2-Гидромеханика 1

61

Физическаяинтерпретация

Длявсехточекданнойлиниитокаилиданнойвихревойлинии (адляпотенциальногоивинтовогопотоковдлявсехточекпотока) сумматрехудельныхэнергий– потенциальнойэнергииположения, давленияикинетической– естьвеличинапостоянная.

Энергетический смысл

z – удельная потенциальная энергия положения,

ρ pg – удельная потенциальная энергия давления, z + ρ pg – удельная потенциальная энергия,

u2

2g – удельнаякинетическаяэнергия.

Частица, имеющаямассуM ивесG = Mg идвижущаясясоско-

ростьюu, обладаеткинетическойэнергией Mu2 2 . Удельнаякинетическаяэнергия– энергия, отнесеннаякединицевеса, равна

Mu2 = Mu2 = u2 .

2G 2Mg 2g

Вуравнении Бернулли каждый член выражает собой часть механическойэнергииединицывесажидкости. Суммавсехчленов выражает суммарную (потенциальную и кинетическую) механическуюэнергию, отнесеннуюкединицевесапротекающейжидкости.

Энергия, отнесенная к единице веса жидкости, исчисляемая относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости, называетсяудельнойэнергией.

УравнениеБернуллипоказывает, чтоудельнаяэнергиявпотоке, присущаякаждойединицевесаневязкойжидкостисустановившимся движением, состоящаяизкинетическойипотенциальной, остается неизменной.

Впотенциальном и винтовом потоках невязкой жидкости удельнаяэнергияраспределенаравномерноповсемупотоку. Впотоке жевихревом(кромевинтового) удельнаяэнергияраспределенапо потоку неравномерно и сохраняет постоянное значение лишь на отдельныхлинияхтоковивихревыхлиниях.

62

Скоростная трубка (трубка Пито)

таким образом, чтобы скорость потока была направлена по оси отверстия. Вэтомслучаеприобтеканиижидкостьютрубкивточке1 происходитуменьшениескоростидонуля(u1= 0).

Благодаряэтомупротекающаяжидкостьвтрубке1 поднимается навысоту

h1 = ρp1 + u2 . g 2g

В трубке 2 имеется группа отверстий, расположенных в поперечномсечениинаопределенномрасстоянииотпереднегоконца. Жидкостьзаполняеттрубку2 иподнимаетсянавысоту

h2 = ρpg2 =ρ pg1 .

Изрисункавидно, что

откудаскоростьпотокажидкости

u = 2g∆h.

Длятогочтобыучестьвлияниевязкостижидкостиинарушений впотоке,вызываемыхустановкойтрубки,a такжеитообстоятельство, чтоточки1 и2 находятсянанекоторомконечномрасстояниидругот друга, необходимополученнуюформулудляскоростипредставитьв виде

u =ϕ 2g∆h,

гдекоэффициентϕ =1 1,04 определяетсяопытнымпутем.

63

Глава V

Динамика реальной вязкой жидкости

Преждемырассматривалижидкости, вкоторыхотсутствовала вязкость, т. е. поверхностныесилымоглибытьтольконормальными.

Реальнаяжидкостьвтойилиинойстепениобладаетвнутренним сцеплением и способна оказывать то или иное сопротивление касательнымусилиям.Величинавязкостизависитотродажидкостии оттемпературыжидкости.Силатренияявляетсядобавочнойсилой, влияющейнадвижениереальнойжидкости.

Дляреальнойжидкостидифференциальныеуравнениядвижения получаются более сложными, чем для идеальной. Для несжимаемой жидкостиониносятназваниеуравненийНавье–Стокса

чрезвычайно сложную задачу даже для простейших случаев течений жидкости. Этими вопросами занимаются специалисты по гидромеханике. Мы получим уравнение движения для потока реальной жидкости (уравнение Бернулли) другим путем. Проанализируем полученноеранееуравнениеБернуллидляпотоканевязкойжидкостии внесемвнегопоправки,учитывающиевязкостьжидкости.

64

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости в установившемся потоке

УравнениеБернуллидляструйкиидеальнойжидкости

Удельная энергия в струйке реальной жидкости при установившемсядвиженииуменьшаетсяпомерепродвиженияжидкостиот одного сечения струйки до другого, так как часть механической энергиипревращаетсявтепловуюэнергиюблагодарясиламтрения, возникающимвжидкости.

ВсечленыуравненияБернуллиимеютлинейнуюразмерность, поэтому удельную энергию, затрачиваемую на преодоление сопротивлениядвижению, обозначаютсимволомhтр– потерянапора натрение.

УравнениеБернуллидляструйкиреальнойжидкостипринимает

вид

гдеhтр – работавсехсилтрения, отнесеннаякединицевесавязкой жидкостиприперемещенииеёотпервогосечениядовторого.

Распределение давления по живому сечению потока при установившемся прямолинейном движении

Прирешениигидравлическихзадачвозникаетнеобхо-димость распространить уравнение Бернулли на поток в целом. Для этого предварительнотребуетсянайтизаконраспределениядавленияпо живомусечениюпотока. Этотвопросможетбытьрешендляживых сеченийпотоков, находящихсявусловияхплав-нойизменяемости. Приплавноизменяющемсядвиженииуголрасхожденияструек(линий токов) крайненезначителен, арадиусихкривизнывесьмавелик.

Рассмотримпрямолинейноедвижениежидкости. Еслинаправитьось0x вдольдвижения, топроекциискоростейбудутравны

ux= u, uy= 0, uz= 0,

ауравнениенеразрывностиупростится

Этиуравненияпоказывают, чтодавлениепоживомусечениюв установившемся, плавно изменяющемся движении идеальной жидкости распределяется по закону гидростатики.

