2-Гидромеханика 1

72

I = p1 − p2 , ρ gl

Подставивданноевыражениевпредыдущуюформулу, получим

Аналогичноизложенномуможносоставитьусловияравновесия дляцилиндражидкостисрадиусомr < r0, выделенноговнутритрубы. Вэтомслучаевуравнениеравновесиявойдетвместокасательного напряжения у стенки трубы τ 0 касательное напряжение между соприкасающимисяповерхностямижидкостиτ , котороебудетравно

τ = ρ gI 2r ,

гдеr/2 – гидравлическийрадиусвыделенногоцилиндра. Изсопоставленияполучаем

Касательное напряжение по сечению трубы изменяется по линейномузакону, чтосправедливодлялюбогорежимадвижения жидкости. Вопрос о потере напора необходимо рассматривать раздельнодляламинарногоитурбулентногодвижения.

Распределение скоростей u по живому сечению при ламинарном равномерном установившемся движении жидкости

Рассмотримнапорнуюкруглоцилиндрическуютрубу(рис.6.3), имеющую радиус r0. Поставим себе цель найти уравнение эпюры скоростейдляживогосечения.

Для этого внутри данной трубы выделим центральный круглоцилиндрический столб движущейся жидкости (заштрихован) радиусом r. Для продольного касательного напряжения трения τ по боковой поверхности этого столба можно написать два разных выражения:

73

1)согласноуравнениюравномерногодвиженияимеем

τ= ρ gI 2r ,

2)согласнозаконуНьютонаполучаем

τ = −µ dudr ,

здесь при выбранном направлении r (рис. 6.3) величина du/dr отрицательна.

Рис. 6.3

Решаясовместноэтиуравнения, получаем

ρ gI 2r = −µ dudr ,

или

du = − ρ2gI rdr.

Интегрируяэтоуравнение, имеем

u = − ρ4gIµ r2 + C.

ПостояннуюинтегрированияСнаходимизусловия, чтоприr = = r0 величинаи = 0 (какбылоотмеченоранее, непосредственнона стенке русла скорость и должна равняться нулю). Окончательно получаемследующееуравнение, покоторомуможнопостроитьэпюру скоростейдляживогосечения:

74

u = ρ4gIµ (r02 − r2 ),

гдеI – гидравлическийуклон.

Каквидноизуравнения, эпюраскоростейявляетсяпараболой. Подставляя в уравнение r = 0, получаем максимальную величину скоростиumax (вцентретрубы)

umax

Тогдаможнонаписать

75

т. е. средняя скорость в ламинарном потоке в круглой трубе равна половине максимальной скорости.

Подставив в данное уравнение значение максимальной скорости, получимследующеевыражениедлясреднейскоростипри ламинарномрежиме:

гдеI – гидравлическийуклон

I = ρ32gdv2 .

Потери напора при ламинарном режиме движения жидкости

Потериудельнойэнергии(напора) подлине

hдл. = λ l v2 , d 2g

тогда

hдл = λv2 , l 2gd

гдеhдл/l – гидравлическийуклон.

Приравнявдвауравнениягидравлическогоуклона, получим

изнихнайдемзначениекоэффициентаДарси

λ = 64ρvdµ = 64vdν .

Отсюда приходим к заключению, что при ламинарном режиме

λ = Re64 .

Потеринапора(удельнойэнергии) подлине

Эторавенствопоказывает, чтовслучаеламинарногодвижения потерянапораhдл:

76

1)зависит от свойств жидкости, что учитывается коэффициентомвязкостиν ;

2)прямопропорциональнасреднейскоростиv впервойстепени;

3)независитотшероховатостистенокрусла– вформулуне входяткакие-либохарактеристикишероховатостистенокрусла.

Ламинарноедвижениенаблюдаетсяувязкихжидкостей. При ламинарном режиме стенки русла всегда проявляют себя как гидравлическигладкие.

Многочисленные эксперименты полностью подтверждают правильность полученных теоретических выводов для прямых участков трубопровода, удаленных от входа (l > 0,065d Re), а тем самымиправильностьформулывязкостноготрения, положеннойв основуэтихвыводов.

