35 баллов).

27. Кровяное давление у 16 здоровых людей после приема кофеина (A) и ложной пилюли (Б) было следующим:

А	126	145	137	116	137	157	126	139
	143	129	143	145	153	135	163	133
Б	121	143	115	106	135	157	117	130
	135	123	141	138	147	129	160	123

Позволяют ли приведенные выше данные утверждать, что кофеин достоверно ( при Р= 0,99) влияет на кровяное давление? (35 баллов).

28. Скорость кровотока (сек), измеренная у детей разными методами (А и Б) была следующей:

А	9	5	6	12	8	7	5
	11	8	11	5	6	9
Б	11	4	11	9	13	8	4
	14	9	10	7	9	12	8

Установите, влияет ли (при Р= 0,99) метод измерения скорости кровотока на результат? (25 баллов).

29. Получены следующие данные о диаметре соцветия (мм) у нивяника в начале и в конце цветения:

В начале цветения
13	9	12	9	9	8	10	11	7	9
В конце цветения
14	13	11	14	11	10	11	13	12	12

Можно ли утверждать, что в группах «в начале цветения» и «в конце цветения» диаметр соцветия нивяника различается статистически значимо? Можно ли считать, что в конце цветения диаметр соцветия нивяника не будет превышать 15 мм? (35 баллов).

30.У группы испытуемых был замерен пульс в состоянии покоя, который составлял соответственно: 63; 68; 57; 70; 66; 54; 60; 65; 63; 72; 70 уд/сек. После физической нагрузки и отдыха в течении 20 минут пульс испытуемых соответственно составлял: 64; 67; 59; 68; 67: 60; 58; 67; 62; 69; 71 уд/сек. Достаточно ли 20-ти минутного отдыха для полной нормализации пульса? Можно ли ожидать, что среднее значение пульса после отдыха не будет превышать 75 уд/ сек, а его варьирование в пределах совокупности составит 15%. (35 баллов).

31. В течение 15 лет проводились фенологические наблюдения за двумя видами жимолости Lonicera caprifolium L и Lonicera trichosantha Bur. et Franch. Массовое созревание плодов у первого вида наступало по годам в следующие календарные даты: 26.VI; 25.VI; 12.VII; 13.VII; 05.VII; 29.VI; 06.VII; 21.VI;10.VII; 14.VII; 15.VII; 11.VII; 07.VIII; 15.VII; 18.VII; 28.VI; у второго вида – 07.IX; 01.IX; 20.VIII; 28.VIII; 07.X; 27.VIII; 01.X; 03.X; 27.IX; 24.IX; 29.X; 29.IX; 20.IX; 02.X; 20.IX; 07.IX. Различаются ли эти виды по срокам наступления фазы созревания плодов. Оцените погодичное варьирование сроков наступления этой фенофазы у двух жимолостей с использованием выборочных среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации. (60 баллов).

32. Проводилось измерение роста (см) и массы (кг) студентов – юношей. При выборка по росту была следующей: 168, 167, 181, 171, 182, 178, 170, 178, 170, 169, 170, 170, 169, 168, 178, 172, 175, 177, 174, 183, 174, 183, 174, 173, 168, 171, 175, 180, 168, 175, 154, 167, 172, 178, 173, 169, 178, 172, 180, 158, 178, 165, 185, 170, 180, 193, 173, 167, 183, 174, 170, 180, 165, 181, 165, 180, 185. Выборка по массе: 70, 65, 75, 65, 80, 70, 71, 65, 70, 54, 67, 68, 80, 57, 71, 70, 75, 67, 64, 73, 66, 85, 68, 70, 59, 63, 74, 77, 68, 75, 51, 67, 72, 72, 65, 70,61, 85, 60, 78, 65, 89, 64, 70, 85, 73, 60, 68, 70, 80, 53, 72, 67, 80, 79, 59, 81. Сравните изменчивость юношей по росту и массе (45 баллов).

33. Изучали особенности заражения фомозом корнеплодов моркови. При естественном заражении фомозом из 1098 корнеплодов заболело 82, при искусственном заражении заболело 639 корнеплодов из 1008. Достоверно ли различаются доли зараженных корнеплодов в контроле и опыте (50 баллов).

34. Собранный с шести опытных делянок урожай зерна озимой ржи варьировал следующим образом:

Делянка №	1	2	3	4	5	6
Урожай, кг	21,9	24,6	20,8	25,1	30,8	23,2

Из приведенных данных выделяется варианта x₅ = 30,8, сильно отличающаяся от остальных членов выборки. Определите принадлежит ли данная варианта к данной генеральной совокупности (45 баллов).