В реальных потоках вязкой жидкости отклонения от этого законанезначительны, иимипренебрегаютисчитают, чтодавление поживомусечениюизменяетсяпогидростатическомузакону, т. е.

z + ρ pg = const .

Уравнение Бернулли для установившегося потока реальной жидкости

ВыведемуравнениеБернуллидляпотокареальнойжидкости (река, канал, водопроводит. д.).

Какбылопоказановыше, вразличныхточкахживогосечения такогопотока

z + ρ pg = const.

u2

Удельнаякинетическаяэнергия 2g будетразличнойдляраз-

ныхточексеченияпотокавязкойжидкости, таккакu = u(x, y, z). Вычислимсреднеезначениеудельнойкинетическойэнергиипо

сечению. Средняяскоростьврассматриваемомсеченииv=Q/S. Местныескоростиuбудутотличатьсяотсреднейнавеличину±∆ u :

u = v ± ∆ u .

68

Глава VI

РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Ламинарное и турбулентное движение жидкости

Основной задачей гидродинамики является исследование закономерностей, характеризующихпотоквцелом. Однакопроблема гидравлических сопротивлений и многих других явлений требует ясногопредставленияохарактередвиженияотдельныхчастиц.

Еслижидкостьнеимеетвсвоемсоставечастицтвердоготелаи вязкость ее подчиняется закону Ньютона, для данной жидкости возможенлиболаминарныйрежим, либотурбулентный.

Существованиедвухпоследнихрежимовдвиженияжидкости было доказано в 1883 г. Рейнольдсом путем постановки опыта на специальнойустановке, схемакоторойпоказананарисунке.

1

3

2 v

От водопровода

Слив

Рис. 6.1

Рейнольдс наблюдал движение воды в стеклянных трубках различныхдиаметров. Онвпускализсосуда1 спомощьюкапилляра 2 поосистекляннойтрубки3 струйкукраскиисоздавалразличные скорости течения воды v. Он заметил, что при малых скоростях подкрашеннаяструйкавыделяласьввидетонкойнити, несмешиваясь с остальной массой жидкости. Тем самым Рейнольдсом было установленоналичиеструйчатого, илислоистого, движенияпотока,

названногоимламинарнымпотоком.

69

Придальнейшемповышениисреднейскоростипотокапосле определенногоее ее значения параллельность струек нарушалась, происходилоперемешиваниеокрашенныхчастицсостальноймассой жидкостиипотокповсемусечениюприобреталодинаковыйцвет, чтоуказывалонанепрерывноеобразованиевихрейвпотоке. Такой потокРейнольдсомбылназвантурбулентным.

Движение жидкости, при котором отсутствует пульсация скорости, приводящаякперемешиваниючастиц, называетсяламинарным. Движениежидкостиспульсациейскоростей, приводящейк перемешиваниючастицпотока, называетсятурбулентным.

В процессе опытов Рейнольдсом было замечено, что после нарушенияламинарностипотоканесразуустанавливаетсявполне устойчивыйтурбулентныйрежим, асуществуетобластьперехода. Эта областьимбылаограниченавведениемпонятиянижнейиверхней критических скоростей. Скорость, при которой происходило нарушениеструйчатостипотока, Рейнольдсназвалнижнейкритическойскоростьюvнк, аскорость, послекоторойпотокстановился устойчивым турбулентным, – верхней критической vвк. Им также установлено, чтоверхняякритическаяскоростьпревосходитзначения нижнейкритическойскоростив6 раз, т. е. vвк= 6 vнк.

ДляопределениярежимадвиженияРейнольдсомнаосновании анализаопытныхданныхиисходяизтеоретическихсоображенийдля потокапроизвольнойформыпоперечногосечениябылаустановлена зависимостьввидеформулы

Re = vlµρ ,

гдеl – характерныйлинейныйразмерпоперечногосеченияпотока. Зависимостьдлякруглойтрубысзаполненнымсечениемимеет

гдеRe – безразмернаявеличина– числоРейнольдса, v – средняяскоростьтеченияжидкости,

d – диаметртрубы,

ν – кинематическаявязкость.

Есливкачествелинейногоразмерапринятьсоответствующую гидравлическую характеристику, то формула перепишется в следующемвиде:

70

гдеd – диаметртрубы, R – гидравлическийрадиус, h – глубинаканала. ВтеориикораблявводитсявеличинаL – длинасудна.

Рейнольдсом было предложено два значения Re, соответствующихнижнейиверхнейкритическойскорости– 2000 и12000.

Впоследствии, в 1925 г., на основании многочисленных экспериментальныхработШиллерпредложилвместодвухпределовдляRe однозначение, аименно– 2320.

Это значение и принимается за Reкр

ВламинарномпотокеприRe <2320 возмущения, возникающие от посторонних причин, затухают. В потоке при Re >2320 и в турбулентномнезатухают, аещебольшеразвиваются.

Всоответствии с этим величина критической скорости при достаточной длине трубы с гладкими стенками может быть с достаточной точностью для практики определена по формуле

vкр = 2320d ν .

Анализ экспериментальных работ по определению потери напора в прямых трубопроводах, проведенных различными исследователями, притом с разнообразными жидкостями, показывает зависящее от режима движения различное влияние скорости на величину гидравлических потерь. Так, например, потери напора при ламинарном режиме

hтр= b1v

ипритурбулентномрежиме

hтр= b2vn,

гдеn – показательстепени; онколеблетсявпределахот1,75 до2. Следовательно, нет плавного перехода от одного режима к

другому. Действительно, приламинарномрежимеправноединице, а вслучаетурбулентногорежимапоказательстепенипрезковозрастает, хотябыдосвоегоминимальногозначения– до1,75.