Коэффициент α при ламинарном режиме движения

Знаязаконраспределенияскоростейпосечениютрубы, легко определить коэффициент Кориолиса α , учитывающий неравномерностьраспределенияскоростейвуравненииБернуллидляслучая стабилизированноголаминарноготеченияжидкостивкруглойтрубе. Дляэтоговвыраженииα ,полученномранее, заменимдействительную скоростьвыражениемдляламинарноготеченияисреднюю скорость выражением,полученнымранее,атакжеучтем,чтоS = πr02 иdS = 2πrdr. Послеподстановокисокращенийполучим

Итак,действительнаякинетическаяэнергияламинарногопотока с параболическим распределением скоростей в 2 раза превышает кинетическую энергию того же потока, но при равномерном распределениискоростей.

Изложеннаятеорияламинарноготеченияжидкостивкруглой трубе хорошо подтверждается опытом, и выведенный закон сопротивленияобычноненуждаетсявкаких–либопоправках.

78

илипослеинтегрирования

y2 + z2 = С.

Вихревыелинииявляютсяокружностями, концентрическими относительнооситрубы.Угловаяскоростьвращениячастицжидкости

ω = 2v r,

таккак

r02

ρ gI = 2v .

4µ r02

Следовательно, угловая скорость вращения частиц при ламинарномдвижениипрямопропорциональнасреднейскорости потока и расстоянию соответствующей точки от оси трубы.

На оси угловая скорость вращения равна нулю, а у стенок, наоборот, она достигает своего максимального значения

ω = ω max r , r0

т. е. эпюраугловыхскоростейчастицаналогичнаэпюрекасательных напряжений. Касательныенапряженияпропорциональныугловым скоростям.

79

Глава VII

ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Учет потерь напора в потоке

При выводе и анализе уравнения Бернулли в предыдущей главеприменительнокэлементарнойструйкеицеломупотокувязкой жидкости потери напора на преодоление гидравлических сопротивлений, невходявразборфизическойсущностиее, обозначилиhтр.

Дадимподробныйанализэтойвеличиныстем, чтобыполучить формулы для технических расчетов. Общая потеря напора на преодолениегидравлическихсопротивленийсостоитиздвухвидов потерь

1) потери напора по длине потока – hдл,

2) потери на местные сопротивления – hмест.

Если поток состоит из отдельных участков различного сечения и имеет большое количество местных сопротивлений, то общая потеря напора определится как сумма потерь на каждом участкеипотеринавсеместныесопротивления

hтр = ∑ hдл +∑ hмест.

Такой метод подсчета потери напора носит название метода наложения потерь.

Экспериментальноеопределениепотерьнапораосуществляется следующимобразом:

где для определения hтр измеряют разность (z1– z2), показания

80

Вгоризонтальной трубе равномерного потока, где v=const,

α=const, z = const, потерянапораопределяетсякак

где ζ – коэффициент потерь – показывает, сколько скоростных напоровзатраченонапреодолениеданногосопротивления.

Местные потери напора

Местныесопротивления– этовсякогородаизмененияживого сечения или конфигурации потока (когда происходит резкое изменениевеличининаправленийегоскоростей), т. е. расширение или сужение потока, повороты, препятствия в виде диафрагм, кранов, задвижек и т. д.

В зоне местных сопротивлений происходит обтекание местных препятствий с образованием водоворотных зон и интенсивным обменом частицами жидкости основного потока и этих зон. Это и является основным источником местных потерь энергии. Многочисленными опытами установлено, что местные потери подчиняются общему закону потерь энергии, будучи при турбулентном режиме движения пропорциональны квадрату скорости, а в условиях ламинарного режима пропорциональны скоростистепенип <2. Местныепотериэнергиипритурбулентном режимедвиженияопределяютсяпоформуле

гдеζмест– безразмерныйкоэффициент, называемыйкоэффициентом местного сопротивления и определяемый опытным путем для каждоговидасопротивлений.

Однако при наличии местных сопротивлений может оказаться, чтоскоростипотокапередместнымсопротивлением и посленегобудутразличны. Втакихслучаях(например, внезапное расширение) местная потеря напора может быть выражена или